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福建省福州市八县2014-2015学年高二下学期联考数学【理】试题及答案


2014-2015 学年度第二学期八县(市)一中期中联考

高中二年数学(理)科试卷
第一部分 选择题

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.有一段推理是这样的“任何实数的平方都大于 0,因为 a ? R ,所以 a 2 ? 0 ”结论显然是错误的,
是因为 (A).大前提错误 (C).

推理形式错误 2.定积分 ( ☆ ) (B).小前提错误 (D).非以上错误 ( ☆ ) (C).-3 (D).3
0

?

3

1

(?3)dx 等于
(B).6

(A).-6

3.某炼油厂将原油精练为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第 x 小时时,原油温度(单位: C ) 为

f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 8(0 ? x ? 5) , 那 么 当 x=1 时 原 油 温 度 的 瞬 时 变 化 率 的 是 3
(A).8 (B).
20 3

( ☆ )

(C). ?1 (D). ? 8 4.有人认为: “地球和火星在太阳系中各方面比较接近,而地球有生命,进而认为火星上也有生命 存在” ,这是什么推理 ( ☆ ) (A).归纳推理 (B).类比推理 (C).演绎推理 (D).反证法推理 ( ☆ ) (B). (3 )? ? 3 log3 e (C). (log 2 3 x ) ? ?
x x

5.下列求导运算正确的是

1 1 (A).(x+ )′=1+ 2 x x
(D).(x2cos x)′=-2xsin x

1 x ln 2

6.函数 f(x)=2015x2+lnx-x 的极值点的个数是 (A).0 (B).1 (C).2

( ☆ ) (D).无数个

7. 设 z1, z2 是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若 | z1 ? z2 |? 0 , 则 z1 ? z2

( ☆ )

(B) 若 z1 ? z2 , 则 z1 ? z2

(C) 若

z1 ?| z2 |

z1 ? z2 · z2 , 则 z1·

(D) 若

z1 ?| z2 |

2 2 , 则 z1 ? z2

8.如右图元宵花灯展中的一款五角星灯连续 的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出 ( ☆ )

旋转闪烁所成 来的图形是

(A).

(B).

(C).

(D).

9.若函数 f ( x) ? 2 x 2 ? ln x 在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数 k 的 取值范围是 (A) . [1 , + ∞) 3 ? (D).? ?2,2? -2 10. 已知函数 y ? xf ?( x) 的图象如右图所示 ( 其中 f '( x ) 是函数 -1 -1 ( ☆ ) 3? (B). ? ?1,2? (C) . [1,2)

y
1

x
1 2

O

f ( x) 的 导 函 数 ) , 下 面 四 个 图 象 中
( ☆ )

y ? f ( x) 的 图 象 大 致 是

y
2 1 -2 -1 1 2

2 1

y

4 2 1

y

y
4 2

x

-2 -1

1

2

x

-2 -1

1

x

-2

-2

-2

-2

-1

2

x

(A)
11. 已知定义在 (0, ( ☆ ) (A) 3 f ( ) ?

(B)

(C)

(D)

?
2

) 上的函数 f ( x) , f '( x ) 为其导函数,且 f ( x) ? f '( x) ? tan x 恒成立,则

?

4

2f( ) 3

?

(B). 3 f ( ) ? f ( )

?

?

6

3

(C)

2f( )? f( ) 6 4

?

?

(D). f (1) ? 2 f ( ) ? sin1

?

6

12. 若定义在 D 上的函数 y ? h( x) 在点 P (x0, h (x0) ) 处的切线方程为 l : y ? g ( x) , 当 x ? x0 时,若

h( x ) ? g ( x ) ? 0 在 D 内恒成立,则称 P 为函数 y ? h( x) 的“类对称点”,则 x ? x0

h( x) ? x 2 ? 6 x ? 4 ln x 的“类对称点”的横坐标是 ( ☆ )
(A). 1 (B). (C). e (D).

第二部分

非选择题

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.复数 m2 ? 9 ? (m ? 3)i 是纯虚数,则实数 m 的值为

14.若函数 f ( x ) ? sin( x ? 积为

?
6

) 的图象如图所示,则图中的阴影部分的面

15.设 P 是函数 y ? ln x 图象上的动点,则点 P 到直线 y ? x 的距离的最小值为

16.已知函数 f ( x) ? xe x ,记 f 0 ( x) ? f ?( x) , f1 ( x) ? f0?( x) ,?, f n ( x) ? f n??1 ( x) 且 x 2 ? x1 ,对 于下列命题: ①函数 f ( x) 存在平行于 x 轴的切线; ③ ②

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0; x1 ? x2

? ( x) ? xe x ? 2017e x ; ④ f ( x1 ) ? x2 ? f ( x2 ) ? x1 . f 2015

其中正确的命题序号是____________(写出所有满足题目条件的序号).

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程)
17. (本小题满分 10 分) (1)已知 a ? b ? c ? d ? 100 ,求证 a,b,c,d 中,至少有一个数大于 25; (2)已知 a ? 0, b ? 0 ,求证 a 3 ? b 3 ? a 2 b ? ab 2 .

18. (本小题满分 11 分) 已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax3 ? 4ax2 ? 4ax,( x ? R) 。 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x) 有极大值 16,求实数 a 的值。

19. (本小题满分 11 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 0 , (1)计算 a2 , a3 , a4 ; (2)猜想数列 ?an ? 的通项公式并用数学归纳法证明.

an ?1 ?

1 * ( n ? N ). 2 ? an

20.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? ax, g ( x) ? 2 x 2 ? 4 x ? c . 3

(Ⅰ)试问函数 f ( x) 能否在 x ? ?1 时取得极值?说明理由; (Ⅱ)若 a ? ?1, 当 x ?[?3,4] 时,函数 f ( x) 与 g ( x) 的图像有两个公共点, 求 c 的取值范围. 21. ( 本题 12 分) 如图,有一个长方形地块 ABCD,边 AB 为 2km, AD 为 4 km.,地块的一角是湿地 (图中阴影部分),其边缘线 AC 是以直线 AD 为对称轴,以 A 为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条 过边缘线 AC 上一点 P 的直线型隔离带 EF,E,F 分别在边 AB,BC 上(隔离带不能穿越湿地,且占地 面积忽略不计).设点 P 到边 AD 的距离为 t(单位:km),△BEF 的面积为 S(单位: km ). (I)求 S 关于 t 的函数解析式,并指出该函数的定义域; (2)问: 按上述要求隔离出的△BEF 面积 S 能否达到 3 km ? 由.(说明:解答利用如图建立的平面直角坐标系) D
2 2

y

并 说 明 理 C F

P 22.(本小题满分 14 分) O(A) E
第 21 题

B x

已知函数 f ? x ? ? a ln x, a ? R . (I)若曲线 y ? f ? x ? 与曲线 g ? x ? ?

x 在交点处有共同的切线,求 a 的值;
2

(II)若对任意 x ? ?1, e ? ,都有 f ? x ? ? ? x ? ? a ? 2 ? x 恒成立,求 a 的取值范围;

xe1? x (III)在(I)的条件下,求证: xf ? x ? ? ?1 . 2

2014—2015 学年福州八县市一中高二下期中理科数学答案
一、选择、AACBC 二、填空、13. 3 ADA B.C 14. B B. 15.

2? 3 2

2 2

16、①③;

三、解答题 17(1)证明:假设结论不对,即 a,b,c ,d 均不大于 25,(2 分) 那么, a ? b+c +d ? 25 ? 25 ? 25 ? 25 ? 100 ,这与已知条件矛盾.(4 分) 所以, a,b,c ,d 中,至少有一个数大于 25. (2)证法一 分析法 要证 a 3 ? b 3 ? a 2 b ? ab 2 成立. 只需证 (a ? b)(a
2

(5 分)

? ab ? b 2 ) ? ab(a ? b) 成立, (2 分)

又因 a ? b ? 0 , 只需证 a 2 ? ab ? b 2 ? ab 成立, 又需证 a 2 ? 2ab ? b 2 ? 0 成立, 即需证 (a ? b) ? 0 成立 (4 分)
2

而 (a ? b) ? 0 显然成立. 由此命题得证。 (5 分)
2

证法二 综合法

(a ? b) 2 ? 0 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ? 0 ? a 2 ? ab ? b 2 ? ab (2 分)
由 a ? 0, b ? 0 ,得 a ? b ? 0 , ∴ (a ? b)(a ? ab ? b ) ? ab(a ? b) , (4 分)
2 2

∴ a 3 ? b 3 ? a 2 b ? ab 2 成立。 (5 分) 证法三 求差法

(a 3 ? b3 ) ? (a 2b ? ab 2 ) ? a 2 (a ? b) ? b 2 (b ? a ) ? (a ? b) 2 (a ? b) (3 分)
∵ a ? 0, b ? 0 , (a ? b) ? 0
2

∴ a 3 ? b 3 ? a 2 b ? ab 2
3 2

(5 分)
2

18. (Ⅰ)∵ f ( x) ? ax ? 4ax ? 4ax ∴ f ?( x) ? 3ax ? 8ax ? 4a. (2 分)

令 f ?( x) ? 0 ∵ a ? 0,



3ax2 ? 8ax ? 4a ? 0
2 或x ? 2 3
(4 分)

? 3x 2 ? 8x ? 4 ? 0. ∴ x ?
2 3

∵a>0,∴当 x ? (?? , )或x ? (2,?? )时f ?( x) ? 0. ∴函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( ?? , ]和[2,?? ) (6 分) 当 x ? ( ,2)时, f ?( x ) ? 0 , ∴函数 f ( x) 的单调递减区间为 [ , 2] (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x)在x ?

2 3

2 3

2 3

????7 分

2 时,取得极大值。 ????9 分 3 2 2 27 2 . ????11 分 即 a ? ( ? 2) ? 16 解得 a ? 3 3 2 1 2 3 19.解: (1) a2 ? , a3 ? , a4 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3分 2 3 4
(2)猜想

an ?

n ?1 (n 1, 2*??? ) n? ? N ??????????????? 5分 n

证明:①当 n ? 1 时,结论显然成立???????????6 分 ②假设 n ? k 时,结论成立,即 ak ? 那么当 n ? k ? 1 时,

k ?1 ????7 分 k

ak ?1 ?

? k ? 1? ? 1 1 1 k k ? ? ? ? 2 ? ak 2 ? k ? 1 2k ? (k ? 1) k ? 1 k ?1 k
n ?1 对一切自然数 n 都成立.????????11 分 n

即当 n ? k ? 1 时,等式成立.????? ?10 分 由①②知, an ?

20.解:(Ⅰ )由题意 f ' ( x) ? x 2 ? 2ax ? a , (1 分) 假设在 x ? ?1时 f ( x) 取得极值,则有 f ' (?1) ? 1 ? 2a ? a ? 0 ,∴a = ?1,(3 分) 而此时, f ' ( x) ? x 2 ? 2x ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? 0 ,函数 f ( x) 在 x=-1 处无极值(5 分)
1 c ? x3 ? x 2 ? 3x 1 3 2 (Ⅱ ) (Ⅱ )设 f ( x) ? g ( x) ,则有 x ? x ? 3x ? c ? 0 ,∴ , 3 3

设 F ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3x, G( x) ? c , 令 F ' ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,解得 x1 ? ?1 或 x ? 3 .(7 分) 列表如下: x -3 (-3,-1) + -1 0
5 3

1 3

(-1,3) -

3 0

(3,4) +

4

F ' ( x)

F ( x)

-9





-9



?

20 3

由此可知:F(x)在(-3,1) , (3,4)上是增函数,在(-1,3)上是减函数. 当 x=-1 时,F(x)取得极大值 F(-1)= F(-3)=F(3)=-9,而 F(4)= ?

5 ;当 x=3 时,F(x)取得极小值 3

20 .(10 分) 3

如果函数 f ( x) 与 g ( x) 的图像有两个公共点,则函数 F(x)与 G(x)有两个公共点, 所以 ?

20 5 ? c ? 或 c ? ?9 .(12 分) 3 3

(2, 4) .???????????????1 分 21 解 (1) C 点坐标为
2 设边缘线 AC 所在抛物线的方程为 y = ax ,

D

y

C F



(2, 4) 代入,得 4 = a 22 ,解得 a = 1 ,

2 所以抛物线的方程为 y = x .????????2 分

? 因为 y = 2 x ,???????????3 分
2 所 以 过 P(t , t ) 的 切 线 EF

P

方 程 为 O(A) E
(第 20 题 )

y = 2tx - t 2 .?????????5 分
y = 0 ,得 令

B

x

t E ( ,0) 2 2 ;令 x = 2 ,得 F (2,4t - t ) ,?

S?
所以

1 t (2 ? )(4t ? t 2 ) 2 2 ,?? 1 3 (t ? 8t 2 ? 16t ) 4 ,定义域为 (0, 2] .????????7 分

S?
所以

S? ?
(2)

1 2 3 4 (3t ? 16t ? 16) ? (t ? 4)(t ? ) 4 4 3 ,????????9 分 0?t? 4 3,

? 由 S (t ) ? 0 ,得

4 4 (0, ) ( , 2] ? 3 上是增函数,在 3 所 以 S (t ) 在 上 是 减 函 数 , 所 以 S 在 (0, 2] 上 有 最 大 值

4 64 S( ) ? 3 27 .?????11 分 64 17 ? 3? ?3 27 又因为 27 ,
2 所以隔离出的△BEF 面积 S 不能达到 3 km .?????12 分

1 a 22.(I)函数 f(x)=alnx 的定义域为(0,+∞) ,f′ (x)= x ,g′ (x)= 2 x .

设曲线 y=f (x) 与曲线 g (x) = 2分

1 a x 2 x0 , x 交点 (x0, y0) , 由于在交点处有共同的切线, ∴ 0 = ????

解得 x0=4a2,a>0.由 f(x0)=g(x0)可得 alnx0=
2 ? ? x0 ? 4a ? ? a ln x0 ? x0 ,解得 a ? e .?????4 分 联立 ?

x0



2

(II)对任意 x∈[1,e],都有 f(x)≥-x2+(a+2)x 恒成立,化为 a(x-lnx)≤x
2

- 2x. (*) .

令 h(x)=x-lnx,h′ (x)=1-

1 x

=

x ?1 x ,

∵x∈[1,e],∴h′ (x)≥0,∴函数 h(x)单调递增,∴h(x)≥h(1)=1. ????6 分

x2 ? 2 x ∴(*)式可化为 a≤ x ? ln x ,x∈[1,e]. ( x ? 1)[ x ? 2(1 ? ln x)] x2 ? 2 x ( x ? ln x) 2 令 F(x)= x ? ln x .F′ (x)= .
∵x∈[1,e],∴x-1≥0,2(1-lnx)>0,∴当 x∈[1,e]时,F′ (x)≥0,

1? 2 ∴函数 F(x)在 x∈[1,e]上单调递增,∴F(x)≥F(1)= 1 ? 0 =
∴a≤

- 1,

-1.?????9 分

e xe1? x (III)在(I)的条件下 f(x)= 2 lnx.要证明 xf(x)> 2 -1.
1-x 即证明 exlnx>xe - 2.????10 分 令 H(x)=exlnx,可得 H′ (x)=e+elnx=e(1+lnx) ,

1 令 H′ (x)>0,解得 x∈( e ,+∞),此时函数 H(x)单调递增; 1 令 H′ (x)<0,解得 x∈(0, e ),此时函数 H(x)单调递减. 1 1 ∴当 x= e 时,函数 H(x)取得极小值即最小值,H( e )=
1-x 1-x 令 G(x)= xe - 2,可得 G′ (x)=(1- x)e , 由 G′ (x)>0,解得 0<x<1,此时函数 H(x)单调递增; 由 G′ (x)<0,解得 x>1,此时函数 G(x)单调递减. ∴当 x=1 时,函数 G(x)取得极大值即最大值,G(1)=

- 1.

-

1.

xe1? x ∴H(x)>G(x) ,因此 xf(x)> 2 - 1.?????14 分
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