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【2014-2015学年高中数学(北师大版,必修三)课时作业 第三章 单元检测卷B


第三章



率(B) 满分:150 分)

(时间:120 分钟

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.给出下列三个命题,其中正确的有( ) ①有一大批产品,已知次品率为 10%,从中任取 100 件,必有 10 件是次品; 3 ②做 7 次抛硬币的试验,结果 3

次出现正面向上,因此正面出现的概率是 ; 7 ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. A.0 个 B.1 个 C .2 个 D.3 个 2.从一批产品(其中正品、次品都多于 2 件)中任取 2 件,观察正品件数和次品件数,下 列事件是互斥事件的是( ) ①恰好有 1 件次品和恰好有两件次品; ②至少有 1 件次品和全是次品; ③至少有 1 件正品和至少有 1 件次品; ④至少 1 件次品和全是正品. A.①② B.①③ C.③④ D.①④ 3.平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距离为 3 cm,把一枚半径为 1 cm 的硬币任 意抛掷在这个平面上,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 4 3 2 3 4.某班有 50 名学生,其中男、女各 25 名,若这个班的一个学生甲在街上碰到一位同班 同学,假定每两名学生碰面的概率相等,那么甲碰到异性同学的概率大还是碰到同性同 学的概率大( ) A.异性 B.同性 C.同样大 D.无法确定 π π 1 - , ?上随机取一个数 x,cos x 的值介于 0 到 之间的概率为( 5.在区间? ) ? 2 2? 2 1 2 1 2 A. B. C. D. 3 π 2 3 6. 已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次 投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 1,2,3,4 表示命中,5,6,7,8,9,0 表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经 随机模拟产生了如下 20 组随机数: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( ) A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15 7. 12 本相同的书中, 有 10 本语文书, 2 本英语书, 从中任意抽取 3 本的必然事件是( ) A.3 本都是语文书 B.至少有一本是英语书 C.3 本都是英语书 D.至少有一本是语文书 8.从数字 1,2,3,4,5 中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于 40 的概 率为( ) 1 2 3 4 A. B. C. D. 5 5 5 5 9.已知集合 A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},从集合 A 中选取不相同的两个数, 构成平面直角坐标系上的点,观察点的位置,则事件 A={点落在 x 轴上}与事件 B={点 落在 y 轴上}的概率关系为( )

A.P(A)>P(B) B.P(A)<P(B) C.P(A)=P(B) D.P(A)、P(B)大小不确定 10.如图所示,△ABC 为圆 O 的内接三角形,AC=BC,AB 为圆 O 的直径,向该圆内随 机投一点,则该点落在△ABC 内的概率是( )

1 2 4 1 A. B. C. D. π π π 2π 11.若以连续两次掷骰子分别得到的点数 m,n 作为点 P 的坐标(m,n),则点 P 在圆 x2 +y2=25 外的概率是( ) 5 7 5 1 A. B. C. D. 36 12 12 3 12.如图所示,两个圆盘都是六等分,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域 的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )

4 A. 9 1 题号 答案

2

2 B. 9 3

2 C. 3 4 5 6 7 8

1 D. 3 9 10 11 12

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知半径为 a 的球内有一内接正方体,若球内任取一点,则该点在正方体内的概率 为________. 14.在平面直角坐标系 xOy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的 区域,E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随机投一点,则落入 E 中的 概率为________. 15.在半径为 1 的圆的一条直径上任取一点,过这个点作垂直于直径的弦,则弦长超过 圆内接等边三角形边长的概率是________. V 16. 在体积为 V 的三棱锥 S-ABC 的棱 AB 上任取一点 P, 则三棱锥 S-APC 的体积大于 3 的概率是________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)已知函数 f(x)=-x2+ax-b. 若 a,b 都是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数,求上述函数有零点的概率.

18.(12 分)假设向三个相邻的军火库投掷一个炸弹,炸中第一个军火库的概率为 0.025, 其余两个各为 0.1,只要炸中一个,另两个也发生爆炸,求军火库发生爆炸的概率.

19.(12 分)如右图所示,OA=1,在以 O 为圆心,OA 为半径的半圆弧上任取一点 B,求 1 使△AOB 的面积大于等于 的概率. 4

20.(12 分)甲、乙二人用 4 张扑克牌(分别是红桃 2、红桃 3、红桃 4、方片 4)玩游戏,他 们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一 张. (1)设(i,j)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字,写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况; (2)若甲抽到红桃 3,则乙抽到的牌面数字比 3 大的概率是多少? (3)甲、乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜,反之,则乙胜.你认为此游 戏是否公平,说明你的理由.

21.(12 分)现有 8 名奥运会志愿者,其中志愿者 A1、A2、A3 通晓日语,B1、B2、B3 通晓 俄语,C1、C2 通晓韩语,从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,组成一个小 组. (1)求 A1 被选中的概率; (2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率.

22.(12 分)已知实数 a,b∈{-2,-1,1,2}. (1)求直线 y=ax+b 不经过第四象限的概率; (2)求直线 y=ax+b 与圆 x2+y2=1 有公共点的概率.

第三章
1.A 2.D 4.A =



率(B)

[由频率和概率的定义及频率与概率的关系可知①②③都不正确.] 3.B 24 [记“甲碰到同性同学”为事件 A,“甲碰到异性同学”为事件 B,则 P(A)= ,P(B) 49

25 ,故 P(A)<P(B),即学生甲碰到异性同学的概率大.] 49 π π π π π π 1 π - ,- ?∪? , ?,其区间长度为 ,又已知 5.A [在区间[- , ],0<cos x< ?x∈? 3? ?3 2? ? 2 2 2 2 3 π 3 1 π π? 区间? ?-2,2?的长度为 π,由几何概型知 P=π=3] 6. B [由题意知在 20 组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有: 191、 271、 932、 812、 5 1 393,共 5 组随机数,故所求概率为 = =0.25.] 20 4 7.D [由于只有 2 本英语书,从中任意抽取 3 本,其中至少有一本是语文书.] 8.B [可能构成的两位数的总数为 5× 4=20(种),因为是“任取”两个数,所以每个数被取 到的概率相同,可以采用古典概型公式求解,其中大于 40 的两位数有以 4 开头的: 8 2 41,42,43,45 共 4 种;以 5 开头的:51,52,53,54 共 4 种,所以 P= = .] 20 5 9.C [横坐标与纵坐标为 0 的可能性是一样的.] 10.A [连接 OC,设圆 O 的半径为 R,记“所投点落在△ABC 内”为事件 A,则 P(A)= 1 · AB· OC 2 1 = .] πR2 π 11. B [本题中涉及两个变量的平方和, 类似于两个变量的和或积的情况, 可以用列表法, 21 7 使 x2+y2>25 的次数与总试验次数的比就近似为本题结果.即 = .] 36 12 12. A [可求得同时落在奇数所在区域的情况有 4× 4=16(种), 而总的情况有 6× 6=36(种), 16 4 于是由古典概型概率公式,得 P= = .] 36 9 2 3 13. 3π 解析 因为球半径为 a,则正方体的对角线长为 2a,设正方体的边长为 x,则 2a= 3x, V正方体 x3 2 3 2a ∴x= ,由几何概型知,所求的概率 P= = = . 4 3π V球 3 πa3 3 π 14. 16

解析 如图所示,区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部(含边界),区域 E 表示单位圆及 π×12 π 其内部,因此 P= = . 4× 4 16 1 15. 2 解析

记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件 A,如图所示,不妨在过等边三角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂直于直径的弦, 当弦为 CD 时,就是等边三角形的 边长,弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF,由几何概型的概率公式得 1 ×2 2 1 P(A)= = . 2 2 2 16. 3

VS-APC 1 解析 由题意可知 > , 如图所示, 三棱锥 S-ABC 与三棱锥 S-APC 的高相同, VS-ABC 3 VS-APC S△APC PM 1 PM AP AP 1 因此 = = > (PM,BN 为其高线),又 = ,故 > ,故所求概 BN 3 BN AB AB 3 VS-ABC S△ABC 2 率为 (长度之比). 3 17.解 a,b 都是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数的基本事件总数为 N=5× 5=25 个. 函数有零点的条件为 Δ=a2-4b≥0, 即 a2≥4b.因为事件“a2≥4b”包含(0,0), (1,0), (2,0), (2,1), (3,0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共 12 个.所以事件“a2≥4b”的概率 12 为 P= . 25 18.解 设 A、B、C 分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件. 则 P(A)=0.025,P(B)=P(C)=0.1, 设 D 表示军火库爆炸这个事件,则有 D=A∪B∪C,其中 A、B、C 是互斥事件, ∴P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225. 19.解 如下图所示,作 OC⊥OA,C 在半圆弧上,过 OC 中点 D 作 OA 的平行线交半 1 圆弧于 E、F,所以在 EF 上取一点 B,判断 S△AOB≥ . 4

1 1 连结 OE、OF,因为 OD= OC= OF,OC⊥EF,所以∠DOF=60° ,所以∠EOF=120° , 2 2 2 l EF 3π 2 120 2 所以 l EF = π·1= π.所以 P= = = . 180 3 π·1 π 3 20.解 (1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片 4 用 4′表示,其他用相应的数字表示) 为(2,3),(2,4),(2,4′),(3,2),(3,4),(3,4′),(4,2),(4,3),(4,4′),(4′,2),(4′,3),(4′,4), 共 12 种不同情况. (2)甲抽到红桃 3,乙抽到的牌的牌面数字只能是 2,4,4′,因此乙抽到的牌的牌面数字比 3 2 大的概率为 . 3

(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2),(4,2),(4,3),(4′,2),(4′,3),共 5 种, 5 5 故甲胜的概率 P1= ,同理乙胜的概率 P2= .因为 P1=P2,所以此游戏公平. 12 12 21.解 (1)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名,其一切可能的结果组成的基 本事件为 (A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1, B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3, C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2), (A3,B3,C1),(A3,B3,C2),共 18 个基本事件.由于每一个基本事件被抽取的机会均 等,因此这些基本事件的发生是等可能的. 用 M 表示“A1 恰被选中”这一事件,则 M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1), (A1,B3,C2)}, 6 1 事件 M 由 6 个基本事件组成,因而 P(M)= = . 18 3 (2)用 N 表示“B1、C1 不全被选中”这一事件,则其对立事件 N 表示“B1、C1 全被选中” 这一事件,由于 N ={(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)},事件 N 由 3 个 3 1 基本事件组成,所以 P( N )= = ,由对立事件的概率公式得: 18 6 1 5 P(N)=1-P( N )=1- = . 6 6 22.解 由于实数对(a,b)的所有取值为:(-2,-2),(-2,-1),(-2,1),(-2,2),(- 1,-2),(-1,-1),(-1,1),(-1,2),(1,-2),(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-2),(2, -1),(2,1),(2,2),共 16 种. 设“直线 y=ax+b 不经过第四象限”为事件 A,“直线 y=ax+b 与圆 x2+y2=1 有公共点” 为事件 B. ? ?a≥0, (1)若直线 y=ax+b 不经过第四象限,则必须满足? 即满足条件的实数对(a,b)有 ?b≥0, ? 4 1 (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),共 4 种.∴P(A)= = .故直线 y=ax+b 不经过第四象限的概 16 4 1 率为 . 4 |b| (2)若直线 y=ax+b 与圆 x2+y2=1 有公共点,则必须满足 2 ≤1,即 b2≤a2+1. a +1 若 a=-2,则 b=-2,-1,1,2 符合要求,此时实数对(a,b)有 4 种不同取值; 若 a=-1,则 b=-1,1 符合要求,此时实数对(a,b)有 2 种不同取值; 若 a=1,则 b=-1,1 符合要求,此时实数对(a,b)有 2 种不同取值, 若 a=2,则 b=-2,-1,1,2 符合要求,此时实数对(a,b)有 4 种不同取值. ∴满足条件的实数对(a,b)共有 12 种不同取值. 12 3 ∴P(B)= = . 16 4 3 故直线 y=ax+b 与圆 x2+y2=1 有公共点的概率为 . 4


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