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一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.8 正弦定理、余弦定理应用举例课时规范训练


【高考领航】2017 届高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三 角形 3.8 正弦定理、余弦定理应用举例课时规范训练 理 北师大版
[A 级 基础演练] 1 1.(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形 ABC 的面积是 ,AB=1,BC= 2,则 AC 2 =( ) A.5 C.2 B. 5 D.1

1 1 1 解析:∵S= AB·BCsi

n B= ×1× 2sin B= , 2 2 2 ∴sin B= 2 π 3π ,∴B= 或 . 2 4 4

3π 2 2 2 当 B= 时,根据余弦定理有 AC =AB +BC -2AB·BCcos B=1+2+2=5,∴AC= 5, 4 此时△ABC 为钝角三角形,符合题意; π 2 2 2 当 B= 时,根据余弦定理有 AC =AB +BC -2AB·BCcos B=1+2-2=1,∴AC=1, 4 此时 AB +AC =BC ,△ABC 为直角三角形,不符合题意.故 AC= 5. 答案:B 2. 已知 A、 B 两地间的距离为 10 km, B、 C 两地间的距离为 20 km, 现测得∠ABC=120°, 则 A、C 两地间的距离为( A.10 km C.10 5 km ) B. 3 km D.10 7 km
2 2 2

? 1? 2 2 2 2 2 解析:利用余弦定理 AC =AB +BC -2AB·BCcos 120°=10 +20 -2×10×20×?- ? ? 2?
=700, ∴AC=10 7(km). 答案:D 3. 据新华社报道, 强台风“珍珠”在广东饶平登陆. 台风中心最大风力达到 12 级以上, 大风、降雨给灾区带来严重的灾害,不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后,折 成与地面成 45°的角,树干也倾斜为与地面成 75°的角,树干底部与树尖着地处相距 20 米,则折断点与树干底部的距离是( A. 20 6 米 3 ) B.20 6米

1

C.

10 6 米 3

D.10 6米

解析:如图,设树干底部为 O,树尖着地处为 B,折断点为 A,则∠ABO=45°,∠AOB =75°,∴∠OAB=60°.

AO 20 由正弦定理知, = , sin 45° sin 60°
20 6 ∴AO= (米). 3 答案:A 4. (2016·潍坊模拟)如图, 一艘船上午 9: 30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30°处, 之后它继续沿正北方向匀速航行,上午 10:00 到达 B 处,此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75°处,且与它相距 8 2 n mile.此船的航速是____________n mile/h.

解析:设航速为 v n mile/h 1 v 2 1 8 2 在△ABS 中 AB= v,BS=8 2,∠BSA=45°,由正弦定理得: = , 2 sin 30° sin 45° ∴v=32. 答案:32 5.如图,在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C 对于山坡的斜度为 15°,向山顶前进 100 米到达 B 后,又测得 C 对于山坡的斜度为 45°,若 CD=50 米,山坡 对于地平面的坡角为 θ ,则 cos θ =________.

解析:在△ABC 中,

ABsin∠BAC 100sin 15° BC= = =50( 6- 2), sin∠ACB sin?45°-15°?

2

在△BCD 中,sin∠BDC= =

BCsin∠CBD CD

50? 6- 2?sin 45° = 3-1, 50

又∵cos θ =sin∠BDC,∴cos θ = 3-1. 答案: 3-1 6.如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东方向上, 测得点 A 的仰角为 60°,再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10 米到位置 D,测得∠BDC=45°, 则塔 AB 的高是________米.

解析:在△BCD 中,CD=10,∠BDC=45°,∠BCD=15°+90°=105°,∠DBC=30°,

BC CD CDsin 45° 由正弦定理得 = ,则 BC= =10 2.在 Rt△ABC 中,tan 60°= sin 45° sin 30° sin 30° AB ,所以 AB=BCtan 60°=10 6. BC
答案:10 6 7.(2016·汕头模拟)为了立一块广告牌,要制造一个三角形支架.三角形支架的形状 如图所示,要求∠ACB=60°,BC 的长度大于 1 米,且 AC 比 AB 长 0.5 米.为了使广告牌稳 固,要求 AC 的长度越短越好,求 AC 最短为多少米?且当 AC 最短时,BC 的长度为多少米?

解:设 BC 的长度为 x(x>1)米,AC 的长度为 y 米,则 AB 的长度为(y-0.5)米.在△ABC 1 2 2 2 2 2 2 中,由余弦定理得:AB =AC +BC -2AC·BCcos∠ACB,即(y-0.5) =y +x -2yx· ,化 2 1 2 简得 y(x-1)=x - . 4 1 4 3 ∵x>1,∴x-1>0,因此 y= =(x-1)+ +2≥ 3+2.当且仅当 x-1= x-1 4?x-1?

x2-

3 时取等号, 4?x-1?

3

即 x=1+

3 时,y 有最小值 2+ 3. 2

故 AC 最短为(2+ 3)米,此时,BC 长为?1+

? ?

3? ?米. 2?

8.(2016·天门模拟)如图,某人在塔的正东方向上的 C 处在与塔垂直的水平面内沿南 偏西 60°的方向以每小时 6 千米的速度步行了 1 分钟以后,在点 D 处望见塔的底端 B 在东 北方向上,已知沿途塔的仰角∠AEB=α ,α 的最大值为 60°.

(1)求该人沿南偏西 60°的方向走到仰角 α 最大时,走了几分钟; (2)求塔的高 AB. 解:(1)依题意知:在△DBC 中,∠BCD=30°, ∠DBC=180°-45°=135°,

CD=6 000× =100(m),∠D=180°-135°-30°=15°,
由正弦定理得 = , sin∠DBC sin∠D ∴BC=

1 60

CD

BC

CD·sin∠D 100×sin 15° = sin∠DBC sin 135°
6- 2 4 50? 6- 2? = =50( 3-1)(m). 2 2 2

100× =

在 Rt△ABE 中,tan α = . ∵AB 为定长, ∴当 BE 的长最小时,α 取最大值 60°,这时 BE⊥CD,当 BE⊥CD 时,在 Rt△BEC 中,

AB BE

EC=BC·cos∠BCE=50( 3-1)·

3 =25(3- 3)(m), 2

设该人沿南偏西 60°的方向走到仰角 α 最大时,走了 t 分钟,则 t= ×60= 6 000 25?3- 3? 3- 3 ×60= (分钟). 6 000 4 (2)由(1)知当 α 取得最大值 60°时,BE⊥CD,
4

EC

在 Rt△BEC 中,BE=BC·sin∠BCE, 1 ∴ AB = BE·tan 60° = BC·sin ∠ BCE·tan 60° = 50( 3 - 1)· · 3 = 25(3 - 2 3)(m),即所求塔高为 25(3- 3)m. [B 级 能力突破] 1.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行,30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏东 70°,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B,C 两点间的距离是 ( A.10 2海里 C.20 3海里 B.10 3海里 D.20 2海里 )

解析:如图所示,易知,在△ABC 中,AB=20 海里,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据 正弦定理得 = ,解得 sin 30° sin 45°

BC

AB

BC=10 2(海里).
答案:A 2.(2015·鄂州模拟)某人在 C 点测得某塔在南偏西 80°,塔顶仰角为 45°,此人沿南 偏东 40°方向前进 10 米到 D,测得塔顶 A 的仰角为 30°,则塔高为( A.15 米 C.10 米 B.5 米 D.12 米 )

解析:如图,设塔高为 h,在 Rt△AOC 中,∠ACO=45°,

则 OC=OA=h. 在 Rt△AOD 中,∠ADO=30°,则 OD= 3h, 在△OCD 中,∠OCD=120°,CD=10,
5

由余弦定理得:

OD2=OC2+CD2-2OC·CD·cos∠OCD,
即( 3h) =h +10 -2h×10×cos 120°, ∴h -5h-50=0,解得 h=10 或 h=-5(舍去). 答案:C 3.如图所示,为测一树的高度,在地面上选取 A、B 两点,从 A、B 两点分别测得树尖 的仰角为 30°,45°,且 A、B 两点间的距离为 60 m,则树的高度为 ( )
2 2 2 2

A.(30+30 3)m C.(15+30 3)m

B.(30+15 3)m D.(15+15 3)m

解析:在△PAB 中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60 m, sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30° = 2 3 2 1 6- 2 × - × = , 2 2 2 2 4 = , sin 30° sin 15°

由正弦定理得: 1 ×60 2

PB

AB

∴PB=

=30( 6+ 2), 6- 2 4 2 2

∴树的高度为 PBsin 45°=30( 6+ 2)× =(30+30 3)m. 答案:A

4.(2014·高考重庆卷)已知△ABC 的内角 A,B,C 满足 sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C 1 -A-B)+ ,面积 S 满足 1≤S≤2,记 a,b,c 分别为 A,B,C 所对的边,则下列不等式一 2 定成立的是( ) B.ab(a+b)>16 2 D.12≤abc≤24

A.bc(b+c)>8 C.6≤abc≤12

1 解析:由 sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+ ,得 2
6

1 sin 2A+sin(A-B+C)-sin(C-A-B)= , 2 1 即 sin 2A+sin[A+(C-B)]+sin[A+(B-C)]= , 2 1 即 2sin Acos A+2sin Acos(B-C)= , 2 1 即 sin A[cos A+cos(B-C)]= , 4 1 即 sin A[-cos(B+C)+cos(B-C)]= . 4 1 化简,得 sin Asin Bsin C= . 8 1 1 设△ABC 外切圆的半径为 R, 由 1≤S≤2, 得 1≤ absin C≤2, 即 1≤ ×2Rsin A×2Rsin 2 2

R2 Bsin C≤2,故 1≤ ≤2.因为 R>0,所以 2≤R≤2 2.故 abc=2Rsin A×2Rsin B×2Rsin C
4 =R ∈[8,16 2],即 8≤abc≤16 2,从而可以排除选项 C 和 D.对于选项 A:bc(b+c)>
3

abc≥8,即 bc(b+c)>8,故 A 正确;对于选项 B:ab(a+b)>abc≥8,即 ab(a+b)>8,故 B
错误.故选 A. 答案:A 5.某人站在 60 米高的楼顶 A 处测量不可到达的电视塔高,测得塔顶 C 的仰角为 30°, 塔底 B 的俯角为 15°,已知楼底部 D 和电视塔的底部 B 在同一水平面上,则电视塔的高为 ________米.

解析:如图,用 AD 表示楼高,AE 与水平面平行,E 在线段 BC 上, 设塔高为 h,因为∠CAE=30°,∠BAE=15°,AD=BE=60,

BE 60 则 AE= = =120+60 3, tan 15° 2- 3
在 Rt△AEC 中,CE=AE·tan 30°=(120+60 3)× 所以塔高为 60+40 3+60=(120+40 3)米. 答案:120+40 3 6.如图, 3 =60+40 3, 3

7

游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C,另 一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B, 然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、 乙两位游客从 A 处下山, 甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后, 再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min, 山路 AC 长为 1 260 12 3 m,经测量,cos A= ,cos C= . 13 5 (1)求索道 AB 的长. (2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范 围内? 解:(1)在△ABC 中, 12 3 因为 cos A= ,cos C= , 13 5 5 4 所以 sin A= ,sin C= . 13 5 从而 sin B=sin[π -(A+C)] =sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C = 5 3 12 4 63 × + × = . 13 5 13 5 65

由正弦定理 = , sin C sin B

AB

AC

AC 1 260 4 得 AB= ·sin C= × =1 040(m). sin B 63 5 65
所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)假设乙出发 t min 后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距 12 2 2 2 离 A 处 130t m, 所以由余弦定理得 d =(100+50t) +(130t) -2×130t×(100+50t)× = 13 200(37t -70t+50). 1 040 35 由于 0≤t≤ ,即 0≤t≤8,故当 t= (min)时,甲、乙两游客距离最短. 130 37 (3)由正弦定理 = , sin A sin B
2

BC

AC

8

AC 1 260 5 得 BC= ·sin A= × =500(m). sin B 63 13 65
乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C. 500 710 1 250 625 设乙步行的速度为 v m/min,由题意得-3≤ - ≤3,解得 ≤v≤ ,所以 v 50 43 14 为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min, 乙步行的速度应控制在? 位:m/min)范围内. 7.(2016·广东肇庆一模)如图,某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点 A,B 之间的距离,她在西江南岸找到一个点 C,从 C 点可以观察到点 A,B;找到一个点 D,从 D 点可以观察到点 A,C;找到一个点 E,从 E 点可以观察到点 B,C;并测量得到数据:∠ACD =90°,∠ADC=60°,∠ACB=15°,∠BCE=105°,∠CEB=45°,DC=CE=1 百米.

?1 250,625?(单 ? 14 ? ? 43

(1)求△CDE 的面积; (2)求 A,B 之间的距离. 解:(1)在△CDE 中,∠DCE=360°-90°-15°-105°=150°,

S△CDE= DC·CE·sin 150°= ×sin 30°= × = (平方百米).
(2)连接 AB,依题意知,在 Rt△ACD 中,AC=DC·tan∠ADC=1×tan 60°= 3, 在△BCE 中,∠CBE=180°-∠BCE-∠CEB=180°-105°-45°=30°, 由正弦定理 = , sin∠CEB sin∠CBE

1 2

1 2

1 1 2 2

1 4

BC

CE

CE 1 得 BC= ·sin∠CEB= ×sin 45°= 2. sin∠CBE sin 30°
∵cos 15°=cos(60°-45°)=cos 60°cos 45°+sin 60°sin 45° 1 2 3 2 6+ 2 = × + × = , 2 2 2 2 4 在△ABC 中,由余弦定理 AB =AC +BC -2AC·BC·cos∠ACB, 可得 AB =( 3) +( 2) -2 3× 2× ∴AB= 2- 3(百米).
2 2 2 2 2 2

6+ 2 =2- 3, 4

9


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