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双曲线及其标准方程ppt


双曲线及其标准方程
y
首 页

M

上 页
下 页 小 结 结 束

F1

o

F2

x

1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
动 画

r />2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
Y

M ? x, y ?

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F1 ?? c, 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

2. 引入问题: 平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢?

①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B), |MF2|-|MF1|=2a
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由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值)
上面 两条合起来叫做双曲线

定义:
平面内与两个定点F1,F2的距离的差 的绝对值
动 画

等于常数(小于︱F1F2︱) 的点的轨迹叫做双曲线.

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① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.

M

注意

(1)2a<2c ;
(2)2a >0 ;

F1

o

F2

方程的推导
求曲线方程的步骤:

y
M

1. 建系设点.
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F1

O

F2

x

2. 写出适合条件的点M的集合; 3. 用坐标表示条件,列出方程; 4. 化简.

双曲线的标准方程
y
M

y
M F2 x

F1
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O

F2

x

O

F1

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y x ? ? 1 2 2 a b

2

2

(a ? 0,b ? 0)

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y
M

y
M F2

F ( ±c, 0)

F1

o

F2

x
F1

x

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b

F(0, ± c)

问题:如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?
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练习:写出以下双曲线的焦点坐标

x2 1. ? 16 y2 3. ? 16

y2 ?1 9 x2 ?1 9

x2 y2 2. ? ? 1 F(±5,0) 9 16 2 2 y x 4. ? ? 1 F(0,±5) 9 16

例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线 的标准方程.

解:根据双曲线的焦点在 x 轴上,设它的标准方程为:
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x y ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 2 a b
∵ 2a = 6, c=5

2

2




a = 3, c = 5
b2 = 52-32 =16

x2 y2 ? ?1 所以所求双曲线的标准方程为: 9 16

x2 y2 练习1:如果方程 2 ? m ? m ? 1 ? 1 表示双曲线,

求m的取值范围.

分析: 由 (2 ? m)(m ? 1) ? 0
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得?1? m ? 2

变式一:
x2 y2 ? ? 1 表示双曲线时,则m的取值 方程 2?m m?1

m ? ?1 或 m ? 2 范围_________________.

变式一:
x2 y2 ? ? 1 表示双曲线时,则m的取值 方程 2?m m?1

m ? ?1 或 m ? 2 范围_________________.

变式二:
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上述方程表示焦点在y轴的双曲线时,求m 的范围和焦点坐标。

分析:

?m ? 1 ? 0 ?m?2 ? ?2 ? m ? 0

c 2 ? (m ? 1) ? (m ? 2) ? 2m ? 1
?? 焦点为 23 m ( 0,? (0 ? ,2? m? ) ? 1)

练习2:证明椭圆

x2 y 2 ? ?1 25 9

与双曲线

x2-15y2=15的焦点相同.
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变式: 上题的椭圆与双曲线的一个交点为P, 焦点为F1,F2,求|PF1|.
分析:
? |PF1|+|PF2|=10, ? ?| PF1 | ? | PF2 |? ?2 15.

定义

| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
M
M F2

y

图象
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F1

o

F2

x
F1

x

方程

x y ? 2 ?1 2 a b
F ( ±c, 0)

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b
F(0, ± c)
2 2

2

2

焦点
a.b.c 的关系

c ?a ?b
2

双曲线与椭圆之间的区别与联系: 椭 定义 圆 双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
2 x2 - y = 1 2 2 a b y2 x2 = 1 2 2 a b

|MF1|+|MF2|=2a
2 x2 + y = 1 2 2 a b

方程
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y2 x2 + 2 =1 2 a b 焦点
F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a.b.c的 关系 a>b>0,a2=b2+c2

祝同学们身体健康,学习进步, 天 天 好 心 情!
思考:
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当 0°≤θ≤180°时, 方程 x2cosθ+y2sinθ=1 的曲线怎样变化?


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