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高中数学(苏教版选修2-3)双基达标训练:1.3.1 组合与组合数公式


1.3 第 1 课时

组合

组合与组合数公式

双基达标
①由 1,2,3,4 构成的 2 个元素集合;

?限时15分钟?

1.给出下面几个问题,其中是组合问题的为________.

②五个队进行单循环比赛的分组情况; ③由 1,2,3 组成两位数的不同方法数; ④由 1,2,3 组成无重复数字的两位数的方法. 答案 ①②

2.某校一年级有 5 个班,二年级有 8 个班,三年级有 3 个班,分年级举行班与 班之间的篮球单循环赛,总共需进行比赛的场数是________. 解析
2 2 分三类:一年级比赛的场数是 C5 ,二年级比赛的场数是 C8 ,三年级比

2 2 2 2 赛的场数是 C3 ,再由分类计数原理求得总赛场数为 C5 +C8 +C3 =41.

答案

41

4 3.若 A3 m=6Cm,则 m=________.

解析

由排列组合数公式得

m?m-1??m-2??m-3? m(m-1)(m-2)=6· , 4×3×2×1 解得 m=7. 答案 7

4.已知集合 A={1,2,3,4},B={5,6,7},C={8,9}.现在从这三个集合中取出两 个集合, 再从这两个集合中各取出一个元素, 组成一个含有两个元素的集合 , 则一共可以组成集合的个数为________. 解析 答案
1 1 1 1 由 C4 · C3+C1 C1 C2=26. 3· 2+C4·

26

5. 高矮互不相同的 5 位同学排成一排照相,要求从正中间向两侧均是从高到矮, 不同的排法种数为________. 解析
2 最高排中间,有 C4 =6(种).

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答案

6

6.要从 12 人中选出 5 人参加一项活动,其中 A、B、C 3 人至多 2 人入选,有 多少种不同选法? 解 法一 可分三类:

①A,B,C 三人均不入选,有 C5 9种选法;
4 ②A,B,C 三人中选一人,有 C1 C9 种选法; 3· 3 ③A,B,C 三人中选二人,有 C2 C9 种选法. 3· 5 1 4 由分类计数加法原理,共有选法 C9 +C3 · C9+C2 C3 3· 9=756(种).

法二

先从 12 人中任选 5 人,再减去 A,B,C 三人均入选的情况,即共有

5 选法 C12 -C2 9=756(种).

综合提高
7.以下四个式子①Cm n=

?限时30分钟?

n+1 Am n +1 m-1 m m+1 m+1 ;②Am Cn = ;④Cm n =nAn-1 ;③Cn ÷ n+1 = m! n-m m+1

Cm n .其中正确的个数是________. 解析 ①式显然成立;

m-1 ②式中 Am An -1 =(n-1)(n-2)…(n-m+1),所 n =n(n-1)(n-2)…(n-m+1), m-1 以 Am n =nAn-1 ,故②式成立;

Am ?m+1?! m+1 Cm n· n m+1 对于③式 Cm ÷ C = = , + m 1 m+1 = n n Cn m!· An n-m 故③式成立; 对于④式 =
m+1 Cn +1 =
+1 Am ?n+1?· Am n+1 n = ?m+1?! ?m+1?m!

n+1 m C ,故④式成立. m+1 n 4

答案

8.某书店有 11 种杂志,2 元 1 本的 8 种,1 元 1 本的 3 种.小张用 10 元钱买杂 志(每种至多买一本,10 元钱刚好用完),则不同买法的种类是________(用数 字作答). 解析 由题知,按钱数分 10 元钱,可有两大类,第一类是买 2 本 1 元,4 本

2 4 5 2 元的共 C3 C8种方法;第二类是买 5 本 2 元的书,共 C8 种方法. 2 4 5 ∴共有 C3 C8+C8 =266(种).

第2页 共4页

答案

266

9.2012 年元旦某班有 n 个人中每两个人相互之间打了一次问候电话,共打电话 28 次,则 n=________. 解析 答案
2 Cn =

n?n-1? 2 =28,解得 n=8.

8

10.210 的正约数有________个. 解析 由于 210=2×3×5×7,则 2、3、5、7 中的任意一个数,或两个数之

积,或三个数之积,或四个数之积,都是 210 的约数.又 1 也是一个约数,
1 2 3 4 所以约数共有 C4 +C4 +C4 +C4 +1=16(个).

答案

16
- - -

4 n 2 n 1 11.求不等式 Cn 21 <C21 <C21 的解集.



原不等式可化为

21! 21! < ?n-4?!?25-n?! ?n-2?!?23-n?! 21! < ,整理得 ?n-1?!?22-n?! ??24-n??25-n?>?n-2??n-3?, ? ?23-n>n-1, 解得 n<12.又 n-4≥0, 所以 4≤n<12,又 n∈N, 故原不等式解集为{4,5,6,7,8,9,10,11}. 12.平面内有 12 个点,其中有 4 个点共线,此外再无任何 3 点共线,以这些点 为顶点,可得多少个不同的三角形? 解 我们把从共线的 4 个点取点中的多少作为分类的标准:

2 1 第一类:共线的 4 个点中有 2 个点作为三角形的顶点,共有 C4 · C8=48(个)不

同的三角形;
1 2 第二类:共线的 4 个点中有 1 个点作为三角形的顶点,共有 C4 · C8=112(个)

不同的三角形;
3 第三类:共线的 4 个点中没有点作为三角形的顶点,共有 C8 =56(个)不同的

三角形.
第3页 共4页

由分类计数原理,不同的三角形共有 48+112+56=216(个). 13.(创新拓展)在产品质量检验时,常从产品中抽出一部分进行检查.现在从 98 件正品和 2 件次品共 100 件产品中,任意抽出 3 件检查. (1)共有多少种不同的抽法? (2)恰好有一件是次品的抽法有多少种? (3)至少有一件是次品的抽法有多少种? (4)恰好有一件是次品,再把抽出的 3 件产品放在展台上,排成一排进行对比 展览,共有多少种不同的排法? 解 (1)所求不同的抽法数,即从 100 个不同元素中任取 3 个元素的组合数, 100×99×98 =161 700(种). 3×2×1

3 共有 C100 =

(2)抽出的 3 件中恰好有一件是次品这件事,可以分两步完成:
1 第一步,从 2 件次品中任取 1 件,有 C2 种方法; 2 第二步,从 98 件正品中任取 2 件,有 C98 种方法.

根据分步计数原理,不同的抽取方法共有
1 2 C2 · C98=2×

98×97 =9 506(种). 2×1

(3)法一

抽出的 3 件中至少有一件是次品这件事,分为两类:

1 2 第一类:抽出的 3 件中有 1 件是次品的抽法,有 C2 C98种; 2 1 第二类:抽出的 3 件中有 2 件是次品的抽法,有 C2 C98种.

根据分类计数原理,不同的抽法共有
1 2 1 C2 · C98+C2 C98 =9 506+98=9 604(种). 2·

法二

3 从 100 件产品中任取 3 件的抽法,有 C100 种,其中抽出的 3 件中没有

3 次品的抽法,有 C98 种.所以抽出的 3 件中至少有一件是次品的抽法,共有 3 C100 -C3 98=9 604(种).

(4)完成题目中的事,可以分成两步:
1 2 第一步,选取产品,有 C2 C98种方法;

第二步,选出的 3 个产品排列,有 A3 3种方法. 根据分步计数原理,不同的排列法共有
1 2 3 C2 C98A3 =57 036(种).

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