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宁夏固原一中2015届高三第一次模拟数学(理)试卷


固原一中 2014-2015 第二学期高三第 3 次月考数学(理)试题
命题人:邱鹏飞 审题人:钱慧萍 2015.5.2

一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的). 1. 设 全 集 U ? R, M ? {x x ? ?2或x ? 2} , N ? {x x ? 1或x

? 3} 都 是 U 的 子 集 ,

则 (

图 )

























A. {x ? 2 ? x ? 1}

B. {x ? 2 ? x ? 2}

C. {x 1 ? x ? 2}

D.{x x ? 2}

2.在某次联考数学测试中, 学生成绩 ? 服从正态分布 100, ? 2 , ?? ? 0 ? , 若 ? 在 ? 80,120 ? 内 的概率为 0.8 , 则 ( ) B. 0.1 C. 0.15 D. 0.2 落 在

?

?

? 0,80 ?











A. 0.05 3.将函数 y ? sin( x ? 的 ( A. ? 图 ) 象

?
2

) cos( x ?


?
2

) 的图象沿 x 轴向右平移

?
8

个单位后,得到一个偶函数 不 可 能 是



?







5? 4

B. ?

?
4

C.

?
4

D.

3? 4

4.根据下列算法语句, 当输入 x 为 60 时, 输出 y 的值为 ( A.25 INPUT x; IF x≤50 THEN y=0.5*x ELSE Y =25+ 0.6*( x -50) END IF PRINT Y END
If x≤50 Then y=0.5 * x Else y=25+0.6*(x-50) End If 输出 y

) B.30 C.31 D.61

甲 9 8 6 5 5 4 2 1 0 1 2 7 3 2

乙 8 5 5 7 3

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第 4 题图

第 5 题图

5.甲乙两名运动员在某项测试中的 8 次成绩如茎叶图所示, x1 , x 2 分别表示甲乙两名运动 员这项测试成绩的平均数, s1 , s 2 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差,则有 ( ) B . x1 ? x 2 , s1 ? s 2 C . x1 ? x 2 , s1 ? s 2

A . x1 ? x 2 , s1 ? s 2 D. x1 ? x 2 , s1 ? s 2 6.若复数 为 ( A.

3 ? ai (i 为虚数单位, a ? R )在复平面内对应点在第四象限,则 a 的取值范围 1 ? 2i
) B .

?a | a ? ?6?
? ? 3? ? 2?

? ?a | ?6 ? a ? ?

3? ? 2?

C . ?a | a ?

? ?

3? ? 2?

D. ? a | a ? ?6或a ?

? x? y?2 ? 7.已知 O 是坐标原点,点 A(?1,1) ,若点 M ( x, y ) 为平面区域 ? x ? 1 ? 0 上的一个动点, ?0 ? y ? 1 ? 1 ?
则 ( ) B. [?2,0) C. [0,2] D. (0,2]

AO ? OM













A. [?2,0]

8. 把直线 l : x ? 3 y ? 0 绕原点按顺时针方向旋转 30 0 ,得到直线 m ,则直线 m 与圆

x 2 ? y 2 ? 4x ? 1 ? 0
( )













A.直线与圆相切 心

B.直线与圆相交但不过圆心 C. 直线与圆相离

D.直线过圆

9. 设 向 量 a , b 的 夹 角 为 ( A. )

? , 且 a ? (3,3), 2b ? a ? (?1,1) , 则 cos? =

3 10 10

B.
2

10 10
2

C. ?

3 10 10

D. ?

10 10

10. 设 F1 , F2 分别为双曲线 x ? y ? 1 的左右焦点, P 是双曲线上在 x 轴上方的点,若

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?F1 PF2 为 直 角 , 则
( A. )

sin ?PF1F2 的 所 有 可 能 取 值 之 和 为

8 3

B.2

C.

6

D.

6 2

11.如图,矩形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(0, ?1),B (? , ?1),C (? ,1),D ? 0,1?, 正 弦曲线

f ? x ? ? sinx 和余弦曲线 g ? x ? ? cosx 在矩形 ABCD 内交于点 F,向矩形 ABCD 区域内随
机投掷一点, 则 ( A. 1 y ? D F
f(x)=sinx

该 )

























B. 1 2? C

C. 1 ? 2

?

D. 1 ? 2 2?

O
g(x)=cosx

E B

x

A 第 10 题图

第 11 题图

12.如图,取一个底面半径和高都为 R 的圆柱,从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面, 下底面圆心为顶点的圆锥,把所得的几何体与一个半径为 R 的半球放在同一水平面 ? 上.用 一平行于平面 ? 的平面去截这两个几何体,截面分别为圆面和圆环面(图中阴影部分)设 截面面积分别为 S圆 和 S圆环 ,那么( A. S圆 ? S圆环 B. S圆 = S圆环 ) C. S圆 ? S圆环 D.不确定

二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n , 若 S n ? 2, S 3n ? 14 , 则

S 4n ?
14.已知



sin ? ? cos ? = 1 ? 2 ,则 tan 2? = sin ? ? cos ?



15.观察下列不等式:

1?

1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 , 1 ? ? ? 1, 1 ? ? ? ? ? ? ? ? , 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 2, 2 2 3 2 3 7 2 2 3 15

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1?


1 1 1 5 ? ? ??? ? ? , ? ??, 由此猜测第 n(n ? N ? ) 个不等式 2 3 31 2


16.曲线 f ( x) ? x ? 为 .

3 上任一点 P 处的切线与直线 x ? 0 和直线 y ? x 所围成的三角形面积 x

三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 中,a1 ? 3, a3 ? 9 , 若 bn ? log 2 (a n ? 1) , 数列 {bn } 为等差数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

1 1 1 (Ⅱ)证明 ? ? ??? ? ?1 . a 2 ? a1 a3 ? a 2 a n ?1 ? a n
18. (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,

P

F A E C B

PA ? 底面 ABCD , E , F 分别为 AB 、 PC 的中点.
(Ⅰ)求证: EF ‖平面 PAD ; (Ⅱ)若 PA ? 2 ,试问在线段 EF 上是否存在点 Q ,使得二面角 Q ? AP ? D 的 余弦值为 18 题图
5 ?若存在,确定点 Q 的位置;若不存在,请说明理由. 5

D



19. (本小题满分 12 分) 根据最新修订的 《环境空气质量标准》 指出空气质量指数在 0 ~ 50 , 各类人群可 正常活动.固原市环保局在 2015 年对该市进行了为期一年的空气质量检测,得到每天的空 气质量指数从 中随机抽取 50 个作为样本进行分析报告,样本数据分组区间 为 ? 0,10 ? , ?10, 20 ? , ? 20,30 ? , ?30, 40 ? , ? 40,50? ,由此 得到样本的空气质量指数频率分布直方图,如图. (Ⅰ)求 a 的值;并根据样本数据,试估计这一年度的空气 质量指数的平均值; (Ⅱ)用这 50 个样本数据来估计全年的总体数据,将频率视为 概率.如果空气质量指数不超过 20,就认定空气质量为“最优
第 19 题图

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等级” .从这一年的监测数据中随机抽取 2 天的数值,其中达到 “最优等级”的天数为 ? ,求 ? 的分布列,并估计一个月(30 天)中空气质量能达到“最 优等级”的天数. 20. (本大题满分 12 分)曲线 x 2 ? ? y ? 8 与 x 轴交于 A 、 B 两点,动点 P 与 A 、 B 连线 的斜率之积为-

1 . 2 1 . 2

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) MN 是动点 P 的轨迹 C 的一条弦,且直线 OM 、 ON 的斜率之积为①求 OM ? ON 的最大值; ②求 ?OMN 的面积. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1 ( a 为常数),曲线 y ? f ( x) 在与 y 轴 的交点 A 处的切线斜率为-1. (Ⅰ)求 a 的值及函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)证明:当 x ? 0 时, e x ? x 2 ? 1 ; (Ⅲ)证明:当 n ? N ? 时, 1 ?

?n ? 1? . 1 1 1 ? ? ? ? ? ln 2 3 n (3e) n
3

请考生在 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按第一题记分 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲. 如图,直线 PQ 与⊙ O 相切于点 A , AB 是⊙ O 的弦, ?PAB 的平分线 AC 交⊙ O 于点 C ,连结 CB ,并延长与直线 PQ 相交于 Q 点, (Ⅰ)求证: QC ? BC ? QC 2 ? QA2 ; (Ⅱ)若 AQ ? 6 , AC ? 5 .求弦 AB 的长. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程.

P A O B Q C

.

(第 22 题图)

? 2 x ? 3? t ? ? 2 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数). 在以原点 2 ?y ? 5 ? t ? 2 ?

O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? .
(Ⅰ)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若点 P 坐标 3, 5 ,圆 C 与直线 l 交于 A , B 两点,求| PA |+| PB |的值.
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?

?

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 (Ⅰ)已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 3 | ,求 x 的取值范围,使 f ( x) 为常函数; (Ⅱ)若 x, y, z ? R, x ? y ? z ? 1, 求 m ?
2 2 2

2 x ? 2 y ? 5 z 的最大值.

固原一中 2014-2015 第二学期高三第 3 次月考数学(理)试题 5.2
一、选择题 1.ABCCC, BBAAD,DB

7. 答案 B 解答:解:不等式组等价为 作出不等式组对应的平面区域如图:



设 z=

?



∵A(﹣1,1) ,M(x,y) ,

∴z=

?

=x﹣y,

即 y=x﹣z,

平移直线 y=x﹣z,由图象可知当 y=x﹣z,经过点 D(0,2)时,直线截距最大,此时 z 最 小为 z=0﹣2=﹣2.

当直线 y=x﹣z,经过点 B(1,1)时,直线截距最小,此时 z 最大为 z=1﹣1=0.

故﹣2≤z<0, 10. 【答案】D 解析:设 P 是第一象限点,且 PF1 ? m, PF2 ? n ,则

?m ? 3 ? 1 ?m ? n ? 2 m?n 2 3 6 ? ?? ,所以所求= ,故选 D. ? ? ? 2 2 2 c 2 2 2 n ? 3 ? 1 ?m ? n ? 8 ? ?
11.【答案】D
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解析:根据题意,可得曲线 y ? sinx 与 y ? cosx 围成的区域,

(sinx ? cosx) dx ? ( ? cosx ? sinx) |? ? 1 ? (? 其面积为 ?
4 4

?

?

?

2 2 ? ) ? 1 ? 2; 2 2

1? 2 又矩形 ABCD 的面积为 2? , 由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是: 2? .
所以选 D. 12. 【答案】B

解析:根据题意:∵①半球的截面圆:

r ? R 2 ? d 2,S截面圆 ? ? (R 2 ? d 2),

②∵取一

个底面半径和高都为 R 的圆柱, 从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面, 下底面圆心为顶 点的圆锥, ∴

S ? S圆环 r ? d,S圆环 ? ? (R 2 ? d 2) ,根据①②得出: 截面圆 .所以选 B.

二、填空题 13. 答案 30

14. 【答案】1

【解析】

sin ? sin ? ? cos ? =1+ 2 ,即有 =- 2 -1,即为 tanα=- 2 -1. sin ? ? cos ? cos ?

则 tan2α=

2 ? (? 2 ? 1) 2 tan ? = =1. 2 1 ? tan ? 1 ? (? 2 ? 1) 2
1 1 1 n ? ? ??? ? n ? , 2 3 2 ?1 2

15. 答案 1 ?

16. 答案 6

三、解答题 17.(1) a n ? 1 ? 2 n
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(2)

1 1 ? n , a n ?1 ? a n 2

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? 2 ? ??? n ? 1? n ? 1 a 2 ? a1 a3 ? a 2 a n ?1 ? a n 2 2 2 2
18.证明:

(1)取 PD 中点 M,连接 MF,MA 在 ΔCPD 中,F 为 PC 的中点,
1 1 ∴MF 平行且等于 DC ,正方形 ABCD 中 E 为 AB 中点, AE 平行且等于 DC , 2 2

∴AE 平行且等于 MF,故:EFMA 为平行四边形,∴EF∥AM 又∵EF ? 平面 PAD,AM ? 平面 PAD

……2 分

z

∴EF∥平面 PAD

……4 分

(2)如图:以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系:
1 1 1 P(0, 0, 2) , B(0,1, 0) , C (1,1, 0) , E (0, , 0) , F ( , ,1) 2 2 2

Q

y
x

由题易知平面 PAD 的法向量为 n ? (0,1, 0) ,

……6 分

1 假设存在 Q 满足条件:设 EQ ? ? EF , EF ? ( , 0,1) , 2

? 1 ? 1 Q ? ( , , ? ) , ? ? [0,1] , AP ? (0,0, 2) , AQ ? ( , , ? ) 2 2 2 2
设平面 PAQ 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,
1 ?? ? x ? y ? ?z ? 0 ? m ? (1, ?? ,0) 2 ?2 ? ?z ? 0

……10 分

∴ cos ? m, n ??

m?n m n

?

?? 1? ?
2

,由已知:

?
1? ?
2

?

5 5

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解得: ? ?

1 ,所以:满足条件的 Q 存在,是 EF 中点。 2

……12 分

19.解:(Ⅰ)由题意,得 (0.03 ? 0.032 ? a ? 0.01 ? 0.008) ?10 ? 1, 解得 a ? 0.02. …………………3 分

50 个样本中空气质量指数的平均值为 X ? 0.1? 5 ? 0.2 ? 15 ? 0.32 ? 25 ? 0.3 ? 35 ? 0.08 ? 45 ? 25.6

由样本估计总体, 可估计 2014 年这一年度空气质量指数的平均值约为 25.6 …………6 分 (Ⅱ)利用样本估计总体,该年度空气质量指数在 ? 0, 20? 内为“最优等级” ,且指数达到“最 优等级”的概率为 0.3,则 ?
0 P(? ? 0) ? C2 (0.3)0 ? (0.7) 2 ?

B(2, 0.3) . ? 的可能取值为 0,1,2,

49 42 9 1 2 , P(? ? 1) ? C2 (0.3) ? (0.7) ? , P(? ? 2) ? C2 (0.3) 2 ? 100 100 100

? ? 的分布列为:

?

0

1

2

P

49 100

42 100

9 100

…………………8 分
E? ? 0 ? 49 42 9 ? 1? ? 2? ? 0.6 .(或者 E? ? 2 ? 0.3 ? 0.6 ), 100 100 100

…………………10 分

故一个月(30 天)中空气质量能达到“最优等级”的天数大约为 30*0.3=9 天. … 12 分

20.

【答案】(1)

x2 y 2 ? ? 1 (2) 2 2 8 4

【解析】(1)解:在方程 x 2 ? ? y ? 8 中令 y = 0 得: x ? ?2 2 ∴A( ?2 2 ,0),B( 2 2 ,0)

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设 P(x,y),则 k AP k BP ?

y y 1 ? ?? 2 x?2 2 x?2 2

整理得:

x2 y 2 ? ?1 8 4 x2 y 2 ? ?1 8 4

∴动点 P 的轨迹 C 的方程为

(2)解:设直线 MN 的方程为:y = kx + m,M(x1,y1),N(x2,y2)
? y ? kx ? m ? 由 ? x2 y 2 得: (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 8 ? 0 ? ?1 ? 4 ?8

∴ x1 ? x2 ? ?

4km 2m 2 ? 8 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 ?

2m 2 ? 8 ?4km m 2 ? 8k 2 ? km ? ? m2 ? 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2



kOM kON ? ?

y y 1 1 ,∴ 1 ? 2 ? ? x1 x2 2 2



m 2 ? 8k 2 1 2m 2 ? 8 ?? ? ? m 2 ? 4k 2 ? 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2m 2 ? 9 m 2 ? 8k 2 4 ? ? 2? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ?
∴ ?2 ≤ OM ? ON ? 2

当直线 MN 的斜率不存在时,设 M(x1,y1),则 N(x1,-y1)
y12 1 ? ? ? x12 ? 2 y12 2 x1 2

则 kOM kON ? ?



x12 y12 ? ? 1 ,∴ y12 ? 2 8 4
OM ? ON ? x12 ? y12 ? y12 ? 2 OM ? ON











2

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S

OMN

?

1 |m| 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ? 2 4k 2 ? m 2 ? 4 ? 2 2 2 2 1? k
? 1 | x1 || 2 y1 |? 2 2 2

当直线 MN 的斜率不存在时, S

OMN

∴△OMN 的面积为 2 2 .

? 1 ? 【思路点拨】利用动点 P 与 A、B 连线的斜率之积为- 求出方程,由 ? x 2 y 2 得: ?1 2 ? ? ?8 4

y ? kx ? m

(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 8 ? 0 根据根与系数的关系求出面积。

21. 【答案】 (Ⅰ) f ( x) 在区间 (??, ln 2) 上单调递减,在 (ln 2,??) 上单调递增;(Ⅱ)略. 【解析】解析: (Ⅰ)由 f ( x) ? e x ? ax ? 1 ,得 f ?( x) ? e x ? a . 又 f ?(0) ? 1 ? a ? ?1 ,所以 a ? 2 .所以 f ( x) ? e x ? 2 x ? 1 , f ?( x) ? e x ? 2 . 由 f ?( x) ? e x ? 2 ? 0 ,得 x ? ln 2 . 所以函数 f ( x) 在区间 (??, ln 2) 上单调递减,在 (ln 2,??) 上单调递增. ……………(4 分) (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 f ( x) min ? f (ln 2) ? e ln 2 ? 2 ln 2 ? 1 ? 1 ? ln 4 . 所以 f ( x) ? 1 ? ln 4 ,即 e x ? 2 x ? 1 ? 1 ? ln 4 , e x ? 2 x ? 2 ? ln 4 ? 0 . 令 g ( x) ? e x ? x 2 ? 1 ,则 g ?( x) ? e x ? 2 x ? 0 . 所以 g ( x) 在 (0,??) 上单调递增,所以 g ( x) ? e x ? x 2 ? 1 ? g (0) ? 0 , 即 e x ? x 2 ? 1 .…………(8 分)

(Ⅲ)首先证明:当 x ? 0 时,恒有 e ?
x

1 3 x . 3
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证明如下:令 h( x) ? e ?
x

1 3 x ,则 h?( x) ? e x ? x 2 . 3

由(Ⅱ)知,当 x ? 0 时, e x ? x 2 ,所以 h( x) ? 0 ,所以 h( x) 在 (0,??) 上单调递增,

所以 h( x) ? h(0) ? 1 ? 0 ,所以 e ?
x

1 3 x . 3

所以 x ? ln( x ) ,即 x ? ln 3 ? 3 ln x .
3

1 3

依次取 x ?

2 3 n ?1 , , ?, ,代入上式,则 1 2 n

2 2 ? ln 3 ? 3 ln , 1 1

3 3 ? ln 3 ? 3 ln , 2 2

??
n ?1 n ?1 ? ln 3 ? 3 ln . n n 2 3 n ?1 2 3 n ?1 ? ??? ? n ln 3 ? 3 ln( ? ? ? ? ) 1 2 n 1 2 n

以上各式相加,有

所以 n ? (1 ?

1 1 1 ? ? ? ? ) ? n ln 3 ? 3 ln ?n ? 1? , 2 3 n

所以 1 ?

3 1 1 1 ? 1 1 1 n ? 1? ? ? ? ? ? 3 ln ?n ? 1? ? n ln 3 ? n , 即 1 ? ? ? ? ? ? ln n n (14 分) 2 3 n 2 3 n 3 e

? ? 【思路点拨】 (Ⅰ)求出函数的 f ( x) ? e ? a ,因为 f (0) ? 1 ? a ? ?1 ,可求得 a ? 2 ,通
x

? 过 f ( x) ? e ? 2 ? 0 ,即可求解函数 f ( x) 在区间 (??, ln 2) 上单调递减,在 (ln 2,??) 上单
x

g x) ? e ? x ? 1, f x) ? 1 ? ln 4 .构造 ( 调递增 . (Ⅱ)求出 f ( x )的最小值,化简 ( 通过
x 2

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g x)在(0, ? ?) g ( ? x)>0 .判断 ( g x)>( g 0) 上单调递增,得到 ( ,推出结果.
1 1 e x> x3 h ? x ?=e x ? x 3 ( ? x) ? e x ? x 2 .推 3 .令 3 ,则 h (Ⅲ)首先证明:当 x>0 时,恒有

h x) (0, ? ?) 出( 在 上单调递增,得到 x ? ln3>3lnx .利用累加法推出
22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 1 证明: (1)∵PQ 与⊙O 相切于点 A,∴ ?PAC ? ?CBA ∵ ?PAC ? ?BAC ∴ ?BAC ? ?CBA

∴AC=BC=5
由切割线定理得:

QA2 ? QB ? QC ? ?QC ? BC ?QC
∴ QC ? BC ? QC 2 ? QA2 (2) 由 AC=BC=5,AQ=6 及(1) , 知 由 ?QAB ? ?ACQ ------------5 分

QC=9

知 ?QAB ∽ ?QCA



AB QA ? AC QC



AB ?

10 . 3

----------10 分

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

解:

2 ? ? x ? 3? 2 t (1)由 ? 2 y? 5? t ? ? 2

得直线 l 的普通方程为 x ? y ? 3 ? 5 ? 0 --------2 分

又由 ? ? 2 5 sin ? 得圆 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2 5 y ? 0

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x2 ? y ? 5 即


?

?

2

? 5.

---------5

(2) 把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,

? 2 ? ? 2 ? 得 ?3? t? ?? t? ? 5 ,即 t 2 ? 3 2t ? 4 ? 0 ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?
由于 ? ? 3 2

2

2

?

?

2

? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,故可设 t1 , t2 是上述方程的两实数根,

所以 ? 1

? ?t ? t2 ? 3 2 又直线 l 过点 P 3, 5 ,A、B 两点对应的参数分别为 t1 , t2 ? ? t1 ? t2 ? 4

?

?

所以 PA ? PB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? 3 2 . 24.解:

------10 分

??2 x ? 2, x ? ?3 ? (1) f ( x) ? x ? 1 ? | x ? 3 |? ?4, ?3 ? x ? 1 ?2 x ? 2, x ? 1 ?
则当 x ? [?3,1] 时, f ( x) 为常函数. (2)由柯西不等式得: x ? y ? z
2 2

………..4 分

………..5 分
2 2 2

?

2

??

2 ? 2 ? 5

???

2 x ? 2 y ? 5z

?

2

所以 2 x ? 2 y ? 5 z ? 3

因此 M 的最大值为 3.

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