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2009文辽宁高考数学真题及答案WORD版(教师版)


2009 年(辽宁卷)数学(文史类)
选择题:本大题 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 M=﹛x|-3<x ? 5﹜,N=﹛x|x<-5 或 x>5﹜,则 M ? N= (A) ﹛x|x<-5 或 x>-3﹜ (C) ﹛x|-3<x<5﹜ (B) ﹛x|-5<x<5﹜ (D) ﹛x|x<-3 或 x>5﹜

【答案】A

【解析】直接利用并集性质求解,或者画出数轴求解. (2)已知复数 z ? 1 ? 2i ,那么

1 = z
5 2 5 ? i 5 5
(C)

(A)

5 2 5 ? i 5 5

(B)

1 2 ? i 5 5

(D)

1 2 ? i 5 5

【解析】

1 1 1 ? 2i 1 ? 2i 1 2 = ? i ? ? ? z 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i) 1 ? 22 5 5

【答案】C

(3)已知 ?an ? 为等差数列,且 a7 -2 a4 =-1, a3 =0,则公差 d= (A)-2 (B)-

1 2

(C)

1 2

(D)2

【解析】a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1 ? d=-
0

1 2

【答案】B

(4)平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ,a=(2,0), | b |=1,则 | a+2b |= (A) 3 (B)2 3 (C)4 (D)12

【解析】由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4× 2× 1× cos60° +4=12 ∴ a ? 2b ? 2 3 【答案】B
0

(5)如果把地球看成一个球体,则地球上的北纬 60 纬线长和赤道长的比值为 (A)0.8 (B)0.75 (C)0.5 (D)0.25

1 0 【解析】设地球半径为 R,则北纬 60 纬线圆的半径为 Rcos60°= R 2

而圆周长之比等于半径之比,故北纬 60 纬线长和赤道长的比值为 0.5.

0

【答案】C

x (6) 已知函数 f ( x) 满足:x≥4,则 f ( x) = ( ) ;当 x<4 时 f ( x) = f ( x ? 1) ,则 f (2 ? log 2 3) =

1 2

(A)

1 24

(B)

1 12

(C)

1 8

(D)

3 8

【解析】∵3<2+log23<4,所以 f(2+log23)=f(3+log23) 且 3+log23>4 第 1 页 共 8 页

∴ f (2 ? log 2 3) =f(3+log23)

1 3? log2 3 1 1 log 2 3 1 1 log 1 1 1 1 3 ? ?( ) ? ?( ) 2 ? ? ? =( ) 2 8 2 8 2 8 3 24

1

【答案】A

(7) 已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为 (A) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

(B) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

(C)

( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2

(D) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

【解析】 圆心在 x+y=0 上,排除 C、 D,再结合图象,或者验证 A、 B 中圆心到两直线的距离等于半径 2即可. 【答案】B (8)已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ?
2 2

(A) ?

4 3
2

(B)

5 4
2

( C) ?

3 4

(D)

4 5

【解析】 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ?

sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2cos 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ?
【答案】D

tan 2 ? ? tan ? ? 2 4 ? 2 ? 2 4 = = ? 4 ?1 5 tan 2 ? ? 1

(9)ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取一点,取到的点到 O 的距离 大于 1 的概率为 (A)

? 4

(B) 1 ?

?
4

( C)

? 8

(D) 1 ?

?
8
w.w.w.k.s .5.u.c .o.m

【解析】长方形面积为 2,以 O 为圆心,1 为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为

? 2

因此取到的点到 O 的距离小于 1 的概率为 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 1 ?

? ? ÷ 2= 2 4
【答案】B

?
4

(10)某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据 a1 , a2 , 。 。 。 a N ,其中收入记为正数,支出记为负数。 该店用右边的程序框图计算月总收入 S 和月净盈利 V,那么在图中空白的判断框和处理框中,应分别填入 下列四个选项中的 (A)A>0,V=S-T (C) A>0, V=S+T (B) A<0,V=S-T (D)A<0, V=S+T 第 2 页 共 8 页

【解析】月总收入为 S,因此 A>0 时归入 S,判断框内填 A>0 支出 T 为负数,因此月盈利 V=S+T (11)下列 4 个命题

【答案】C

1 1 p1 : ?x ? (0, ??), ( ) x ? ( ) x 2 3 1 p3 : ?x ? (0, ??), ( ) x ? ㏒ 1/2x 2
其中的真命题是(A) p1 , p3 ( B) p1 , p4

p2 : ?x ? (0,1), ㏒ 1/2x>㏒ 1/3x

w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

1 1 p4 : ?x ? (0, ), ( ) x ? ㏒ 1/3x 3 2
(C) p2 , p3 (D) p2 , p4

1 【解析】取 x= ,则㏒ 1/2x=1,㏒ 1/3x=log32<1,p2 正确 2

当 x∈(0,

1 3

1 x )时,( ) <1,而㏒ 1/3x>1.p4 正确 2

【答案】D

(12)已知偶函数 f ( x) 在区间 ? 0, ?? ) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是 (A) (

1 2 , ) 3 3

(B) [

1 2 , ) 3 3

(C)(

1 2 , ) 2 3

1 3 1 2 (D) [ , ) 2 3

【解析】由于 f(x)是偶函数,故 f(x)=f(|x|) ∴得 f(|2x-1|)<f( 得|2x-1|<

1 3

1 ),再根据 f(x)的单调性 3 1 2 解得 <x< 3 3

【答案】A

二-填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)在平面直角坐标系 xoy 中,四边形 ABCD 的边 AB∥DC,AD∥BC,已知点 A(-2,0),B(6,8) ,C(8,6), 则 D 点的坐标为___________. 【解析】平行四边形 ABCD 中, OB ? OD ? OA ? OC ???? ??? ? ???? ??? ? ∴ OD ? OA ? OC ? OB =(-2,0)+(8,6)-(6,8)=(0,-2) 即 D 点坐标为(0,-2) (14)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图象如图所示, 则? = 4π 【解析】由图象可得最小正周期为 3 2π 4π ∴T= = ω 3 (15)若函数 f ( x) ? ? ω=
w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

??? ? ????

??? ? ????

【答案】 (0,-2)

3 2

【答案】

3 2

x2 ? a 在 x ? 1 处取极值,则 a ? x ?1

第 3 页 共 8 页

【解析】f’(x)=

2 x( x ? 1) ? ( x 2 ? a) ( x ? 1) 2

f’(1)=

3? a =0 ? a=3 4

【答案】3 m )。

( 16 ) 设 某 几 何 体 的 三 视 图 如 下 ( 尺 寸 的 长 度 单 位 为

则该几何体的体积为

m3

【解析】这是一个三棱锥,高为 2,底面三角形一边为 4,这边上的高为 3,
1 体积等于 ×2×4×3=4 6

【答案】4

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应用写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 10 分) 等比数列{ an }的前 n 项和为 sn ,已知 S1 , S 3 , S 2 成等差数列 (1)求{ an }的公比 q; (2)求 a1 - a3 =3,求 sn (17)解: (Ⅰ)依题意有
w.w.w.k.s.5. u.c.o. m w.w.w.k.s. 5.u.c. o.m

a1 ? (a1 ? a1q) ? 2(a1 ? a1q ? a1q 2 )
由于 a1 ? 0 ,故

2q 2 ? q ? 0

1 2 1 2 (Ⅱ)由已知可得 a1 ? a ( 1 ? )?3 2
又 q ? 0 ,从而 q ? - 故 a1 ? 4

5分

第 4 页 共 8 页

1 n ( 4 1? (? ) ) 8 1 n 2 从而 S n ? ? ( 1? (? ) ) 1 3 2 1? (? ) 2
(18) (本小题满分 12 分)

10 分

如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处 测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 , 30 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 ,AC=0.1km。试探 究图中 B,D 间距离与另外哪两点距离相等,然后求 B,D 的距离(计算结果精确到 0.01km, 2 ? 1.414,
0 0 0

6 ? 2.449)
(18)解:

w.w.w.k.s.5.u .c.o.m

在 ?ACD 中,?DAC =30°,?ADC =60°- ?DAC =30°, 所以 CD=AC=0.1 又 ?BCD =180°-60°-60°=60°, 故 CB 是 ?CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA 在 ?ABC 中, 5分

AB AC , ? sin?BCA sin?ABC

w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

即 AB=

AC sin 60? 3 2 ? 6 ? sin15? 20 3 2? 6 ? 0.33km 20
12 分

因此, BD ?

故 B、D 的距离约为 0.33km。 (19) (本小题满分 12 分)

如图,已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内,M,N 分别为 AB,DF 的中点。 (I)若 CD=2,平面 ABCD ⊥平面 DCEF,求直线 MN 的长; (II)用反证法证明:直线 ME 与 BN 是两条异面直线。 (19)解 (Ⅰ)取 CD 的中点 G 连结 MG,NG. 因为 ABCD,DCEF 为正方形,且边长为 2, 所以 MG⊥CD,MG=2, NG ? 因为平面 ABCD⊥平面 DCEF, 第 5 页 共 8 页
w.w.w.k.s.5.u.c.o .m

2.

所以 MG⊥平面 DCEF,可得 MG⊥NG. 所以 MN ?

MG 2 ? NG 2 ? 6

??6 分 ?..8 分

(Ⅱ)假设直线 ME 与 BN 共面, 则 AB ? 平面 MBEN,且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN, 由已知,两正方形不共面,故 AB ? 平面 DCEF. 又 AB∥CD,所以 AB∥平面 DCEF.而 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线, 所以 AB∥EN. 又 AB∥CD∥EF, 所以 EN∥EF,这与 EN ? EF=E 矛盾,故假设不成立。 所以 ME 与 BN 不共面,它们是异面直线。 (20) (本小题满分 12 分)
w.w.w.k.s.5.u.c.o .m

??..12 分

某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:mm)的值落在(29.94,30.06)的零件 为优质品。从两个分厂生产的零件中个抽出 500 件,量其内径尺寸,的结果如下表: 甲厂

试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率; 由于以上统计数据填下面 2 ? 2 列联表,并问是否有 99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差 异” 。 甲 厂 优质品 非优质品 合计 附: x ?
2

乙 厂

合计

n(n11n22 ? n12 n21 ) 2 p( x 2 ? k ) 0.05???0.01 , n1? n2? n?1n?2 k 3.841????????

w.w.w.k .s.5.u .c.o.m

第 6 页 共 8 页

(20)解: (Ⅰ)甲厂抽查的产品中有 360 件优质品,从而甲厂生产的零件的优质品率估计为 6分 乙厂抽查的产品中有 320 件优质品,从而乙厂生产的零件的优质品率估计为 (Ⅱ) 甲厂 优质品 非优质品 合计 360 140 500 乙厂 320 180 500 合计 680 320 1000 ??8 分

360 ? 72% ; 500

??

320 ? 64% 500

x2 ?

1000 ? (360 ?180 ? 320 ?140) 2 500 ? 500 ? 680 ? 320 ? 7.35 ? 6.635,

w.w.w.k .s.5.u .c.o.m

所以有 99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异” 。 (21) (本小题满分 12 分)

??12 分

设 f ( x) ? e (ax ? x ? 1) ,且曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与 x 轴平行。
x 2

求 a 的值,并讨论 f(x)的单调性; 证明:当 ? ? [0, (21)解: (Ⅰ) f '( x) ? e (ax ? x ? 1 ? 2ax ? 1) .有条件知,
x 2

?
2

]时, f( cos ? ) ? f(sin? ) ? 2

w.w.w.k .s.5.u .c.o.m

f '(1) ? 0 ,故 a ? 3 ? 2a ? 0 ? a ? ?1 .
于是 f '( x) ? e (? x ? x ? 2) ? ?e ( x ? 2)( x ? 1) .
x 2 x

???2 分

故当 x ? (??, ?2) ? (1, ??) 时, f '( x) <0; 当 x ? (?2,1) 时, f '( x) >0.

w.w.w.k.s.5.u .c.o.m

从而 f ( x) 在 (??, ?2) , (1, ??) 单调减少,在 (?2,1) 单调增加.

???6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) 在 [0,1] 单调增加,故 f ( x) 在 [0,1] 的最大值为 f (1) ? e , 第 7 页 共 8 页

最小值为 f (0) ? 1 .

w.w.w.k.s .5.u.c .o.m

从而对任意 x1 , x2 ?[0,1] ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ? 1 ? 2 . 而当 ? ? [0, 从而

???10 分

?
2

] 时, cos ? ,sin ? ? [0,1] .
???12 分

f (cos ? ) ? f (sin ? ) ? 2

(22)已知,椭圆 C 以过点 A(1, ? ? 求椭圆 C 的方程;

3 ) ,两个焦点为(-1,0) (1,0) 。 2

E,F 是椭圆 C 上的两个动点, 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数, 证明直线 EF 的斜率为定 值,并求出这个定值。
w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

(22)解: (Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1。 1 ? b 2 4b 2

w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

因为 A 在椭圆上,所以

1 9 3 。 ? 2 ? 1 ,解得 b 2 =3, b 2 = ? (舍去) 2 1 ? b 4b 4
. . . . . .4 分

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3 x2 y 2 3 ? ? 1得 ,代入 4 3 2

(Ⅱ)设直线AE方程:得 y ? k ( x ? 1) ?

w.w.w.k.s.5. u.c.o. m

3 (3+4k 2)x 2 +4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k )2 ? 12 ? 0 2
设E( xE , y E ) ,F( xF , y F ) .因为点A(1,

3 )在椭圆上,所以 2

3 4( ? k ) 2 ? 12 xE ? 2 , 3 ? 4k 2 3 yE ? kxE ? ? k 。 2 3 4( ? k )2 ? 12 , xF ? 2 3 ? 4k 2

w.w.k.s. 5.u.c. o.m

. . . . . . .8 分

又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以 ?k 代 k ,可得

w.w.w.k.s.5 .u.c.o .m

3 yF ? ?kxF ? ? k 。 2
y F ? y E ? k ( xF ? xE ) ? 2 k 1 ? ? 。 xF ? x E xF ? xE 2

所以直线 EF 的斜率 k EF ?

即直线 EF 的斜率为定值,其值为

1 。 2
第 8 页 共 8 页

. . . . . . .12 分


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