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2013新课标文科数学真题


2013 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项: 1. 本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页。 2. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每

小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 ⑴已知集合 A ? {1,2,3,4}, B ? {x | x ? n2 , n ? A}, 则 A ? B ? A. {1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2}



1 ? 2i ? (1 ? i) 2
A. ? 1 ?

1 i 2
B.

B. ? 1 ?

1 i 2
D.

C. 1 ?

1 i 2

D. 1 ?

1 i 2

⑶ 从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是 A.

1 2

1 3

C.

1 4

1 6

⑷已知双曲线 C: A. y ? ?

x2 y 2 5 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 2 a b 2
B. y ? ?

1 x 4

1 x 3

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

x x 3 2 ⑸已知命题 p : ?x ? R,2 ? 3 ;命题 q : ?x ? R, x ? 1 ? x ,则下列命题中为真命题的

是 A. p ? q

B. ? p ? q

C. p ? ?q

D. ? p ? ? q

⑹设首项为 1,公比为 A. Sn ? 2an ? 1

2 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 3
C. Sn ? 4 ? 3an D. Sn ? 3 ? 2an

B. Sn ? 3an ? 2

⑺执行右面的程序框图,如果输入的 t ? [?1,3] ,则输出的 s 属于

开始

输入 t

t<1

s=3t

s ? 4t ? t 2

输出 s

结束

A. [-3,4] B. [-5,2] C. [-4,3]

D.[-2,5]

⑻O 为坐标原点, 为抛物线 C: y 2 ? 4 2x 的焦点, 为 C 上一点, F P 若|PF|= 4 2 , 则△POF 的面积为 A.2 B. 2 2 C. 2 3 D. 4 ⑼函数 f ( x) ? (1 ? cos x) sin x在[?? , ? ] 的图像大致为

2 ⑽已知锐角△ABC 的内角 A、 C 的对边分别为 a, b, c ,23cos A ? cos 2 A ? 0 ,a ? 7 , B、

c ? 6 ,则 b ?

A.10 B. 9 C.8 D. 5 ⑾某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 2 2 4 2 4 主视图 侧视图

4

4 2 俯视图

A.

16+8π

B. 8+8π

C. 16+16π

D. 8+16π

⑿已知函数 f ( x ) ? ?

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, 若 | f ( x) |? ax ,则 a 的取值范围是 ? ln( x ? 1), x ? 0.

A. (??,0] B. (??,1] C. [?2,1] D. [?2,0] 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须 做答。第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)已知两个单位向量 a, b 的夹角为 60o, c ? t a ? (1 ? t )b ,若 b ? c ? 0 ,则 t= (14)设 x, y 满足约束条件 ? .

?1 ? x ? 3, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?? 1 ? x ? y ? 0,

.

(15)已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH:HB=1:2,AB⊥平面 ? , ? 截球 O 所得截 面的面积为π ,则球 O 的表面积为 . (16)设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2 cos x 取得最大值,则 cos ? ? 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 S 3 ? 0 , S 5 ? ?5 (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ? .

?

? 1 ? 的前 n 项和. ? a 2 n ?1 a 2 n ?1 ?

(18) (本小题满分 12 分) 为了比较两种治疗失眠症的药(分别成为 A 药,B 药)的疗效,随机地选取 20 位患者服 用 A 药,20 位患者服用 B 药,这 40 位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡 眠时间(单位:h).试验的观测结果如下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.4 2.5 1.2 2.7 0.5 (Ⅰ)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (Ⅱ)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好? A药 B药 0. 1. 2. 3. (19) (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60o. (Ⅰ)证明:AB⊥A1C; (Ⅱ)若 AB=CB=2,A1C= 6 ,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积.

C

C1

B A

B1

A1

(20) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x (ax ? b) ? x 2 ? 4 x ,曲线 y ? f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为

y ? 4x ? 4 .
(Ⅰ)求 a, b 的值; (Ⅱ)讨论 f (x) 的单调性,并求 f (x) 的极大值. (21) (本小题满分 12 分) 已知圆 M: ( x ? 1) ? y ? 1,圆 N: ( x ? 1) ? y ? 9 ,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内
2 2 2 2

切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ) l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A、B 两点,当圆 P 的半径 最长时,求|AB|. 请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题做答。注意:只能做所选定的题目。如果 、 、 多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂 黑。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E, DB 垂直 BE 交圆于点 D. (Ⅰ)证明:DB=DC; (Ⅱ)设圆的半径为 1,BC= 3 ,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径. D B F E C (23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 ? A

? x ? 4 ? 5 cost , ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴 (t为参数) ? y ? 5 ? 5 sin t ,

为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? . (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标 ( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) . (24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? a |, g ( x) ? x ? 3 . (Ⅰ)当 a ? ?2 时,求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集; (Ⅱ)设 a ? ?1 ,且当 x ? [ ?

a 1 , ) 时, f ( x) ? g ( x) ,求 a 的取值范围. 2 2


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