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平面向量数乘运算及其几何意义优质课!!!!


1.向量加法三角形法则:
C

2.向量加法平行四边形法则:

? ? a?b

? b
B

B

? a

C

? A a

? ? ?a ?b b

? b

特点:首尾顺次连,起点 指终点 3.向量减法三角形法则:

A 特点:起点相同,对角为和

O

? a

a b
O

B

b

BA ? a ? b

a

A

特点:平移同起点,方向指被减

作一作,看成果 已知非零向量 a,作出 a ? a ? a ,你能发现什么? a
O

a
A

a
B

a
C

3a

3a与 a 方向相同
即 3a ? 3 a

(?a) ? (?a) ? (?a) 又如何呢? 类比上述结论, ?a ?a ?a P ?3a ?3a 与 a方向相反 Q N M

即 ?3a ? 3 a

一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量, 定义: 这种运算叫做向量的数乘,记作 ? a

说明: ( 1)

| ? a |?| ? || a |
a
的方向相同;

(2)当 ? ? 0时, ? a 的方向与 当? ? 0 时, ? a 的方向与

a 的方向相反。 特别的,当 ? ? 0 时, ? a ? 0.

几何意义:把向量 a 沿同向或反向模变为原来的 ? 倍

(1) 根据定义,求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量),并进行比较。 (2) 已知向量 a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b, 并进行比较。 ?

a

? 3( 2a )

? b ?

? ? 3( 2a ) = 6 a
? ? a ?b

a

? ? 2a ? 2b

? ? ? ? 2(a ? b ) ? 2a ? 2b

? 2b

? 2a

向量的数乘运算满足如下运算律:

?,?是实数,
(1)( ? ? a ) ? ( ?? )a; (2)( ? ? ? )a ? ? a ? ? a; (3)? ( a ? b ) ? ? a ? ? b .
特别地:(? ?) a ? ?(? a) ? ? ?a

? a ? b ? ? a ? ?b
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算

?

?

? ?

例1、计算下列各式

? ? (1)(?3) ? 4a ? ?12a ? ? ? ? ? ? (2)3(a ? b ) ? 2(a ? b ) ? a ? 5b

? ? ? ? ? ? (3)(2a ? 3b ? c ) ? (3a ? 2b ? c )
? ? ? ? ?a ? 5b ? 2c

思考:

(1)若b ? ? a(a ? 0),则a, b位置关系如何 ?

b // a
(2)若b // a(a ? 0),则b ? ? a是否成立?
成立

共线向量定理:
向量a (a ? 0)与b共线, 当且仅当有唯一一个实数? , 使b ? ? a.
思考:1) a 为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?

例2 如图,已知AD=3AB,DE=3BC, 试判断AC与AE是否共线。
C E

? AE ? AD ? DE 解:

A B D

? 3 AB ? 3BC

? 3 AB ? BC

?

?

? 3 AC
∴ AC 与 AE 共线.

例3.如图,已知任意两个向量 a、 b ,试作OA ? a ? b,

OB ? a ? 2b, OC ? a ? 3b. 你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗?为什么?
3b
C

a

b

B

2b

A

b
O

a

总结: 证明三点共线的方法:
AB=λBC 且有公共点B
A,B,C三点共线

例5.如图,平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M,且

b 来表示MA AB ? a, AD ? b ,你能用 a 、 、 MB、 MC 和 MD。
D M C

b
A

a

B

C

D

① ② ④

3 a ? 2b 2

小结:
一、

①λ a 的定义及运算律 ②向量共线定理 (a≠0)

b=λa

向量a与b共线

二、定理的应用: 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 且有公共点B 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD

A,B,C三点共线

AB与CD不在同一直线上

直线AB∥直线CD

课本P91 A组 9、10

B组 3


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