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(数学)潮南区两英中学2013届高一上学期期末考试


潮南区两英中学 2013 届高一上学期期末考试 数 学
一、选择题(10 小题,每题 5 分,共 50 分,在每小题的四个选项中只有一个符合题目的要求) 1. 设集合 A ? {x | 2 x ? 1 ? 3}, B ? {x | ?3 ? x ? 2} ,则 A ? B ? A. {x | x ? ?3} B. {x |1 ? x ? 2} C. {x | ?3 ? x ? 1} D. {x | x ? 1}

2. 若有以下说法: ①相等向量的模相等;②若 a 和 b 都是单位向量,则 a ? b ; ③对于任意的 a 和 b , | a ? b |?| a | ? | b | 恒成立;④若 a ∥ b , c ∥ b ,则 a ∥ c . 其中正确的说法序号是 A. ①③ B. ①④ 3. 下列函数中,最小正周期为 ? 的是 A. y ? sin

C. ②③

D. ③④ D. y ? cos 2 x

x x B. y ? cos C. y ? tan 2 x 2 2 4 3? ? ? ? 2? ,则 tan ? 的值是 4. 已知 cos ? ? ,且 5 2 3 3 4 4 A. B. ? C. D. ? 4 4 3 3 ??? ???? ? ??? ??? ???? ? ? ? 5. 向量 ( AB ? MB) ? (BO ? BC ) ? MO 等于
A. BC

??? ?

B. AB

??? ?

C. AC

??? ?

D. AM

???? ?

6. 设 lg 2 ? a,lg 3 ? b ,则 log5 12 的值是 A.

2a ? b 1? a

B.

a ? 2b 1? a

C.

2a ? b 1? a

D.

a ? 2b 1? a

3 7. 已知函数 f ( x) ? ax ? cx ? 5 ,满足 f (?3) ? ?3 ,则 f (3) 的值等于

A. 3

B. 7

C. 10

D. 13

8. 将函数 f ( x) ? 2 sin 2x 的图象向右平移 A.

5? ? B. 12 6 1 3 9. 设 a ? ( , tan ? ), b ? (cos ? , ) ,且 a ∥ b ,则锐角 ? 的值为 3 2 ? ? ? ? A. B. C. D. 12 6 4 3

? 个单位后,其图象的一条对称轴可以是 6 ? ? C. D. 12 3

, 10. 在 梯 形 ABCD 中 , AB ∥ CD , AB ? 2CD , M , N 分 别 是 C D A B 中 点 , 设 的

1

???? ? ??? ? ???? n AB ? a, AD ? b .若 MN ? ma ? nb ,则 ? m 1 1 A. ? B. ?4 C. 4 4
二、填空题(每题 5 分,共 20 分.将答案写在答题纸上) 11. 函数 f ( x) ?

D. 4

x?

1 的定义域是____________________. x

12. 函数 y ? cos 2 x ? 3cos x ? 4 的最小值是_______.

?2 x ? 1, x ? 0 ? 13. 已知函数 f ( x ) ? ? 2 ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有 3 个零点,则实数 m 的取 ? ? x ? 2 x, x ? 0 ?
值范围是_______. | 14. 定 义 向 量 a , b 的 外 积 为 a ? b ?| a | b

| s i n其 中 ? 为 a 与 b 的 夹 角 , 若 ? ,

a ? (?1, 2) , b ? (1,1) ,则 a ? b ?
____________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15.(12 分) (1)已知 tan ? ? ?

1 1 ? 2sin ? cos ? ,求 的值. 2 sin 2 ? ? cos 2 ? 11? sin(2? ? ? ) cos( ?? ) 2 (2)化简: 9? sin(?? ? ? )sin( ? ? ) 2

16.(12 分)已知 | a |? 4,| b | ? 2 ,且 a 与 b 的夹角 ? 为 60° ,求

( (1) (a ? 2b)? a ? 3b) ;(2) a 与 a ? b 的夹角 ? .

y

2

7? 12
O
?2

? 12

x

2

17.(14 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 图象如右图所示. (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 的解析式; (3)求 f ( x ) 的最大值,并求出取最大值时 x 的值.

?
2

)的部分

18.(14 分)已知三个点 A(2,1), B(3,2), D(?1,4) , (1)求证: AB ? AD ; (2)要使四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标,并求矩形 ABCD 两对角线所夹锐角的余弦 值.

??? ?

????

19.(14 分)函数 f ( x ) ?

ax ? b 1 2 是定义在 (?1,1) 上的奇函数,且 f ( ) ? . 2 1? x 2 5

(1)确定函数 f ( x ) 的解析式; (2)求证: f ( x ) 在 (?1,1) 上是增函数; (3)解不等式: f (t ? 1) ? f (t ) ? 0 .

20.(14 分)已知函数 f ( x ) 的定义域为 R ,对任意 s, t ?R 都有 f (s ? t ) ? f (s) ? f (t ) ,且对 任意 x ? 0 ,都有 f ( x) ? 0 ,且已知 f (3) ? ?3 . (1)求证: f ( x ) 是 R 上的单调递减函数; (2)求证: f ( x ) 是奇函数; (3)求 f ( x ) 在 [m, n] ( m, n ? Z 且 m ? 0 )上的值域.

3

参考答案
一、选择题(每题 5 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 B 5 C 6 C 7 D 8 A 9 B 10 B

二、填空题(每题 5 分) 11、

( 0 ?? ) ,

也可以填 {x | x ? 0}

12、 14、

2 3

13、 (0,1) 三、解答题 15、 (1)解:? tan ? ? ?

1 , 2

?

1 ? 2sin ? cos ? (sin ? ? cos ? )2 ? ……………1 分 sin 2 ? ? cos 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ?

?
?

(sin ? ? cos ? )2 ……2 分 (sin ? ? cos ? )(sin ? ? cos ? )

sin ? ? cos ? …………3 分 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 ? ……………4 分 tan ? ? 1 1 ? ?1 ………5 分 ? 2 1 ? ?1 2 1 ? ? ………………6 分 3
(2)解:原式 ?

(? sin ? ) ? ? sin ?) ( ………………4 分(每答对 1 个得 1 分) (sin ? )(cos ?)

? tan ? …………………………6 分
16. 解: (1)原式 ? a ? 3ab ? 2ab ? 6b
2 2

………………………………………1 分

? a 2 ? ab ? 6b2 …………………………………………………2 分

?| a |2 ? | a || b | cos? ? 6 | b |2 …………………………………3 分
? 16 ? 4 ? 24 ? ?4 ……………………………………………………………4 分
(2)?| a ? b |?

(a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ……………………………………6 分

4

? | a |2 ?2 | a || b | cos ? ? | b |2

………………………7 分

? 2 3 ……………………………………………………8 分
? cos ? ? a ? a ? b) ( | a || a ? b |
…………………………………………………………………9 分

| a |2 ? | a || b | cos ? …………………………………………………………10 分 ? | a || a ? b |
? 3 ……………………………………………………………………………11 分 2
………………………………………………………12 分

又 0? ? ? ? 180? ,?? ? 30?

17. 解: (1)设 f ( x ) 的最小正周期为 T ,由图象可知

T 7? ? ? ? ,所以 T ? ? …2 分 2 12 12

(2)由图象可知 A ? 2 ………………………………4 分 又? ?

2? 2? ? ? 2 ,所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ) …………………………6 分 T ?

由 2sin(2 ?

?

12

? ? ) ? 2 ,且 | ? |?

?

2

得? ?

?

? f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ……………………………………9 分 3
(3)由(2)知 f ( x ) 的最大值为 2…………………………………………10 分 令 2x ?

?

3

………………………………8 分

?
3

?

?
2

? 2k? (k ? Z) ………………………………………………12 分

解得 x ?

?

12

? k? (k ? Z) ……………………………………………………13 分

所以当 x ?

?

12

? k? (k ? Z) 时, f ( x) 有最大值 2.…………………………14 分

18. (1)? A(2,1), B(3, 2), D(?1, 4),? AB ? (1,1), AD ? (?3,3) ………2 分 又? AB?AD ? 1? (?3) ? 1? 3 ? 0 ,? AB ? AD

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?
??? ?

??? ?

????

……………4 分

(2)? AB ? AD ,要使四边形 ABCD 为矩形,? AB ? DC …………………6 分 设 C 点坐标为 ( x, y ) ,则 (1,1) ? ( x ? 1, y ? 4) ,? ?

????

??? ?

????

?x ?1 ? 1 …………………7 分 ?y ? 4 ?1

解得 x ? 0, y ? 5 ,? C 点坐标为 (0,5) …………………………………………8 分 由于 AC ? (?2, 4), BD ? (?4, 2) ……………………………………………………9 分
5

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? AC ?BD 16 4 ? ? 设 AC 与 BD 夹角为 ? ,则 cos ? ? ??? ??? ? ? ? 0 ,………………13 分 | AC || BD | 2 5 ?2 5 5
所以矩形 ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值为

4 5

…………………………14 分

? b ?1 ? 02 ? 0 f (0) ? 0 ? ? ? ? 19. 解: (1)由题意得 ? 1 ,即 ? a ? b ……………………………2 分 2 2 f( )? 2 ? ? 2 5 ? ? ? 1 5 ?1? 4 ?
解得 a ? 1, b ? 0 ? f ( x) ?

x ……………………………………………………4 分 1 ? x2

x22 x12 (2)在 (?1,1) 任取 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? …………5 分 ? 1 ? x22 1 ? x12
? ( x2 ? x1 )(1 ? x1 x2 ) ………6 分 (1 ? x2 2 )(1 ? x12 )

??1 ? x1 ? x2 ? 1? x2 ? x1 ? 0,1? x12 ? 0,1? x22 ? 0 ……………………………7 分
又? ?1 ? x1 x2 ? 1?1 ? x1 x2 ? 0 ………………………………………8 分

? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,故 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x) 在 (?1,1) 上是增函数……………9 分
(3)? f ( x) 是奇函数,则原不等式可化为 f (t ? 1) ? ? f (t ) ? f (?t ) …………10 分 又 f ( x ) 在 (?1,1) 上是增函数,所以 ?1 ? t ? 1 ? ?t ? 1 ………………………………12 分 解得 0 ? t ?

1 2

…………………………………………………………………………13 分

故原不等式的解集为 {x | 0 ? t ? } …………………………………………………………14 分

1 2

20.



: (

1





R





x1 , x2





x1 ? x2





f(

2

x) ?

f [ ? (x 2

1

? x )1 ? x ]

2

? ( 1x ? ) x 1 ( f ) x f ……………………………………………1 分

? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? x2 ? x1 ? 0,? f ( x2 ? x1 ) ? 0

……………………………………………………………2 分 ……………………………………………………………3 分

? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,即? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x) 是 R 上的单调递减函数……4 分
6

(2)令 s ? t ? 0 ,则 f (0) ? f (0) ? f (0),? f (0) ? 0 ………………………………5 分 又令 s ? x, t ? ? x ,则 f (0) ? f ( x) ? f (? x) ,? f ( x) ? f (? x) ? 0 ………………6 分

? f (? x) ? ? f ( x) ? f ( x) 是奇函数……………………………………………………7 分
(3)? f ( x) 是 R 上的单调递减函数,? f ( x) 在 [m, n] 上也为减函数………………8 分

? f ( x) 在 [m, n] 上的最大值为 f ( m) ,最小值为 f (n) ………………………………9 分
又 m, n ? Z ,? f (m) ? f [1 ? (m ? 1)] ? f (1) ? f (m ? 1) ? 2 f (1) ? f (m ? 2) ? ? ? mf (1) 同理 f (n) ? nf (1) ……………………………………………………………11 分 已知 f (3) ? ?3 得 f (3) ? 3 f (1) ? ?3 ? f (1) ? ?1 …………………………12 分

? f (n) ? ?n, f (m) ? ?m

………………………………………………13 分

所以函数的值域为 [?n, ?m] …………………………………………………14 分

7



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