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广东省揭阳市第一中学、潮州金山中学2016届高三下学期第一次联考数学(文科)试题


2015—2016 学年度第二学期高三级两校联考试卷

文科数学
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的。 ) 1.设集合 A ? {1,2,3} , B ? {4,5} , M ? {x | x ? a ? b, a ? A, b ? B} ,则 M 中元素的个数 是(

) A.3 B .4 C.5 D.6 )

? 1 ? x ? 3 ,则 p 是 q 成立的( 2.设 p:x ? 3 , q:
A.充分必要条件 C.必要不充分条件 3.设函数 f ( x) ? ? A.3 B.充分不必要条件 D.不充分不必要条件

? ?1 ? log2 (2 ? x), x ? 1 ,则 f (?2) ? f (log2 12) ? ( x ?1 ? ?2 , x ? 1
C.9 D.12 )



B .6

4.下列函数中,最小正周期为 ? 且图象关于原点对称的函数是( A. y ? cos( 2 x ?

?
2

)

B. y ? sin( 2 x ?

?
2

)

C. y ? sin 2 x ? cos2 x

D. y ? sin x ? cos x )

5.已知等差数列 {an } 中, a4 ? a6 ? 10 ,前 5 项和 S5 ? 5 ,则其公差为( A.1 B .2 C.3 D.4

? x, y ? 0 ? 6.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? x ? 2 y 的取值范围是( ?x ? y ? 3 ?
A. [?2,0] 7.已知双曲线 B. [?3,0] C. [?2,3] D. [?3,3]



x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线过点 (2, 3 ) ,且双曲线的一个焦点 a 2 b2


在抛物线 y 2 ? 4 7 x 的准线上,则双曲线的方程为(

x2 y 2 ? ?1 A. 21 28

x2 y2 ? ?1 B. 28 21
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C.

x2 y 2 ? ?1 3 4

D.

x2 y 2 ? ?1 4 3


8.执行右图所示程序,则输出的 i 的值为(

A.2

B .3

C.4

D.5 )

9. 设复数 z ? ( x ? 1) ? yi ( x, y ? R) , 若 | z |? 1 , 则 y ? x 的概率为 ( A.

3 1 ? 4 2?

B.

1 1 ? 2 ?
x

C.

1 1 ? 4 2?

D.

1 1 ? 2 ?

10 . 已 知 xo 是 函 数 f ( x) ? 2 ?

1 的 一 个 零 点 , 若 x1 ? (1, xo ) , 1? x

x2 ? ( xo ,??) ,则(

) B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 D. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0

A. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 C. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0

11.某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加 工成一个体积尽可能大的长方体新工件, 并使新工件 的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利 用率 (材料利用率=新工件体积/原工件体积) 为 ( )

A.

8 9? 16 9?

B.

C.

4( 2 ? 1)3

?
12( 2 ? 1)3

D.

?

12. 将正奇数排成如图所示的三角形数阵 (第 k 行有 k 个奇数) ,其中第 i 行第 j 个数表示为 aij ,例如

a42 ? 15 ,若 aij ? 2015,则 i ? j ? (
A.26 B.27 C.28

) D.29

(第 12 题)

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.袋中有形状、大小都相同的 4 个球,其中 1 个白球,1 个红球,2 个黄球。从中一次随
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机取出 2 个球,则这 2 个球颜色不同的概率为

. .

14.若曲线 y ? kx2 ? ln x 在点 (1, k ) 处的切线与直线 2 x ? y ? 3 ? 0 平行,则 k ? 15.已知定点 A 的坐标为 (1,4) ,点 F 是双曲线 上的动点,则 | PF | ? | PA | 的最小值为

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,点 P 是双曲线右支 4 12


16.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ( x ? 5) ? 0 ,当 x ? (?1,4] 时, f ( x) ? x2 ? 2x , 则函数 f ( x) 在 [0,2016 ] 上的零点个数是 .

三.解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第 17—21 题,每题 12 分,选做 题 10 分,共 70 分) 17. (12 分)已知 a, b, c 分别是 ?ABC 内角 A, B, C 的对边, sin B ? 2 sin A sin C .
2

⑴若 a ? b ,求 cos B ; ⑵若 B ? 90? ,且 a ?

2 ,求 ?ABC 的面积.

18. (12 分)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问 50 名职工,根 据这 50 名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示) ,其中样本数据分组区间 为 [40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100] . ⑴求频率分布图中 a 的值; ⑵估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率; ⑶从评分在 [40,60) 的受访职工中,随机抽取 2 人, 求此 2 人评分都在 [40,50) 的概率.
频率 组距
0.028 0.022 0.018

0.004

a
40 50 60 70 80 90 100 分数

19. (12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,PA ? 平面 ABCD ,

P

PA ? AB ? AD ? 2 , 四 边 形 ABCD 中 AB ? AD ,

BC // AD ,且 BC ? 4 ,点 M 为 PC 中点.
⑴求证:平面 ADM ? 平面 PBC ; ⑵求点 P 到平面 ADM 的距离.
B
A

M D

C

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20. (12 分)已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴,离心率为 ⑴求椭圆 M 的方程;

2 ,且一个焦点坐标为 ( 2 ,0) . 2

⑵设直线 l 与椭圆 M 相交于 A, B 两点,以线段 OA, OB 为邻边作平行四边形 OAPB , 其中点 P 在椭圆 M 上, O 为坐标原点.求点 O 到直线 l 的距离的最小值.

21 . ( 12 分)设函数 f ( x), g ( x) 的定义域均为 R ,且 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,

f ( x) ? g ( x) ? e x ,其中 e 为自然对数的底数.
⑴求 f ( x), g ( x) 的解析式,并证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? 0, g ( x) ? 1 ; ⑵设 a ? 0, b ? 1 ,证明:当 x ? 0 时, ag( x) ? (1 ? a) ?

f ( x) ? bg( x) ? (1 ? b) . x

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请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题给分. 22.选修 4-1:几何证明选讲(10 分) 如图, AB 是 ⊙ O 的直径,弦 BD, CA 的延长线相交于 点 E , EF 垂直 BA 的延长线于点 F . ⑴求证: ?DEA ? ?DFA ; ⑵求证: AB ? BE ? BD ? AE ? AC .
2

E D F B

A

O

C

23.选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系. 已知曲线 C1 : ?

? x ? ?4 ? cost ? x ? 8 cos? ( t 为参数) , C2 : ? ( ? 为参数) . ? y ? 3 ? sin t ? y ? 3 sin ?

⑴化 C1 , C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; ⑵若 C1 上的点 P 对应的参数为 t ?

? , Q 为 C2 上的动点,求 PQ 的中点 M 到 2

直线 C3 : ? (cos? ? 2 sin ? ) ? 7 的距离的最小值.

24.选修 4-5:不等式选讲(10 分) 设函数 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | . ⑴画出函数 f ( x ) 的图象; ⑵若不等式 | a ? b | ? | a ? b |?| a | f ( x) (a ? 0, a, b ? R) 恒成立,求实数 x 的取值范 围.

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2015—2016 学年度第二学期高三级两校联考文科数学参考答案及评分 标准
1 —12:BCCA, BDDC, CBAB
2

5 13: 6

1 14: 2

15: 9

16: 1209

17.⑴由题设及正弦定理可得 b ? 2ac ………………………………2 分 又 a ? b ,可得 b ? 2c, a ? 2c ………………………………4 分 由余弦定理可得 cos B ? ⑵由⑴知 b ? 2ac .
2

a2 ? c2 ? b2 1 ? .………………………………6 分 2ac 4

∵ B ? 90? ,由勾股定理得 a ? c ? b .………………………………8 分
2 2 2

故 a ? c ? 2ac ,得 a ? c ? 2 .………………………………10 分
2 2

∴ ?ABC 的面积为

1 ? 2 ? 2 ? 1 .………………………………12 分 2

18.⑴∵ (0.004? a ? 0.022? 0.028? 0.022? 0.018) ?10 ? 1,∴ a ? 0.006 …………3 分 ⑵由所给频率分布直方图知,50 名受访职工评分不低于 80 的频率为

(0.022? 0.018) ?10 ? 0.4 .
∴该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率估计值为 0 .4 ………………………6 分 ⑶受访职工评分在 [50,60) 的有: 50 ? 0.006 ?10 ? 3 (人) ,记为 A1 , A2 , A3 . 受访职工评分在 [40,50) 的有: 50 ? 0.004 ?10 ? 2 (人) ,记为 B1 , B2 ………8 分 从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人,所有可能的结果共有 10 种,分别是:{ A1 , A2 },

{ A1 , A3 }, { A1 , B1}, { A1 , B2 }, { A2 , A3 }, { A2 , B1}, { A2 , B2 }, { A3 , B1}, { A3 , B2 }, {B1 , B2 } .………………………………10 分
又∵所抽取 2 人的评分都在 [40,50) 的结果有 1 种, 即 {B1 , B2 } , 故所求的概率为

1 . 10

………………………………12 分 19.⑴证明:取 PB 中点 N ,连接 MN , AN . ∵ M 是 PC 中点,∴ MN // BC , MN ?

1 BC ? 2 . 2

又∵ BC // AD ,∴ MN // AD , MN ? AD ∴四边形 ADMN 为平行四边形.………………………………2 分 ∵ AP ? AD, AB ? AD ,∴ AD ? 平面 PAB .………………………4 分
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∴ AD ? AN ,∴ AN ? MN . ∵ AP ? AB ,∴ AN ? PB ,∴ AN ? 平面 PBC .…………………6 分 ∵ AN ? 平面 ADM ,∴平面 ADM ? 平面 PBC .…………………7 分 ⑵由⑴知, PN ? AN, PN ? AD . ∴ PN ? 平面 ADN ,即点 P 到平面 ADM 的距离为 PN ……………………10 分 在 Rt ?PAB 中,由 PA ? AB ? 2 ,得 PB ? 2 2 ,∴ PN ?

1 PB ? 2 . 2

∴点 P 到平面 ADM 的距离为 2 .………………………………12 分 20.⑴由已知设椭圆 M 的方程为

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,则 c ? 2 ………………1 分 a2 b2

由e ?

c 2 ,得 a ? 2, a 2 ? 4, b 2 ? 2 .………………………………3 分 ? a 2
x2 y2 ? ? 1 .………………………………4 分 4 2

∴椭圆 M 的方程为

⑵当直线 l 斜率存在时,设直线 l 方程为 y ? kx ? m .

? y ? kx ? m ? 则由 ? x 2 y 2 消去 y 得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx? 2m2 ? 4 ? 0 . ? ? 1 ? 2 ?4

? ? 16k 2 m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 4) ? 8(2 ? 4k 2 ? m2 ) ? 0 .①
设点 A, B, P 的坐标分别是 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), ( x0 , y0 ) . ∵四边形 OAPB 为平行四边形, ∴ x0 ? x1 ? x2 ? ?

4km . 1 ? 2k 2 2m ……6 分 1 ? 2k 2
2

y0 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ?
2

由于点 P 在椭圆 M 上,∴

x0 y ? 0 ? 1. 4 2

从而

4k 2 m 2 2m 2 ? ? 1 ,化简得 2m 2 ? 1 ? 2k 2 ,经检验满足①式……8 分 2 2 2 2 (1 ? 2k ) (1 ? 2k )
|m| 1? k 2 1 ? k2 1 1 2 2 . …10 ? 1? ? 1? ? 2 2 2 2(1 ? k ) 1? k 2

又点 O 到直线 l 的距离为 d ? 分

?

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当且仅当 k ? 0 时等号成立. 当直线 l 斜率不存在时,由对称性知,点 P 一定在 x 轴上. 从而点 P 的坐标为 (?2,0) 或 ( 2,0) , 直线 l 的方程为 x ? ?1 , ∴点 O 到直线 l 的距离为1 . ∴点 O 到直线 l 的距离的最小值为

2 .………………………………12 分 2


21.⑴由 f ( x), g ( x) 的奇偶性及 f ( x) ? g ( x) ? e x 得 ? f ( x) ? g ( x) ? e ? x 联立①②解得 f ( x) ? ②.

1 x 1 (e ? e ? x ), g ( x) ? (e x ? e ? x ) .……………………2 分 2 2
③……………………3 分 ④………4

当 x ? 0 时, e x ? 1,0 ? e ? x ? 1 ,故 f ( x) ? 0 . 又由基本不等式,有 g ( x) ? 分 ⑵由⑴得 f ?( x ) ?

1 x (e ? e ? x ) ? e x e ? x ? 1 ,即 g ( x) ? 1 . 2

1 x 1 ex 1 (e ? e ? x )? ? (e x ? 2 x ) ? (e x ? e ? x ) ? g ( x ) . ⑤ 2 2 2 e
⑥…………6 分

g ?( x) ?

1 x 1 x ex 1 ?x ? (e ? e ) ? (e ? 2 x ) ? (e x ? e ? x ) ? f ( x) . 2 2 2 e

当 x ? 0 时,

f ( x) ? ag ( x) ? (1 ? a) 等价于 f ( x) ? axg( x) ? (1 ? a) x . x f ( x) ? bg ( x) ? (1 ? b) 等价于 f ( x) ? bxg( x) ? (1 ? b) x . x

⑦.



设函数 h( x) ? f ( x) ? cxg( x) ? (1 ? c) x . 由⑤⑥, 有 h?( x) ? g ( x) ? cg( x) ? cxf ( x) ? (1 ? c) ? (1 ? c)[g ( x) ? 1] ? cxf ( x) . …… 8分
i 若 c ? 0 ,由③④,得 h?( x ) ? 0 ,故 h( x) 在 (0,??) 上为增函数. 当 x ? 0 时,○

从而 h( x) ? h(0) ? 0 ,即 f ( x) ? cxg( x) ? (1 ? c) x ,故⑦成立.…… 10 分
ii 若 c ? 1 ,由③④,得 h?( x) ? 0 ,故 h( x) 在 (0,??) 上为减函数. ○

从而 h( x) ? h(0) ? 0 ,即 f ( x) ? cxg( x) ? (1 ? c) x ,故⑧成立. 综合⑦⑧,得 ag( x) ? (1 ? a) ? 22.⑴∵ AB 为圆的直径,∴ ?ADB ? 90? . 又 EF ? AB, ?EFA ? 90? ,则 A, D, E, F 四点共圆,∴ ?DEA ? ?DFA ……5 分
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f ( x) ? bg ( x) ? (1 ? b) .…………12 分 x

⑵连接 BC ,由⑴知 BD ? BE ? BA ? BF . 又 ?ABC ∽ ?AEF ,∴

AB AC ? ,即 AB ? AF ? AE ? AC , AE AF

∴ BE ? BD ? AE ? AC ? BA? BF ? AB ? AF ? AB( BF ? AF) ? AB2 …………10 分 23.⑴ C1 : ( x ? 4) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 ,以 (?4,3) 为圆心, 1 为半径的圆.…………2 分

C2 :

x2 y2 ? ? 1 ,以原点为中心,焦点在 x 轴上,长半轴长为 8 ,短半轴长为 3 的 64 9

椭圆.………………5 分 ⑵当 t ?

? 3 时, P(?4,4) . Q(8 cos? ,3 sin ? ) ,故 M (?2 ? 4 cos ? ,2 ? sin ? ) . 2 2
| 4 cos? ? 3 sin ? ? 13 | 5
……8 分

∴点 M 到直线 C3 的距离 d ? C3 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0 , 从而当 cos ? ?

4 3 8 5 , sin ? ? 时, d 取得最小值 .………………10 分 5 5 5
y

?2 x ? 3 ( x ? 2) ? 24.⑴ f ( x) ? ?1 (1 ? x ? 2) .…………2 分 ?3 ? 2 x ( x ? 1) ?
作出 f ( x ) 的图象如右图.………………5 分 ⑵由 | a ? b | ? | a ? b |?| a | f ( x) 得 f ( x) ?

3
1

| a ?b | ? | a ?b | 恒成立. |a| | a ?b | ? | a ?b | ]min . |a|

O

1

2

x

只需 f ( x) ? [



| a ?b | ? | a ?b | | a ?b? a ?b | ? ?2. |a| |a|

∴ f ( x) ? 2 .…………………………8 分 ∴解不等式 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? 2 .得

1 5 ? x ? . ……………………………10 分 2 2

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