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三角换元法的几处妙用


中学生数学 ? 2 0 1 0年 5月 上 ? 第3 9 3 期( 高中)  

三 角换 元法 的 几处 妙 用 
安徽 省砀 山 中学 高三 ( 2 8 ) 班( 2 3 5 3 0 0 )   赵 丈广  

指导 教 师  李 风 波  

三 角换 元是 一 种 十 分 实 用 的方 法 , 它 很 好  地 体现 了数 学 中一 项 基 本 的 思 想一 转 化. 而 且 
与许 多 知识 都有 交 叉 , 下 面通 过 一 些 具 体 的 题  目展 示 一下 三角 换元 的美 妙之 处.  
1 .求 值 域 问题 

一4 c o s 0 +2  ̄ / 1 一C O S   一4 c o s 0 +2 s i n 0  

—2 - f 5 - s i n ( 0 +9 ) ,  
其中 t a n f =2 .  
。 .

‘  0 ≤   ≤ 号,  . ? .  ≤   +   ≤争。 r   ,  
?

例1   已知 - 厂 (  ) 一2√ z+  ̄ / 4 一 , 求_ 厂 ( z )  
的值 域 .  

。 ?

c o s 9  ̄s i n(   + ) ≤1 .  
1  

又‘ ?  t a n g =2 , 得c o s  ̄ =七 ,  
0  
’ . . 

分 析  首先 观察 - 厂 ( z ) , 可知 “ 、 / / ” 里 的值 
之和 : z+ 4 一  一 4 , 与 - z无 关 , 结 合 三 角 恒 等 

2 ≤2 √ 5   s i n ( 0 + ) ≤2 √ 5 ,  
换元 后  的 范 围 十分 重要 , 要 根 

式: s i n 。   +C O S   0 —1 , 观察相 似之处 , 便 可 利 用 
换元 法 .  

即_ 厂 ( z ) 的值 域 为[ 2 , 2 √ 5 ] .  
易错 点


厶 

厂 ( z ) 的定 义 域 [ O , 4 ] , 令3 2 —4 c o s  , 0  

据具体的 题目 而定. 本题 ∈[ o , 要] , 为了保证  
 ̄ / c o s 。  = = = c o s 0 是个 正值 . 换 元后 参数 的范 围一 
( 下转 第 4 2页 )  
-. _¨ … ● 一◆ _ . _◆ _. .  

∈[ 0 ,  ] ,  
。 .
. 

厂 (  ) 一2 ̄ / 4 c o s  + , / 4 ~4 c o s   0  
如 图 5:   所 以  S  


( 上 接 第 40 页 )  

2 s n  + i  。 )  

s i n x +C O S X的 图像 中的彩 色矩 形条 的面 积 S  

/ 。   、  



J  × [ s i n ( z 。 + A  ̄ ) + c o s ( x o + A z ) ] ,  

f  × ( s i n x 。 + c 。 S X 0 ) , - z 。 E ( o ,  ) ,  

s  = J z s   ,  
所以 2 ( S  


\  
号   一 号\  \   /  
/  
图 5  

+ S2 )一 2 SI t " 一 

  f z 。 ∈ c   ,  
当A x趋 于 零 的 时 候 ,  。 +△ z—z 。 , 即 S   十  S 一一s   则在 z   E( o ,   ) 之 内每 一个 矩形 条 的  面积 都 相 等. 所 以 2 ( S   +S   ) 一[ ∑: s i n x十 

2√ 2 S 2 ,  

化 简得 
s  

感 受 虽 然 问 题 的 探 究 过 程 中 没 有 解 决 最  ’ 寸 -    
过程 帧 有 解决 最

c  , x E ( o , 号 ) ] .  
因为 厂( z) 一s i n  + C O S X一√   (   s i n z+ 

开始 的问题 , 但 是 却 意外 地获 得 了这 个 结论? 通  过 与老师 和 同学 交 流 , 证 实 了这 个 结 论 的正 确  性, 并 知道 了我 的想法实 际上就是高 等数学 中 的 
积 分思想. 事 实上 , 根 据物 理 中 的重力 势 能 的定 

c 。 s z ) 一  s i n (   z + 号 ) ,  
所以 2 ( S 1 +S 2 ) 一[ ∑: s i n x +C O S X ,  E ( O ,  

义, 可 以得 出 : 重 力做 功 w 一重力 势 能 的改 变量 
△ 匕一  g   = = =  g r , 因 此 可 以 猜 测  ( c o s 0 +  ’ . - r  

c o s   +c o s 2 . 位 +…+c o s   .   ) 一1 , 当然利用积 

● 

号 ) ] : [ ∑ : J 2 s i n ( z + { ) , x E ( o , 号 ) ] 一 s   + S 2   .   分 知 识 就 可 以 获 得 这 个 结 论 .  ( 贲 审  李 延 林 )   !  

网址 : Z X S S . c h i n a j o u r n a 1 . n e t . c n  

● 

4 1  ● 电 子 邮 箱 : z x s s @ c h i n a j o u r n a 1 . n e t . c n  

中学生数学 ? 2 0 1 0年 5月上 ? 第 3 9 3期 ( 高中)  

( 上接 第 4 1页 )  



定要 注明.  
练习 求下列 值域 :  

S   J X  ̄aO





为参数
.  

1   V= = = bs l na ,  



设 动点 P 的 坐标 (   C O S 口 , s i r  ̄) , 口 ∈  

( 1 )   一 ̄ / =  
答案 : [ 1 , 2 ] .  

+  

二  ,  

F 0 , 2 7 r ] , 因此 

( 2 )f ( x) 一 3 √4 一  + 4   x~ 3 .  

S — z +   一 / g c 。 s a + s i r l a  ̄ - - 2 s i n ( 口 十 号 ) .  
由三角 函数知识得 当 a 一要时, s取最 大 
值 2 .  

答案 : [ 3 , 5 ] .  
2 .求 最 值 问题 

例2   a是 1 +2 6 与 1 —2 6的等 比中项 , 则 

练 习  过原 点 0作 两 条 相 互 垂 直 的 直线  分别 与椭 圆  +  。 一1交 于 A、 C与 B、 D, 则 四  边形 AB C D 的 面积最小 值为 (   ) .  

丁  2   b   的最 大值
n   I + l  l  

八 阻 

分 析  由 a是 1 +2 6与 1 —2 6的等 比中项 
可得 : 口 。 一( 1 -2 b ) ( 1 +2 b ) 一1 -4 b  即 a   +( 2 6 ) 。  

一1 , 联 系三 角 恒 等 式 s i n 2   +C O S   0 —1 , 类 比换 
元.  

( A ) 鲁   ( B ) 4   ( c ) 2   ( D ) 4 3  
( 答案 : ( A) . )  
4 .三 角 换 元 的 逆 用 



令a —c o s @ , 2 b =s i n 0 ,   ∈R, 满足 a   + 
2 ab

( 2 b )  一 1,  
. 
— —  

s i n 0 c os 0  

例 4  求. ) , = 
解 设 t —s i n z+ C O S  ̄ r ,  

的值域 .  

一   i aI +2 l   b I   l   s i n 0 l +l   c o s 0 l  
/  

J   s i n 0 c o s 0   J   / 

J   s i n O c o s O     J

I   s i n 0 [ +I   c o s 0 l  2   V / T  
.  
一  

_ 
‘  

则 
. 

一s i n   z+C O S   3 2 +2 s i n x c o s x,  
£  一 1   .  

西  _\ ~、 .  ;  
2   2  

? 。 丁
. 

 。 。   z  n  ’  
】   £ 2 一]   ( £ +1 ) ( t -1 ) t -1  

‘ . 

0 ER,   . ‘ .   1   s i n 2 0 l   E   F o , 1 ] ,  


一 Y—l +t丁

一—   再  一 一丁

‘  

? ?

?  

钮 

又‘ . 。  £ 一s i n   +C O S X 一 √   s i n (  +孚) ,  
∈R,.   .£ ∈[ 一   , √  ,  
?

? . . 

的最大值 为  , 当且 仅 当 


. 

的值 域 为[  

,  

] .  



÷+k z r ( k Ez ) 时取得.  
练 习  设  ,  , 一 C是单 位 向量 , 且  ?   一0  

概括

在含 有 s i n x c o s x, s i n x± C O S X 的 式 

子 中充分 利用 s i n   . 3 9 +C O S   一 1这 一 关 系式 ,   类似 的 . y —a s i n x c o s x +b ( s i n x±c o s x ) +c , 设 t  
一  

则(  一 ) (  一 ) 的最 小值 

.  

( 答案 : 1 一厄 提示 , 设  一 ( 1 , o ) ,  一( 0 ,  
1 ) ,  一 ( s i n O , c o s 0 ) . )  

i n x±   。   , 可化简为 :  一 

—   +  + 

在[ ~√ 2 , √ 2 ] 上 的取值 问题 .  
练习   f( z) 一( 1 +s i n x ) ( 1 +C O S X ) 与  f ( x ) 一( 1 +s i n x ) ( 1 一C O S S C ) 在 zER 上 的 最 小 

3 .与 圆锥 曲线 的交汇  例 3 在平 面直 角坐标 系 x O y中, 设 P( x ,  


2 

) 是 椭 圆  +Y 。 =1上 的一 动点 , 求 S—  +Y  

值分 别是 (  

) .  
1 , 一1  

( A) 1 , 1   ( B)0, 1   ( C)0 , 0   ( D)  

●  ●  ● 

的最大值 .   分析  考 虑 椭 圆x   Z   T
y  Z
 


( 答案 : ( C) . )  

1的 参 数 方 程 

( 责审   王  雷)  

 ̄ l / t k :Z X S S . c h i n a j o u r n a 1 . n e t . c n  

● 

4 2  ● 电 子 邮 箱 : z x s s @ c h i n a j o u r n a 1 . n e t . c n  


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