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01命题及其关系01四种命题


问题1:下面的语句的表述形式有什 么特点?你能判断它们的真假吗? (1)若xy=1,则x、y互为倒数 ; (2)相似三角形的周长相等; (3) 2+4=5 ; (4)如果b≤-1,那么x2-2bx+b2+b=0方程有实根; (5)若A∪B=B,则 A ?B (6)3不能被2整除. 我们把用语言、符号或式子表达的, 可以判断真假的语句称为命题. 其中判断为真的语句称为真命题,判断

为假 的语句称为假命题.

命题(1)(4)(5),具有 “若P, 则q”
的形式

也可写成 “如果P,那么q” 的形式
通常,我们把这种形式的命题中的P叫做命 题的条件,q叫做结论. 记做:

p?q

指出下列命题中的条件p和结论q:

(1)若整数a能被2整除,则a是偶数;
(2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直 且平分.
表面上不是“若P, 则q” 的形式,但可以改变 为“若P, 则q” 形式的命题.

思考 “垂直于同一条直线的两个平面平行”。

可以写成“若P, 则q” 的形式吗?

问题2:判断下列命题的真假,你 能发现各命题之间有什么关系?
?

?
? ?

①如果两个三角形全等,那么它们的面积相等; ②如果两个三角形的面积相等,那么它们全等; ③如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等; ④如果两个三角形面积不相等,那么它们不全等;

数学理论:原命题与逆命题的知识
即在两个命题中,如果第一个命题的条件 (或题设)是第二个命题的结论,且第一个命 题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命 题叫做互逆命题;如果把其中一个命题叫做原 命题,那么另一个叫做原命题的逆命题.

原命题是:⑴同位角相等,两直线平行; 逆命题就是:⑵两直线平行,同位角相等.

数学理论:否命题与逆否命题的知识
即在两个命题中,一个命题的条件和结论分 别是另一个命题的条件的否定和结论的否定, 这样的两个命题就叫做互否命题,若把其中一 个命题叫做原命题,则另一个就叫做原命题的 否命题.
否命题⑶同位角不相等,两直线不平行; 逆否命题 ⑷两直线不平行,同位角不相等.

数学理论:原命题与逆否命题的知识
即在两个命题中,一个命题的条件和结论分 别是另一个命题的结论的否定和条件的否定, 这样的两个命题就叫做互为逆否命题,若把其 中一个命题叫做原命题,则另一个就叫做原命 题的逆否命题.

四种命题的形式
?

?

原命题:若p则q; 逆命题:若q则p; 否命题:若┐p则┐q;逆否命题:若┐q则┐p.

例1.写出命题“若a=0,则ab=0”的逆命题、 否命题、逆否命题,并判断各命题的真假。
原命题:若a=0,则ab=0是真命题; 逆命题:若ab=0,则a=0是假命题; 否命题:若a ≠ 0,则ab ≠ 0”是假命题; 逆否命题:若ab≠0,则a≠0”是真命题;

原命题为真,它的否命题不一定为真; 原命题为真,它的逆否命题一定为真.

例2.把下列命题改写成“若p则q”的形式, 并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题, 同时指出它们的真假。
? ? ?

(1)两个全等的三角形的三边对应相等; (2)四边相等的四边形是正方形; (3)负数的平方是正数;

练习
1.判断下列命题的真假:

(1)能被6整除的整数一定能被3整除;
(2)若一个四边形的四条边相等,则这个四边形

是正方形;
(3)二次函数的图象是一条抛物线; (4)两个内角等于 45 的三角形是等腰直角三 角形.

2.设原命题:当c>0时,若a>b,则ac>bc; 写出它的逆命题、否命题与逆否命题,并分 别判断它们的真假.

小结.
本节重点研究了四种命题的概念与表示形式, 即如果原命题为:若p则q,则它的逆命题为: 若q则p,即交换原命题的条件和结论即得其逆 命题;否命题为:若p则q,即同时否定原命题 的条件和结论,即得其否命题;逆否命题为: 若q则p,即交换原命题的条件和结论,并且同 时否定,即得其逆否题;
两个互为逆否的命题同真或同假

课后练习 1.命题“内错角相等,则两直线平行”的 否命题为( ) A.两直线平行,内错角相等 B.两直线不平行,则内错角不相等 C.内错角不相等,则两直线不平行 D.内错角不相等,则两直线平行

a 2.命题“若 a ? b ,则 ? 1 ”的逆否命题为( ) b a a A.若 ? 1 ,则 a ? b B.若 a ≤ b ,则 ≤1 b b a C.若 a ? b ,则 b ? a D.若 ≤1,则 a ≤ b b

3.写出“若x2+y2=0,则x=0且y=0”的逆否命题: 4.把下列命题写成“若 p 则 q”的形式,并判断其真假. (1)实数的平方是非负数; (2)等底等高的两个三角形是全等三角形; (3)能被 6 整除的数既能被 3 整除也能被 2 整除; (4)弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧. 5.写出命题“若 a 和 b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的 否命题和逆否命题. 6.判断命题“若 x+y≤5,则 x≤2 或 y≤3”的真假.


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