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定积分的简单应用测试题


一、选择题 1.如图所示,阴影部分的面积为( )

A.?bf(x)dx
?a

B.?bg(x)dx
?a

C.?b[f(x)-g(x)]dx
?a

D.?b[g(x)-f(x)]dx
?a

2.如图所示,阴影部分的面积是(

>
)

A.2 3 32 C. 3

B.2- 3 35 D. 3

3.由曲线 y=x2-1、直线 x=0、x=2 和 x 轴围成的封闭图形的 面积(如图)是( A.?2(x2-1)dx
?0

)

B.|?2(x2-1)dx|
?0

C.?2|x2-1|dx
?0

D.?1(x2-1)dx+?2(x2-1)dx
?0 ?1

4.设 f(x)在[a,b]上连续,则曲线 f(x)与直线 x=a,x=b,y=0 围成图形的面积为( A.?bf(x)dx
?a

) B.|?bf(x)dx|
?a

C.?b|f(x)|dx
?a

D.以上都不对 )

16 5.曲线 y=1-81x2 与 x 轴所围图形的面积是( A.4 C.2
1
2

B.3 5 D.2
1 x

6.比较积分值 ?0 ex dx 和 ?0 e dx 的大小( A. ?0 ex dx 大于 ?0 e dx
x

)
2

1

2

1

B. ?0 ex dx 小于 ?0 e dx
x

1

1

C. ?0 ex dx 等于 ?0 e dx
x

1

2

1

D. ?0 ex dx 和 ?0 e dx 不能比较
x

1

2

1

7.由曲线 y=x2,y=x3 围成的封闭图形面积为( 1 A.12 1 C.3 8.求 ??1xdx 的解( A.0 C.-1 9.求 ?1 1 A.2 C.
2 3
2

)

1 B.4 7 D.12
1

) B.1 D.2

x dx

2

的解(

) B. D.
1 3
7 3

10. 过原点的直线 l 与抛物线 y=x2-2ax(a>0)所围成的图形面积 9 为2a3,则直线 l 的方程为( A.y=± ax C.y=-ax ) B.y=ax D.y=-5ax

二、填空题 11.由曲线 y2=2x,y=x-4 所围图形的面积是________.
?

12.求函数 y=f(x)= x +1 在区间[0,1]上的平均值 y ________.
2

1 13.由两条曲线 y=x2,y=4x2 与直线 y=1 围成平面区域的面积 是________.

14.求经过点(0,1),并且在每一点 P(x,y)处的切线的斜率为 2x 的曲线方程__ 三、计算题 15.
dy dx
1

+ 3x y= 6 x 6 x 的通解
4 x

2

2

2

16. ?0 (5x ? e )dx 17. ?0 x (1 ? x ) dx
2 1

18. ?0 te dt 三、解答题 19.求方程

2

?t

y

/

?

1 sin x y? 的通解 x x

20.计算曲线 y=x2-2x+3 与直线 y=x+3 所围图形的面积. 21.验证:函数 y ? ? 是方程
2

1 x

2 x

dy y 3 ? 1 ? 和 y(2)= 的解 dx x 2

22.计算曲线 f(x)=4- x 与直线 g(x)=-x+2 所围成图形的面积 一、 选择题(每题 3 分,共 30 分) 1、 ?0 ?x ? 1?dx 的定积分是 (
2



A、1
2

B 、2

C、3

D 、4

2、已知圆 x2 ? y ? r 2 ,则圆的面积是( ) A、π r B、π

r

2

C、2π r )

D、2π

r

2

3、底面积为 S,高为 h 的棱锥的体积是(
sh A、

B、 sh

1 2

C、 sh

1 3

D、

1 sh 4

4、曲线 ? ?x ? ? 4 ? x 与直线 g ?x ? ? ? x ? 2 所围图形的面积是(
2

) C、
3 2

9 2 5 D、 2

A、

B、

7 2

5、微分方程 A、 c e
ex
2

dy ? 2 xy 的通解是( dx


2

x

B、 c e x

C、 e

x

D、

6、 ?1

??

1

x

3

dx 的极限值是(

) C、3 ) C、 π
1 2

A、1 7、反常积分 ?0 A、 -1
a

B、2
dx

D、4

a ?x

2

2

的值是( B、 π

D、 π

3 2

8、 如果函数 f ( x) 在区间[ a , b ]上连续,F ( x) 是 f ( x) 在区间[ a , b ]上的任 意一个原函数,那么(
b

) B、 ?a f ( x)dx ? F (a) D、 ?a f ( x)dx ? F (b) ? F (a) )
b

A、 ?a f ( x)dx ? F (b) ? F (a) C、 ?a f ( x)dx ? F (b) 9、求微分方程
b

b

dy 2 2 ? 3 x y ? 6 x 的通解是( dx

A、 c e x

2

B、 e x

2

? C、1 ? c e x

3

? D、 2 ? c e x

3

10、如果函数 f ( x) 在区间[ a , b ]上连续,则 f ( x) 在区间[ a , b ]上的积分 是( )
b

A、 ?a f ( x)dx

B、 ?a f ( x)dy

b

C、 ?a f ( y)dy

b

D、 ?a f ( y)dx

b

二、填空题。 (每题 5 分,共 20 分)
2 1、经过点(0,1) ,并且在每一点 P( x, y) 处的切线的斜率为 3 x ? 1

的曲线是

2、 ?a kf ( x)dx = 3、比较积分值 ?0 e x 和 ?0 e dx 的大小
2 1

b

1

x

2 4、函数 y ? f ( x) ? x ? 1 在区间[0,1]上的平均值是

三、用定积分定义求下列定积分。 (每题 4 分,共 20 分)

? 4x d x
0

5

1 ? ( x? ) dx x
2 1

2

? 2e dx
x 0

1

?

2

1

? x 1? ? e ? ?dx x? ?

?

1 2 0

1 1? x
2

dx

四、解答题。 (每题 10 分,共 20 分) (1 ) 、求经过点(0,1) ,并且在每一点 P( x, y) 处的切线的斜率为 2x 的曲线方程。 (2) 、求
dy ? 2 xy ? 4 x 的通解。 dx

五、证明题。 (10 分) 证明
( x , y ) ?( 0 , 0 )

lim

xy

x y
2

?

2

不存在。


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