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第1讲 导数的概念及运算


第1 讲
基础诊断

导数的概念及运算

? 夯基释疑 ? 考点一:导数的运算

概 要

考点突破
? 考点二:导数的几何意义 ? 思想方法

课堂小结
? 易错防范

夯基释疑

1.判断正误(在括号内打“

√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( ) (2)求 f′(x0)时,可先求 f(x0)再求 f′(x0).( ) (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) (4)若 f(x)=e2x,则 f′(x)=e2x.( )

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考点突破 考点一 导数的运算
【例 1】分别求下列函数的导数: (1)y=e ln x; x x (3)y=x-sin cos ; 2 2
x

1 1? ? 2 (2)y=x?x +x+x3?; (4)y=ln 1+2x.
简答



1 1 (1)y′=(ex)′ln x+ex(ln x)′ =exln x+ex· =ex?ln x+ ?. x? x ? 2 1 2 3 ∴ y ′ = 3 x - (2)∵y=x +1+ 2, 3. x x 1 1 (3)∵y=x- sin x, ∴y′=1- cos x. 2 2 1 (4)∵y=ln 1+2x = ln(1+2x), 2 1 1 ∴y′= · · (1+2x)′ = 1 . 2 1+2x 1+2x
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考点突破 考点一 导数的运算

规律方法

(1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前 提,求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行 化简,然后求导,这样可以减少运算量提高运算速度,减少 差错. (2)①如函数为根式形式,可先化为分数指数幂,再求导. ②复合函数求导,应先确定复合关系,由外向内逐层求导, 必要时可换元处理.

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考点突破 考点一 导数的运算
【训练 1】求下列函数的导数: ln(2x+1) 1 1 2 (1)y=x sin x;(2)y= + ;(3)y= . x 1+ x 1- x



(1)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′ =2xsin x+x2cos x. 2 1 1 = , (2)∵y= + 1+ x 1- x 1-x 2 0-2(1-x)′ = ∴y′= 2. 2 (1 - x ) (1-x)
ln(2x+1)? ′ [ln(2x+1)]′x-x′ln(2x+1) ? (3)y′= x x2 ? ? =

(2x+1)′ 2x -ln(2x+1) · x-ln(2x+1) 2x-(2x+1)ln(2x+1) 2 x + 1 2x+1 = . = = 2 2 2 (2x+1)x x x
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考点突破 考点二 导数的几何意义 【例2】已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4. 点(2,f(2))是切点 (1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程. 点A不一定是切点 解 (1)∵f′(x)=3x2-8x+5,

∴f′(2)=1, 又f(2)=-2,

∴曲线在点(2,f(2))处的切线方程为y+2=x-2,
即x-y-4=0.

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考点突破 考点二 导数的几何意义 【例2】已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4. 点(2,f(2))是切点 (1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程. 点A不一定是切点

(2)设曲线与经过点A(2,-2)的切线相切于点 2 P(x0,x3 0-4x0+5x0-4), ∵f′(x0)=3x2 0-8x0+5, ∴切线方程为 y-(-2)=(3x2 0-8x0+5)(x-2),
2 又切线过点 P(x0,x3 0-4x0+5x0-4),

2 2 ∴x3 0-4x0+5x0-2=(3x0-8x0+5)(x0-2), 整理得(x0-2)2(x0-1)=0, 解得x0=2或1, ∴经过A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为 x-y-4=0,或y+2=0.
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考点突破 考点二 导数的几何意义

规律方法

(1)导数f′(x0)的几何意义就是函数y=f(x)在点P(x0,y0)处的切 线的斜率,切点既在曲线上,又在切线上.切线有可能和曲 线还有其他的公共点. (2)“曲线在点P处的切线”是以点P为切点,“曲线过点P的切 线”则点P不一定是切点,此时应先设出切点坐标. (3)当曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线垂直于x轴时,函数 在该点处的导数不存在,切线方程是x=x0.

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考点突破 考点二 导数的几何意义
【训练 2】 (1)(2014· 广东卷)曲线 y=e 5x+2 在点(0,3)处的切线方 程为________. (2)(2015· 全国Ⅱ卷)已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,则 a=________.


解析

(1)∵y=e-5x+2,

∴y′=-5e-5x,
因此曲线在点(0,3)处的切线的斜率为 k=-5e-5×0=-5, 故所求切线方程为y-3=-5x, 即5x+y-3=0.
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考点突破 考点二 导数的几何意义
【训练 2】 (1)(2014· 广东卷)曲线 y=e 5x+2 在点(0,3)处的切线方 程为________. (2)(2015· 全国Ⅱ卷)已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,则 a=________.


1 (2)法一 ∵y=x+ln x,∴y′=1+ ,y′|x=1=2. x ∴曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为 y-1=2(x-1),即y=2x-1. ∵y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切, ∴a≠0(当a=0时曲线变为y=2x+1与已知直线平行). ? ?y=2x-1, 2+ax+2=0. 消去 y ,得 ax ? 由 ? ?y=ax2+(a+2)x+1,

由Δ=a2-8a=0,解得a=8.
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考点突破 考点二 导数的几何意义
【训练 2】 (1)(2014· 广东卷)曲线 y=e 5x+2 在点(0,3)处的切线方 程为________. (2)(2015· 全国Ⅱ卷)已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,则 a=________.


(2)法二 同法一得切线方程为y=2x-1. 设y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切于 点(x0,ax+(a+2)x02+1). ∵y′=2ax+(a+2), ∴y′|x=x0=2ax0+(a+2). 1 ? ?x0=-2, ? ?2ax0+(a+2)=2, 解得? 由? 2 ? ?ax0+(a+2)x0+1=2x0-1, ? ?a=8. 答案 (1)5x+y-3=0 (2)8
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考点突破 考点三 导数几何意义的综合应用
【例 3】 已知函数 f(x)=2x3-3x. (1)求 f(x)在区间[-2,1]上的最大值; (2)若过点 P(1, t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切, 求 t 的取值范围.



(1)由f(x)=2x3-3x,

得f′(x)=6x2-3.
2 2 令 f′(x)=0,得 x=- ,或 x= . 2 2 因为 f(-2)=-10,f -

? ?

2? ? 2?=- 2,f(1)=-1, = 2,f 2? ?2?

2? ? 所以 f(x)在区间[-2,1]上的最大值为 f - = 2. 2 ? ?

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考点突破 考点三 导数几何意义的综合应用
【例 3】 已知函数 f(x)=2x3-3x. (1)求 f(x)在区间[-2,1]上的最大值; (2)若过点 P(1, t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切, 求 t 的取值范围.

(2)设过点P(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0), 则y0=2x03-3x0,且切线斜率为k=6x02-3, 所以切线方程为y-y0=(6x02-3)(x-x0), 因此t-y0=(6x02-3)· (1-x0). 整理得4x03-6x02+t+3=0. 设g(x)=4x3-6x2+t+3, 则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”等价于 “g(x)有3个不同零点”. g′(x)=12x2-12x=12x(x-1).
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考点突破 考点三 导数几何意义的综合应用
【例 3】 已知函数 f(x)=2x3-3x. (1)求 f(x)在区间[-2,1]上的最大值; (2)若过点 P(1, t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切, 求 t 的取值范围.

g′(x)=12x2-12x=12x(x-1).

于是,当x变化时,g(x),g′(x)的变化情况如下表: (-∞,0) (0,1) (1,+∞) x 0 1 + - + g′(x) 0 0 ?↗ t+3 ?↘ t+1 ?↗ g(x)
所以g(0)=t+3是g(x)的极大值;

g(1)=t+1是g(x)的极小值.
当g(0)=t+3≤0,即t≤-3时, 此时g(x)在区间(-∞,1]和(1,+∞)上分别至多有1个零点,

所以g(x)至多有2个零点.
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考点突破 考点三 导数几何意义的综合应用
【例 3】 已知函数 f(x)=2x3-3x. (1)求 f(x)在区间[-2,1]上的最大值; (2)若过点 P(1, t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切, 求 t 的取值范围.

当g(1)=t+1≥0,即t≥-1时, 此时g(x)在区间(-∞,0)和[0,+∞)上分别至多有1个零点, 所以g(x)至多有2个零点. 当g(0)>0且g(1)<0,即-3<t<-1时, 因为g(-1)=t-7<0,g(2)=t+11>0, 所以g(x)分别在区间[-1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1个零点. 由于g(x)在区间(-∞,0)和(1,+∞)上单调, 所以g(x)分别在区间(-∞,0)和[1,+∞)上恰有1个零点. 综上可知,当过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时, t的取值范围是(-3,-1).
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考点突破 考点三 导数几何意义的综合应用

规律方法 解决本题第(2)问的关键是利用曲线上点的坐标表示切线方程 ,可将问题等价转化为关于x0的方程有三个不同的实根,构 造函数后,利用函数的单调性求极值,通过数形结合方法找

到t满足的条件即可.

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考点突破 考点三 导数几何意义的综合应用
【训练 3】 (1)过点 A(2,1)作曲线 f(x)=x3-3x 的切线最多有( A.3 条 B.2 条 C.1 条 D.0 条 )

解析 (1)由题意得,f′(x)=3x2-3, 设切点为(x0,x03-3x0), 那么切线的斜率为k=3x02-3, 利用点斜式方程可知切线方程为 y-(x03-3x0)=(3 x02-3)(x-x0), 将点A(2,1)代入可得关于x0的一元三次方程2 x03-6 x02+7=0. 令y=2 x03-6 x02+7, 则y′=6 x02-12x0. 由y′=0得x0=0或x0=2. 当x0=0时,y=7>0;x0=2时,y=-1<0. 结合函数y=2 x03-6 x02+7的单调性可得方程 2 x03-6 x02+7=0有3个解. 故过点A(2,1)作曲线f(x)=x3-3x的切线最多有3条,故选A.
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考点突破 考点三 导数几何意义的综合应用
1 2 【训练 3】 (2)(2015· 开封调研)若函数 f(x)= x -ax+ln x 存在垂直 2 于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________.

1 2 (2)∵f(x)= x -ax+ln x, 2 1 ∴f′(x)=x-a+ . x ∵f(x)存在垂直于y轴的切线,

∴f′(x)存在零点, 1 ∴x+ -a=0 有解, x 1 ∴a=x+ ≥2(x>0). x
答案 (1)A (2)[2,+∞)
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课堂小结

思想方法 1.f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值;[f(x0)]′是函数值 f(x0)的导数,而函数值f(x0)是一个常量,其导数一定为0, 即[f(x0)]′=0. 2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则. 求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导 法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换 的等价性,避免不必要的运算失误.对于复合函数求导,关 键在于分清复合关系,适当选取中间变量,然后“由外及内” 逐层求导.

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课堂小结

易错防范 1.利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式 (xα)′=αxα-1与指数函数的求导公式(ax)′=axln a混淆. 2.直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征,直线与 曲线只有一个公共点,不能说明直线就是曲线的切线,反 之,直线是曲线的切线,也不能说明直线与曲线只有一个 公共点. 3.曲线未必在其切线的“同侧”,例如直线y=0是曲线y=x3 在点(0,0)处的切线.

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(见教辅)

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考点突破 考点二 导数的几何意义
备用题 (1)曲线 y=-5ex+3 在点(0,-2)处的切线方程为______. (2)(2016· 武汉调研)经过原点(0,0)作函数 f(x)=x3+3x2 的图象的切 线,则切线方程为________.

解析 (1)y′=-5ex,则k=y′|x=0=-5×ex=-5, 故所求切线方程为y-(-2)=-5x,即5x+y+2=0. (2)f′(x)=3x2+6x.当(0,0)为切点时,f′(0)=0, 故切线方程为y=0. 2 当(0,0)不为切点时,设切点为 P(x0,x3 0+3x0),
2 2 则切线方程为 y-(x3 0+3x0)=(3x0+6x0)(x-x0), 2 3 2 又点(0,0)在切线上,所以-x3 0-3x0=-3x0-6x0, 3 解得 x0=0(舍去)或 x0=- , 2 故切线方程为9x+4y=0. 答案 (1)5x+y+2=0 (2)y=0或9x+4y=0
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考点突破 考点三 导数几何意义的综合应用 备选题 设函数y=x2-2x+2的图象为C1,函数y=-x2+ax+b的 图象为C2,已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直. (1)求a,b之间的关系; (2)求ab的最大值.

解 (1)对于C1:y=x2-2x+2,有y′=2x-2, 对于C2:y=-x2+ax+b,有y′=-2x+a, 设C1与C2的一个交点为(x0,y0), 由题意知过交点(x0,y0)的两切线互相垂直. ∴(2x0-2)(-2x0+a)=-1,

即 4x2 0-2(a+2)x0+2a-1=0.①
又点(x0,y0)在C1与C2上,
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2 ? ?y0=x0-2x0+2 故有? ?y0=-x2 ? 0+ax0+b
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考点突破 考点三 导数几何意义的综合应用 备选题 设函数y=x2-2x+2的图象为C1,函数y=-x2+ax+b的 图象为C2,已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直. (1)求a,b之间的关系; (2)求ab的最大值. 接上一页
2 ? ?y0=x0-2x0+2 ?2x2 ? 0-(a+2)x0+2-b=0.② 2 ? ?y0=-x0+ax0+b

5 由①②消去 x0,可得 a+b= . 2 5 (2)由(1)知:b= -a, 2 2 5 5 25 ? ? ? ? ∴ab=a?2-a?=-?a-4? + . 16 5 25 ∴当 a= 时,(ab)最大值= . 4 16
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