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2014届高考数学一轮复习 第56讲《直线与圆、圆与圆的位置关系》热点针对训练 理


第56讲

直线与圆、圆与圆的位置关系
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1.(2012?广东省惠州市第二次调 研)直线 ax-y+2a=0 与圆 x +y =9 的位置关系 是( C ) A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定 解析: 直线 ax-y+2a=0? a(x+2)-y=0 即直线恒过点(-2,0), 因为点(-2,0)在圆 内,所以直线与

圆相交,故选 C. 2 2 2.(2013?海南琼海市期末)直线 3x+y-2 3=0 与圆 O:x +y =4 交于 A、B 两点, → → 则OA?OB=( A ) A.2 B .-2 C.4 D.-4 → → 2 2 解析:直线 3x+y-2 3=0 与圆 O:x + y =4 交于 A(1, 3),B(2,0),OA?OB=2, 故选 A. 2 2 2 2 3.两圆 C1:x +y -6x+4y+12=0 与圆 C2:x +y -14x-2y+14=0 的位置关系是 ( D ) A. 相交 B.内含 C.外切 D.内切 2 2 2 2 解析:由已知,圆 C1:(x-3) +(y+2) =1,圆 C2:(x-7) +(y-1) =36,则|C1C2| =5=6-1 ,故选 D. 4.(2013?温州模拟)已知点 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB 是 2 2 圆 C:x +y -2y=0 的两条切线,A,B 为切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值 为( C ) A.4 B.2 2 C.2 D. 2 解析: 因为四边形 PACB 的最小面积是 2, 此时切线长为 2, 所以圆心到直线的距离为 5, 5 即 d= = 5,解得 k=2,故选 C. 2 1+k 2 2 5.(2012?三明市上期联考)经过点 P( 2,-3)作圆 x +2x+y =24 的弦 AB,使得点 P 平分弦 AB,则弦 AB 所在直线的方程为 x-y+5=0 . 解析:点 P 在圆内,则过点 P 且被点 P 平分的弦所在的直线和圆心与 P 的连线垂直.又 圆心与 P 的连线的斜率是-1,则所求直线的斜率为 1,且过点 P(2,-3),则所求直线方程 是 x-y-5=0. 2 2 6.(2013?武昌区高三 5 月调研)在圆 x +y =4 上,与直线 l:4x+3y-12=0 的距 2 离最小值是 . 5 |12| 12 解析:圆的半径是 2,圆心 O(0,0)到 l:4x+3y-12=0 的距离是 d= 2 2= ,所 5 4 +3 12 2 2 2 以在圆 x +y =4 上,与直线 l:4x+3y-12=0 的距离最小值是 d-r= -2= . 5 5 2 2 7.(2012?浙江省名校新高考研究联盟第二次联考)已知直线 y=x+b 交圆 x +y =1 6 于 A、B 两点,且∠AOB=60°(O 为原点),则实数 b 的值为 ± . 2 解析:如图易得 d= 3 b =| |, 2 2

1

6 . 2 2 2 8.已知圆 C:(x-1) +(y-2) =2,P 点的坐标为(2,-1), 过点 P 作圆 C 的切线, 切点为 A、B. (1)求直线 PA、PB 的方程; (2)求过 P 点的圆的切线长; (3)求直线 AB 的方 程. 所以 b=±

解析:(1)如图,设过 P 点的圆的切线方程为 y+1=k(x-2), 即 kx-y-2k-1=0. |-k-3| 因为圆心(1,2)到切线的距离为 2,即 = 2, 2 1+k 2 所以 k -6k-7=0,解得 k=7 或 k=-1, 所以所求的切线方程为 7x-y-15=0 或 x+y-1=0. (2)连接 PC,CA. 2 2 2 在 Rt△PCA 中,|PA| =|PC| -|CA| =8, 所以过 P 点的圆 C 的切线长为 2 2. ? ?7x-y-15=0 12 9 (3)由? ,解得 A( , ). 2 2 5 5 ? ?? x-1? +? y-2? =2
? ?x+y-1=0 又由? ,解得 B(0,1), 2 2 ? ?? x-1? +? y-2? =2 所以直线 AB 的方程为 x-3y+3=0. 9.(2012?丰台区高三期末考试)在平面直角坐标系 xOy 中,O 为坐标原点,以 O 为圆 心的圆与直线 x- 3y-4=0 相切. (1)求圆 O 的方程; (2)直线 l: =kx+3 与圆 O 交于 A, 两点, y B 在圆 O 上是否存在一点 M, 使得四边形 OAMB 为菱形?若存在,求出此时直线 l 的斜率;若不存在,说明理由. 解析:(1)设圆 O 的半径为 r,因为直线 x- 3y-4=0 与圆 O 相切, |0- 3?0-4| 所以 r= =2, 1+3 2 2 所以圆 O 的方程为 x +y =4. (2)(方法一)因为直线 l:y=kx+3 与圆 O 交于 A,B 两点,所以圆心 O 到直线 l 的距离 |3| d= <2, 2 1+k

5 5 或 k<- . 2 2 假设存在点 M,使得四边形 OAMB 为菱形, 解得 k>
2

则 OM 与 AB 互相垂直且平分, 所以原点 O 到直线 l:y=kx+3 的距离为 1 d= |OM|=1, 2 |3| 所以圆心 O 到直线 l 的距离 d= =1, 2 1+k 解得 k =8,即 k=±2 2,经验证满足条件, 所以存在点 M,使得四边形 OAMB 为菱形. (方法二)记 OM 与 AB 交于点 C(x0,y0). 因为直线 l 的斜率为 k,显然 k≠0, 1 所以直线 OM 的方程为 y=- x,
2

k

?y=kx+3 ? 由? 1 ?y=-kx ?

-3k ?x=k +1 ? ,解 得? 3 ? ?y=k +1
2 2



所以点 M 的坐标为(

-6k 6 , 2 ). 2 k +1 k +1

因为点 M 在圆上, -6k 2 6 2 2 所以( 2 ) +( 2 ) =4,解得 k =8, k +1 k +1 即 k=±2 2,经验证满足条件, 所以存在点 M,使得四边形 OAMB 为菱形.

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