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高中数学必修5第1章《解三角形》综合测试题(B)及解析


高中数学必修 5 第一章《解三角形》综合测试题(B)
班级:________ 姓名:___________ 座号:________ 得分:________

第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.四个选项中只有一项是符合题目要求的) 1.在 ?ABC 中,已知 sin B ? 1 , b ? 3 ,则此三角形 A.无解 答案:D. 解析:由 sin B ? 1 得 B ? 90 ,只知一边 b ? 3 ,故三角形解的个数不确定. 故选 D.
o

【 D 】 C.有两解 D. 解的个数不确定

B.只有一解

2.在 ?ABC 中,已知 A ? 60 , b ? 19 , ?ABC 的面积 S ? 399 3 ,则 a 等于
o

【 C 】

A. 84 答案:C. 解析:由 S ?

B. 48

C. 5821

D. 5812

1 1 bc sin A ? ? 19 ? c sin 60o ? 399 3 ,解得 c ? 84 ,故 a 2 ? b2 ? c2 ?2bc cos 60o 2 2

? 5821 ,故 a ? 5821 .故选 C.
3.在 ?ABC 中, A ? 60 , a ? 4 3 , b ? 4 2 ,则 B 等于
o

【 A 】
o

A. 45

o

B. 135

o

C. 45 或 135

o

D. 以上答案都不对

答案:A. 解析:由正弦定理可求得 sin B ? 4.在 ?ABC 中, sin A ? A. 锐角三角形 答案:B.

2 o o ,因为 b < a ,故 B < A ? 60 ,故 B ? 45 .故选 A. 2
【 B 】 D. 以上都有可能

sin B ? sin C ,则 ?ABC 一定是 cos B ? cos C
B. 直角三角形 C. 钝角三角形

解析:由已知根据正、余弦定理得 a ?

b?c 2 2 2 2 2 2 2 2 ,整理得 b(a ? b ) ? c(a ? c ) a ?c ?b a ?b ?c ? 2ac 2ab
2 2

? bc(b ? c) ,即 (b ? c)a 2 ? (b 3 ?c 3) ?bc (b ?c ) ?bc ( b ? c ) ,故 a ? b ? bc ? c ? bc ?b ?c ,
2 2 2 2 2

故 ?ABC 为直角三角形. 故选 B. 5.在 ?ABC 中, lg a ? lg b ? lg(sin B) ? ? lg 2 , B 为锐角,则 A 为 A. 90
o

【 D 】 D. 30
o

B. 45

o

C. 60

o

答案:D.

第 1 页 共 7 页

解析: 由已知得 故选 D.

a 2 a s n i A 2 o , 又 B 为锐角, 故 B ? 45 ; 又 ? ? sin B ? ? b 2 b s n i B 2

n i A? , 故s

1 o , 故 A ? 30 . 2

6.在锐角三角形 ABC 中, a 、 b 、 c 分别是三内角 A 、 B 、 C 的对边,设 B ? 2 A ,则 范围是 A. ( ?2, 2) 答案:D. B. (0, 2) C. ( 2,2)

b 的取值 a

【 D 】 D. ( 2, 3)

?0o < A < 90o ? o o o o o 解一:因 B ? 2 A ,故 C ? 180 ? A ? B ? 180 ? 3A ,故 ?0 < 2 A < 90 ,解得 30 < ? o o o ?0 < 180 ? 3 A < 90
b sin B ? ? 2 cos A ? ( 2, 3) ,故选 D. a sin A b sin B sin 2 A ? ? ? ? 2 cos A ,因 0 < B < ,故 0 < 2 A < ,即 0 < 解二:由正弦定理得 ? a sin A sin A 2 2

A < 45o ,故

A<

?

4

,又 A ? B ? C ? ? ,故 C ? ? ? 3 A ,由题意得 0 < ? ? 3 A <

?

2

,故

?

6

< A<

?

3

,又

0< A<

?
4

,故

?
6

< A<

?
4

,故

2 3 ,故 2 < 2cosA < 3 ,即 2 cos A ? < cosA < 2 2

b ( 2, 3) ,即 ? ( 2, 3) .故选 D. a 3 7.在 ?ABC 中,若 sin B ? , b ? 10 ,则边长 c 的取值范围是 4 15 40 A. ( , ?? ) B. (10, ??) C. (0, ] 2 3
答案:C. 解析:由正弦定理可得 c ?

【 C 】 D. (0,10)

40 40 sin C ,因 0 < sin C ≤ 1 ,故 0 < c ≤ .故选 C. 3 3 A 3 2 C ? c cos2 ? b ,则 a 、 b 、 c 的关系是 8.在 ?ABC 中,若 a cos 2 2 2
A. a ? c ? 2b 答案:A. 解析:由已知得 a ? B. a ? b ? c C. b ? c ? 2 a

【 A 】

D. a ? b ? c

1 ? cos C 1 ? cos A 3 ? c? ? b ,即 a(1 ? cos C ) ? c(1 ? cos A) ? 3b ,由正弦定 2 2 2

理,得 sin A(1 ? cos C ) ? sin C (1 ? cos A) ? 3sin B ,故 sin A ? sin A cos C ? sin C ? sin C cos A

? 3sin B ,即 sin A ?sin C ?sin( A ? C ) ? 3sin B ,又 sin( A ? C) ?sin B ,故 sin A ?sin C ?
2 sin B ,由正弦定理,得 a ? c ? 2b .故选 A.

第 2 页 共 7 页

第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在横线上) 题

9
号 答 案

10

11

12

13

14

40 3

25 3
o

6

15 2

6 10 c
m
2

1 19

9.三角形一边长为 14,它的对角为 60 ,另两边之比为 8 : 5 ,则此三角形的面积为____________. 答案: 40 3 . 解析:设另两边的长为 8 x 和 5 x ,由余弦定理,得 cos60 ?
o

(8 x ) ? (5x ) ? 14 ,解得 x ? 2 ,则 80 x 2
2 2 2

另两边的长为 16 和 10 ,故此三角形的面积为 S ?
o o

1 ? 16 ? 10 ? sin 60o ? 40 3 . 2

10.在 ?ABC 中, a ? 50 , B ? 30 , C ? 120 ,则 BC 边上的高的长度是__________. 答案: 25 3 . 解析:由已知得 A ? 30 ,由正弦定理得
o

50 AB ? ,解得 AB ? 50 3 ,故 BC 边上的 o sin 30 sin120o

高 AD ?

1 AB ? 25 3 . 2
2

11.三角形的两边分别为 5 和 3 ,它们的夹角的余弦值是方程 5x ? 7 x ? 6 ? 0 的根,则此三角形的 面积 S 为___________. 答案: 6 .

3 4 1 4 ,则 sin ? ? ,故 S ? ? 5 ? 3 ? ? 6 . 5 5 2 5 7 2 2 12.在 ?ABC 中,已知 b ? bc ? 2c ? 0 ,且 a ? 6 , cos A ? ,则 ?ABC 的面积是_________. 8
解析:由方程解得 cos ? ? ? 答案:

15 . 2
2 2 2 2 2 2 2

解析:由 b ? bc ? 2c ? 0 ,得 b ? 2c ;由余弦定理 b ? c ? a ? 2bc cos A ,得 4c ? c ? 6

7 1 7 15 ? 2 ? 2c ? c ? ,解得 c ? 2 ,故 b ? 4 ,故 S ? ? 2 ? 4 ? 1 ? ( )2 ? . 8 2 8 2
13.用长度分别为 2、3、4、5、6(单位:cm)的 5 根细木棒围成一个三角形(允许木棒连接,但 不允许折断) ,能够得到的三角形面积的最大值是_________.(提示:对于三个正数 x 、 y 、 z , 若 x ? y ? z 为定值,则当且仅当 x ? y ? z 时, xyz 最大,当三个正数不能全相等时,应使三个 正数尽量接近). 答案: 6 10 cm .
第 3 页 共 7 页
2

解一:由三角形面积公式和余弦定理得 S ?

2 2 2 1 1 1 a ?b ?c 2 ab sin C ? ab 1 ? cos2 C ? ab 1 ? ( ) 2 2 2 2ab

?

(a ? b ? c)(a ? b ? c)(a ? c ? b)(b ? c ? a) ,由题意可知三边之和为 20 ,根据提示可知,当三 16

边分别为 2 ? 5 ? 7 , 3 ? 4 ? 7 , 6 时,此三角形的面积最大,最大面积为 Smax ?

20 ? 8 ? 6 ? 6 16

? 6 10 .
解析:由已知条件知当三边长为 7 、 7 、 6 时,三角形的面积最大,由余弦定理,得 cos? ?

1 7 2 ? 62 ? 7 2 3 2 10 ? ,故 sin ? ? ,故 S ? ? ? 7 ? 6sin ? ? 6 10 . 2 2?7?6 7 7
点评:解题过程实际上是一个知识的积累过程.要注意联想的作用.面积公式中涉及边和角,利用什 么样的关系将角转化为边是解决问题的关键. 14.圆内接四边形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 4 , CD ? 5 , AD ? 6 ,则 cos A ? ___________. 答案:

1 . 19
2 2 2

解析:在 ?ABD 中,由余弦定理,得 BD ? AB ? AD ? 2 AB ? AD cos A ? 45 ? 36 cos A ;在

?BCD 中,由余弦定理,得 BD2 ? BC 2 ? CD2 ? 2BC ? CD cos C ? 41 ? 40 cos C ;因圆内接四
边形对角互补,故 cos A ? ? cos C ,故 45 ? 36cos A ? 41 ? 40cos A ,解得 cos A ?

1 . 19

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
3 , sin A ? cos A < 0 , a ? 3 5 , b ? 5 .求 c . 5 3 4 2 解:因为 sin A ? cos A < 0 ,且 sin A ? ,故 cos A ? ? 1 ? sin A ? ? ;又 a ? 3 5 , b ? 5 ,故由 5 5 4 2 2 2 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,得 (3 5) ? 5 ? c ? 2 ? 5 ? c ? ( ? ) ,即 c2 ? 8c ? 20 ? 0 ,解得 c ? 2 或 5
15. (本题满分10分)在 ?ABC 中,已知 sin A ?

c ? ?10( 舍去 ) .故 c ? 2 .
点评:解此题的关键是由 sin A ? 以防产生漏解. 16. (本题满分12分)已知 ?ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (1)求边 AB 的长; (2)若 ?ABC 的面积为 sin C ,求角 C 的度数. 解: (1)由题意得 AB ? BC ? AC ?

3 求出 cos A ,应注意根据 sin A ? cos A < 0 先判断 cos A 的正负, 5

1 6

2 ? 1 ,由正弦定理得 BC ? AC ? 2 AB ,两式相减得 AB ? 1 .

第 4 页 共 7 页

(2)由题意得 S?ABC ?
2 2 2

1 1 1 BC ? AC ? sin C ? sin C ,得 BC ? AC ? ,由余弦定理得 cos C ? 2 6 3
2 2

AC ? BC ? AB ( AC ? BC ) ? 2 AC ? BC ? AB 1 ? ? ,故 C ? 60o . 2 AC ? BC 2 AC ? BC 2
点评:本题主要考查正、余弦定理及三角形面积公式,应注意在三角形中使用正、弦定理的条件. 17. (本题满分14分)在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是三内角 A 、 B 、 C 的对边,且 c ? 10 ,又已 知

cos A b 4 ? ? . cos B a 3

(1)求 a 、 b 的值; (2)求 ?ABC 的内切圆半径. 解: (1)由

cos A b sin B b cos A sin B ? , ? ,得 ? ,变为 sin A cos A ? sin B cos B ,故 sin 2 A cos B a sin A a cos B sin A

? sin 2 B ,又因为 a ? b ,故 2 A ? ? ? 2 B ,故 A ? B ?

?

2

.故 ?ABC 是直角三角形,且 C ? 90 .则由题
o

?a 2 ? b2 ? c 2 ?a ? 6 ? 意,得 ? b 4 ,解得 ? .即 a 、 b 的值分别为 6 、 8 . b ? 8 ? ? ? ?a 3
a ? b ? c 6 ? 8 ? 10 ? ?2. 2 2 a?b?c c 点评:直角三角形中,若 a 、 b 为直角边, c 为斜边,则其外接圆半径 R ? ,内切圆半径 r ? . 2 2 1 1 若求一般三角形的内切圆半径,则可考虑用面积公式 S ? ? ab sin C ? ( a ? b ? c ) ? r 求解. 2 2 18. (本题满分14分)设锐角三角形的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 a ? 2b sin A .
(2)因 a ? 6 , b ? 8 ,故 ?ABC 的内切圆半径 r ? (1)求 B 的大小; (2)求 cos A ? sin C 的取值范围. 解: (1)由 a ? 2b sin A 根据正弦定理,得 sin A ? 2sin B sin A ,故 sin B ? 角形,故 B ?

?
6

1 .因 ?ABC 为锐角三 2

.

(2) cos A ? sin C ? cos A ? sin(? ?

?
6

? A) ? cos A ? sin(

?

1 3 ? A) ? cos A ? cos A ? sin A 6 2 2

? 3 sin( A ?

?
3

) .由 ?ABC 为锐角三角形,知

?
2

?B < A<

?
2

,而

?
2

?B?

?
2

?

?
6

?

?
3

,故

?
3

< A<

?
2

, 故

2? ? 5? 3 1 ? 3 3 ? < A? < , 故 < sin( A ? ) < , < 3 sin( A ? ) < .故 cos A ? sin C 3 3 6 2 2 3 2 3 2

的取值范围是 (

3 3 , ). 2 2

19. (本题满分14分)海岛 B 上有一座海拔 1000 m的山,山顶 A 处设有观察站,上午 11 时测得一轮
第 5 页 共 7 页

船在海岛北偏东 60 的 C 处,俯角为 30 ;11时10分又测得该轮船在海岛北偏西 60 的 D 处,俯 角为 60 . (1)求此船的速度; (2)若船的速度和航向不变,则它何时到达岛的正西方? 导思: (1)求船速,先要求路程 CD .在 ?CDB 中,先求 BD 、 D E B
o

o

o

o

A



C


BC 和 ?DBC ,再利用余弦定理即可求出 CD ; (2)在

?BDC 中,先求 sin ?BDC ,再进一步求出 sin ?BED ,
再利用正弦定理求出 DE . 解: (1)如图, AB ? 1 km, ?BAC ? 60 , ?BAD ? 30 ,
o o

在Rt ?ABC 中, BC ? AB tan ?BAC ? 3 km;在Rt

?ABD 中, BD ? AB tan ?BAD ?

3 o (km);在 ?BDC 中, ?DBC ? 120 ,由余弦定理, 3

得 CD ? 3 ?

39 1 1 3 1 39 (km),故船速 v ? ? ? 2 39 (km/h). ?2? 3? ? (? ) ? 3 6 3 3 2 3

(2)设轮船沿 CD 从 D 处经时间 t 后到达岛的正西方 E 处,在 ?BDC 中,由正弦定理得 sin ?BDC

?

o 1 BC sin120 9 5 3 o ,故 cos ?BDC ? ,故 sin ?BED ? sin(?BDC ? 30 ) ? ; ? CD 13 2 39 2 39
o 1 BD sin 30 39 (km),故 t ? (h).即船于 11 时 15 分到 ? 12 sin ?BED 6

在 ?BDE 中,由正弦定理,得 DE ? 达岛的正西方.

答:若船的速度和航向不变,则它于 11 时 15 分到达岛的正西方. 点评:本题画出的是立体图形而不是平面图形. 20. (本题满分 16 分)在 ?ABC 中, A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 b ? 2 7 , B ? 60 ,
o

a ? c ? 10 .
(1)求 sin( A ? 30 ) ;
o

(2)若 D 为 ?ABC 外接圆劣弧 AC 上的一点,且 2 AD ? DC ,求四边形 ABCD 的面积. 导思: (1)由边 a 、 c 的关系可得角 A 、 C 的关系,再利用 B ? 60 将 C
o

转化为 A ,从而得到关于 A 的式子,进而求得 sin( A ? 30 ) 的值;
o

D A C

(2)要求四边形 ABCD 的面积,可考虑将其分割成两个三角形, 从而转化为求三角形的面积问题来解决. 解: (1)由正弦定理得

a c b 4 7 ,因 a ? c ? 10 , ? ? ? sin ?BAC sin ?ACB sin B B 3

5 3 o o ;又 B ? 60 ,故 ?ACB ? 120 ? ?BAC , 2 7 o o o 故 sin ?BAC ? sin(120 ? ?BAC) ? sin ?BAC ? sin120 cos ?BAC ? cos120 sin ?BAC
故 sin ?BAC ? sin ?ACB ?

第 6 页 共 7 页

?

5 7 5 7 5 3 o o ,即 sin(?BAC ? 30 ) ? ,即 sin( A ? 30 ) ? . 14 14 2 7
o o

(2)因 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆,又 B ? 60 ,故 D ? 120 .在 ?ADC 中,由余弦定理,得
2 2 2 1 AD ? DC ? b 1 o cos D ? ? ? ,解得 AD ? 2 ,故 S?ACD ? AD ? CD sin120 ? 2 3 ;在 2 2 AD ? DC 2

?ABC 中,由余弦定理,得 cos B ?
故 S ?ABC ?

a ?c ?b (a ? c) ? 2ac ? b 1 ? ? ,解得 ac ? 24 , 2ac 2ac 2
2 2 2 2 2

1 ac sin 60o ? 6 3 .故 S四边形ABCD ? S?ABC ? S?ACD ? 6 3+2 3 ? 8 3 . 2

点评:研究四边形的面积或周长等问题,一般通过辅助线将其转化为几个三角形来解决,并且注意将 题目中的条件集中到某个三角形中来解决.

第 7 页 共 7 页


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