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公共根


公共根问题
【真题引入】 26. (本题满分 11 分) 已知关于 x 的方程 x2 ? ax ? b ? 0( b ? 0) 与 x ? cx ? d ? 0 都有实数根,若这两个方程有且只有一个公共根,且
2

ab ? cd ,则称它们互为“同根轮换方程”。如 x 2 ? x ? 6 ? 0 与 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 互

为“同根轮换方程”
(1)若关于 x 的方程 x ? 4 x ? m ? 0 与 x ? 6 x ? n ? 0 互为“同根轮换方程”,求 m 的值;
2 2
2 (2) 若 p 是关于 x 的方程 x2 ? ax ? b ? 0(b ? 0) 的实数根,q 是关于 x 的方程 x ? 2ax ?

b ? 0 的实数根, 当 p ,q 2

分别取何值时,方程 x2 ? ax ? b ? 0(b ? 0) 与 x ? 2ax ?
2

b ? 0 互为“同根轮换方程”,请说明理由. 2

【答案】

26.(本题满分 11 分) (1) (本小题满分 4 分) 解:∵方程 x +4x+m=0 与 x -6x+n=0 互为“同根轮换方程” , ∴ 4m=-6n.
2 2 2 2

???????????1 分

设 t 是公共根,则有 t +4t+m=0,t -6t+n=0. n-m 解得,t= 10 . ∵ 4m=-6n. ∴ m t=- 6 . ???????????3 分 ???????????2 分

m m ∴(- 6 )2+4(- 6 )+m=0. ∴ m=-12. (2) (本小题满分 7 分) 解 1:∵ x -x-6=0 与 x -2x-3=0 互为“同根轮换方程” , 它们的公共根是 3. 而 3=(-3)?(-1)=-3?(-1) . 又∵ x +x-6=0 与 x +2x-3=0 互为“同根轮换方程” . 它们的公共根是-3. 而-3=-3?1. ∴当 p=q=-3a 时, 有 9a2-3a2+b=0. 解得,b=-6a2. ∴ x2+ax-6a2=0,x2+2ax-3a2=0. 解得,p=-3a,x1=2a;q=-3a ,x2=a.???????????4 分 ∵b≠0,∴-6a2≠0,∴a ≠0. ∴ 2a ≠a.即 x1≠x2. 1 又∵ 2a?2b=ab, ???????????5 分 ???????????6 分 ???????????3 分
2 2 2 2

???????????4 分

???????????1 分

1 ∴方程 x2+ax+b=0(b≠0)与 x2+2ax+2b=0 互为“同根轮换方程” . ???????????7 分

【知识透析】 二次方程的公共根问题的一般解法:设公共根,代入原方程(两个或以上),然后通过恒等变形求出参数的值和

公共根. 【典型例题】 1.求 k 的值,使得一元二次方程 x2 ? kx ? 1 ? 0 , x2 ? x ? (k ? 2) ? 0 有相同的根,并求两个方程的根.

* 2.设 a , b , c 为 ?ABC 的三边,且二次三项式 x 2 ? 2ax ? b2 与 x 2 ? 2cx ? b2 有一次公因式,证明: ?ABC 一定是直 角三角形.

【课堂练习】

m 为何值时,方程 x 2 ? mx ? 3 ? 0 与方程 x2 ? 4 x ? (m ? 1) ? 0 有一个公共根?并求出这个公共根。

【综合应用】 1、 (2010 年西城期末)已知关于 x 的一元二次方程 ax2+2bx+c=0(a>0)① (1)若方程①有一个正实根 c,且 2ac+b<0,求 b 的取值范围;

(2)当 a=1 时,方程①与关于 x 的方程 4x2+4bx+c=0 ②有一个相同的非零实根,求

8b 2 ? c 的值。 8b2 ? c

2、已知关于 x 的方程 (n ? 1) x ? mx ? 1 ? 0 ①有两个相等的实数根.
2

(1)求证:关于 y 的方程 m y ? 2my ? m ? 2n ? 3 ? 0 ②必有两个不相等的实数根。
2 2 2 2

(2)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根,求代数式 m n ? 12n 的值。
2

3、 (09 年海淀一模)已知:关于 x 的一元一次方程 kx=x+2 的根为正实数,二次函数 y=ax2﹣bx+kc(c≠0)的图像与 x 轴一个交点的横坐标为 1. (1)若方程①的根为正整数,求整数 k 的值;

(2)求代数式

2 (kc) - b 2 ? ab 的值; akc

(3)求证:关于 x 的一元二次方程 ax2﹣bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根。

【课后习题】 1、 已知关于 x 的方程 x2+(2m+1)x+m2+2=0 有两个相等的实数根,是判断直线 y=(2m-3)x-4m+7 能否通过 A(-2,4),并说明理由。

2、已知关于 x 的方程 x2+2(a-3)x+a2-7a-b+12=0 有两个相等的实根,且满足 2a-b=0. (1)求 a、b 的值; (2)已知 k 为一实数,求证:关于 x 的方程(-a+b)x2+bkx+2k-(a+b)=0 有两个不等的实根.

3、已知:a、b、c 是△ABC 的三边,若方程 ax2 ? 2 b 2 ? c 2 x ? 2(b ? c) ? 2a 有两个等根, 试判断△ABC 的形状.

【与函数综合】 1、 (08 年朝阳一模)已知 a、b 是关于 x 的一元二次方程 kx 2 ? 2 ? k ? 3? x ? k ? 3 ? 0 的两个实数根,其中 k 为非负整 数,点 A(a,b)是一次函数 y=(k-2)x+m 与反比例函数 y= n 图象的交点,且 m、n 为常数. x (1)求 k 的值; (2)求一次函数与反比例函数的解析式.

2、 (09 年崇文一模)已知:关于 x 的一元二次方程 kx2+(2k-3)x+k-3=0 有两个不相等实数根(k<0) 。 (1)用含 k 的式子表示方程的两实数根; (2)设方程的两实数根分别是 x1,x2(其中 x1>x2) ,若一次函数 y=(3k-1)x+b 与反比例函数 y ? (x1,kx2) ,求一次函数与反比例函数的解析式。

b 的图像都经过点 x

3、 (09 年海淀二模)已知:关于 x 的一元二次方程 x2+(n-2m)x+ m2-mn=0 ①。 (1)求证:方程①有两个实数根; (2)若 m-n-1=0,求证方程①有一个实数根为 1; (3) 在 (2) 的条件下, 设方程①的另一个实数根为 a, 当 x=2 时, 关于 m 的函数 y1=nx+am 与 y2=x2+a (n-2m) x+ m2-mn 的图像交于点 A、B(点 A 在点 B 的左侧) ,平行于 y 轴的直线 l 与 y1、y2 的图像交于点 C、D。当 l 沿 AB 由点 A 平 移到点 B 时,求线段 CD 的最大值。

【自学成才】

一元二次方程中参数的求解策略
有关一元二次方程中的参数(字母系数)值的求法,这类题目综合性强,方法灵活多变,是各地中考命题者倍 加青睐的题目。不少同学对这类问题的求解颇感思路不清,非常棘手。为帮助同学们在复习迎考过程中掌握这类问 题的求解策略,现介绍如下,供参考。

一、用方程的定义

例 1. m 为何值时,关于 x 的方程 mx 2 ? (2m ? 1) x ? m ? 2 ? 0 有实数根? (2000 年江西赣南中考题) 分 析 : 关 于 x 的 方 程 mx 2 ? (2m ? 1) x ? m ? 2 ? 0 有 实 根 , 可 理 解 为 “ 一 元 二 次 方 程 。 mx 2 ? (2m ? 1) x ? m ? 2 ? 0 有实根”和“一元二次方程 mx 2 ? (2m ? 1) x ? m ? 2 ? 0 有实根” 解: (1)当 m≠0 时,由 ? ? (2m ? 1) ? 4m(m ? 2) ? 0,得m ?
2

1 , 12

∴当 m ?

1 且m≠ 0 时,原方程有两个实根; 12 1 ,原方程有实根。 12

(2)当 m=0 时,原方程变为 ?x ? 2 ? 0 只有一个实根。 综合(1) (2)当 m ?

二、用方程的判别式 例 2. 关于 x 的一元二次方程 3x ? 2 x ? k ? 1 ? 0 有两个不等实根,则 k 的取值范围是(
2

) (2001 年安徽)

4 3 4 C. k ? 3
A. k ?

4 且k≠1 3 4 D. k ? 3
B. k ?

分析:由 ? ? (?2) 2 ? 4?3( k ? 1) ? 0,得

16 ? 12k ? 0, 即 k ?

4 ,故选 A。 3

例 3. 已知一元二次方程 (a ? 1) x 2 ? 5a 2 ? 5ax ? a ? 1 ? 0 有两个相等实根,则 a=___________。 (2000 年黑龙江)

分析:由 ? ? 5a ? 5a ? 4(a ? 1) ? 0, 得 a1 ? 1,a2 ? ?4 。
2 2

当 a=1 时,方程的二次项系数为 0,应舍去。 当 a=-4 时, 5a ? 5a ? 5a(a ? 1) ? ?20?(?5) ? 0 ,
2

∴ a ? ?4 。

三、用根的定义

例 4. 已知一元二次方程 2 x 2 ? px ? 6 2 ? 0 有一个根是 2 ,则 p=_________。 (1999 年四川) 分析:由根的定义知 x ?

2 ,把 x 代入原方程,得

2 ( 2 ) 2 ? 2 ?p ? 6 2 ? 0 ∴p ? 6 2 ?4 ? 6 ? 2 2。 2

四、用算术平方根的定义
2 2 2 例 5. 关于 x 的方程 x ? 2 x ? 2 x ? 2 x ? 2 p ? p ? 0 ,其中 p 为实数,若方程没有实根,求 p 的范围。

分析:从表面看,要用△求解,但用△得不出结论。设

x2 ? 2x ? 2 p ? y , 原 方 程 化 为

y 2 ? 2 y ? ( p 2 ? 2 p) ? 0 。
∵ ? ? 4 ? 4( p 2 ? 2 p) ? 4( p ? 1) 2 ? 0, ∴解得 y1 ? p,y2 ? ?2 ? p 。 ∵y 是算术平方根,∴当原方程无解时应有 y1 ? 0且y2 ? 0 , 即 p ? 0且 ? 2 ? p ? 0,∴ ? 2 ? p ? 0 。

五、逆向思维,分类讨论 例 6. 已知关于 x 的方程 a 2 x 2 ? (3a 2 ? 8a) x ? 2a 2 ? 13a ? 15 ? 0 (其中 a 为非负整数)至少有一个整数根,则 a=________。 (1998 年全国初中联赛)

分析:原方程结构比较复杂,正面求解显然很繁,但我们可从反面入手,逆向思维,然后分类讨论,可简易获得。 解:原方程变形为 ( x ? 3x ? 2)a ? (8x ? 13)a ? 15 ? 0 ,即
2 2

( x ? 2)( x ? 1)a 2 ? (8x ? 13)a ? 15 ? 0 ,
∴a ?

5 3 或a ? ? 。 x ?1 x?2

∵a 为非负整数,x 为整数, ∴x=0 时,a=5;x=-4 或 x=-1 时 a=1; x=1 时 a=3。故 a 的值应为 1,3,5。

六、用求根公式 例 7. 已知关于 x 的方程 x ? 4 x ? k ? 1 ? 0 的两个实根之差为 6,则 k=_________。 (2001 年贵阳市)
2

分析:由求根公式得 x ? 2± 5 ? k ,∴x1 ? 2 ? 5 ? k ,x2 ? 2 ? 5 ? k 。

∴| x1 ? x 2 | ?|2 ? 5 ? k ? (2 ? 5 ? k )| ? 2 5? k ? 6 ∴k ? ?4

七、用三角形函数知识求解 例 8. 已知 Rt△ABC 中,∠C=90°,sinA,cosB 是关于 x 的方程 x ? 2 x ? m ? 0 的两个实根,求 m 的值。 (宁
2

波市) 分析:∵∠A+∠B=90°,∴cosB=sinA。则

sin A ? cos B ? 2 sin A ? 2 ,
∴ sin A ? ∴m ?

2 2 ,又 sin A cos B ? sin 2 A ? ( ) 2 ? m , 2 2

1 。 2

八、构造方程组 例 9. 关于 x 的方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0与x 2 ? x ? m ? 0 有一个相同的实数根,则 m 的值是( A. 0 B. 2 C. 1 D. -1 )

解:设两个方程的相同的实根为 a,则
2 ? ?a ? ma ? 1 ? 0, ? 2 ? ?a ? a ? m ? 0

两式相减,得 (m ? 1)a ? ?(m ? 1) 。 ∵当 m=-1 时,给定的两个方程无实根,∴m≠-1。 因此,a=-1。把 a=-1 代入其中一方程可求得 m=2,故选 B。

九、判别式再结合非负数性质

例 10. 已知方程 x 2 ? 2(1 ? m) x ? (3m2 ? 4mn ? 4n 2 ? 2) =0 有实根,求 m,n 的值。 解:由题意知

? ? 4(1 ? m) 2 ? 4(3m2 ? 4mn ? 4n 2 ? 2) ? 0,
即 (m ? 1) 2 ? (m ? 2n) 2 ? 0 由非负数性质知 (m ? 1) 2 ? (m ? 2n) 2 ? 0 , ∴ (m ? 1) 2 ? (m ? 2n) 2 ? 0 。 ∴ m ? 1,且m ? 2n ? 0 。 故 m ? 1,n ? ?

1 。 2


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