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3.2.1复数代数形式加减运算及其几何意义


3.2复数代数形式的四则运算

3.2.1复数代数形式加减运算及 其几何意义

1、复数代数形式的加法

我们规定,复数的加法法则如下:
设z1=a+bi, z2=c+di是任意两个复数,那么

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(c+d)i.

探究:复数的加法满足交换律、结合律吗?

2、复数加法满足交换律、结合律的证明
设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i, z3=a3+b3i. (1)因为 z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i) =(a1+a2)+(b1+b2)i,

所以

z2+z1= (a2+b2i) + (a1+b1i) =(a1+a2)+(b1+b2)i, z1+z2=z2+z1

容易得到,对任意z1,z2,z3? C,有 z1+z2=z2+z1 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) (同学们课后证明)

3、复数加法的几何意义
探究:复数与复平面内的向量有一一对应关系。 我们讨论过向量加法的几何意义,你能由此出发 讨论复数加法的几何意义吗?
y

Z
Z2(c,d)

Z1(a,b)

??? ??? ? 设 oz1 ,oz 2 分别与复数a+bi,c+di对应 ??? ? ??? oz1 =(a,b) oz 2 =(c,d) ??? ? ??? oz1 + oz 2 =(a+c,b+d)
x

??? ? oz :(a+c)+(b+d)i

O

复数的加法可以按照向量的加法来进行

4、复数的减法
思考:复数是否有减法?如何理解复数的减法?
类比实数集中减法的意义,我们规定,复数的减法是加 法的逆运算,即把满足 (c+di)+(x+yi)=a+bi

的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数c+di的差,记作 (a+bi)-(c+di).根据复数相等的定义,有 c+x=a, d+y=b, 因此 x=a-c, y=b-d
所以 即 x+yi=(a-c)+(b-d)i (a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i

1、计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).
解: (5-6i)+(-2-i)-(3+4i) =(5-2-3)+(-6-1-4)i =-11i

课堂练习:
1、计算: (1) (2+4i)+(3-4i); (3) (
2 3 ? i ) ? (1 ? 2 3

5
i) ? ( 1 2 ?

(2) 5-(3+2i); 2-2i
3 4 i)
7 6 ? 5 12 i

(4) (0.5+1.3i)-(1.2+0.7i)+(1-0.4i)

0.3+0.2i

2、

y Z

O

x

??? ? 3、在复平面内,复数6+5i与-3+4i对应的向量分别是 O A ??? ? ??? ? ??? ? 与 OB ,其中O是原点,求向量 AB ,BA 对应的复数。 ??? ? AB 对应的复数为(-3+4i)-( 6+5i )=-9-i ??? ? BA 对应的复数为( 6+5i )- (-3+4i)=9+i
4、在复平面上复数-1+I,、0、 3+2i所对应的分别是A、 B、C,则平行四边形ABCD的对角线BD的长为多少?

小结:
1、复数的加法、减法法则 2、复数加法、减法的几何意义



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