tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

第四讲:等式与不等式问题(16题)


第四讲 等式与不等式问题
1°等式与零点问题 (1)零点问题的方法: (a) 零值定理 (b) 罗尔定理 (c) 费马定理 (2)等式问题的方法: 1) 转化为零点问题 2) 介值定理 3) 拉格朗日中值定理 4) 柯西中值定理

5) 泰勒公式

例1 [练习七/八] 设 f (x) 在[1 , 2] 上有二阶导数 , 且 f

(2) = 0 , 又 F ( x ) ? ( x ? 1)2 f ( x ) , 证明: 在区间 ( 1 , 2)

内有点 ξ, 使
解 因为

F ' ' (? ) ? 0
2

F ( x ) ? ( x ? 1) f ( x )

在 [1 , 2] 上连续 , (1 , 2)

上可导 , 且 F(1) = F(2) = 0 , 据罗尔定理 , 存在 μ?(1 ,2) , 使
F '(? ) ? 0 ,


2

F ' ( ? ) ? [2( x ? 1) f ( x ) ? ( x ? 1) f ' ( x )]x ? ? ? 0

又 F ' (1) ? 0, 及 F ' ( x ) 在 [1 , μ] 上连续 , (1 , μ) 上可导, 据罗尔定理 , 存在 ξ?(1 , μ) ?(1 , 2) , 使
F ' ' (? ) ? 0

例2 [练习七/五] 设 f (x) 在[a , b] 上连续 , (a , b) 内可导 , 试证明: 存在 ξ?( a , b) , 使
f ( b ) ? f (? )

? ?a

? f ' (? )

解 原等式

? f (b) ? f (? ) ? f ' (? )(? ? a ) ? f '(? )(? ? a ) ? f (? ) ? f (b) ? 0
? [( f ( x ) ? f (b))( x ? a )]' x ?? ? 0

构造辅助函数

F ( x ) ? ( f ( x ) ? f (b))( x ? a )

, 则 F(x) 在

[a , b] 上连续 , (a , b) 内可导 , 且 F(a) = F(b) = 0 , 据罗尔定理 , 存在 ξ ? (a , b) , 使
F ' (? ) ? 0



f ( b ) ? f (? )

? ?a

? f ' (? )

例3 [练习七/四] 设 f (x) 在[1 , e] 上连续 , (1 , e) 内可导 ,
且 f (e) = 1, 证明: 存在 ξ?( 1 , e) , 使
? f ' (? ) ln ? ? f (? ) ? 1



原等式

? ? f ' (? ) ln ? ? f (? ) ? 1 ? 0
f (? ) ? 1 ?0

? f ' (? ) ln ? ?

?

? [( f ( x ) ? 1) ln x ]' x ?? ? 0

构造辅助函数

F ( x ) ? ( f ( x ) ? 1) ln x

, 则 F(x) 在[1 , e]

上连续 , (1 , e) 内可导 , 且 F(1) = F(e) = 0 , 据罗尔定理 ,
存在 ξ ? (1 , e) , 使
F ' (? ) ? ? f ' (? ) ln ? ? f (? ) ? 1 ? 0

例4 设 f (x) 在[0,1] 上有二阶导数 , 且 f (0) = f (1) =0 , 证明: 在 (0 , 1)内存在ξ使
2 f ' (? ) ? ? f '' (? ) ? 0



原等式

? f ' (? ) ? ( f ' (? ) ? ?f '' (? )) ? 0
? f ' (? ) ? ( xf ' ( x ))' x ?? ? 0 ? [ f ( x ) ? xf ' ( x )]' x ?? ? 0 ? [ xf ( x )]'' x ?? ? 0

构造辅助函数

g( x ) ? xf ( x )

, 则 g(x) 在[0 , 1]上连续 ,

(0 , 1) 内可导 , 且 g(0) = g(1) = 0 , 据罗尔定理 ,

存在μ?(0 ,1) , 使

g' ( ? ) ? 0

又 g' ( x ) ?

f ( x ) ? xf ' ( x ) ,



g' ( x )在

[0 ,μ]上连续 , 可导,

g' (0) ? g' ( ? ) ? 0 ,

再利用罗尔定理 , 存在ξ?(0 ,μ)?(0 , 1) , 使

2 f ' (? ) ? ? f '' (? ) ? 0

g'' (? ) ? 0

例5 试证: 若 f (x) 在 [a , b]上可导 , 则函数 f ' ( x ) 在
[a , b]上取遍
f ' ( a ) 和 f ' (b) 之间的一切值

(达布定理)

解 不妨设

f ' (a ) ? f ' (b) ,

任取 c 使
f ' (? ) ? c

f ' (a ) ? c ? f ' (b) ,

要证:存在ξ?(a , b) 使

? ( f ( x ) ? cx)' x ?? ? 0

构造辅助函数

F ( x ) ? f ( x ) ? cx

, 则 F(x) 在[a ,b]上可导,



F ' (a ) ? f ' (a ) ? c ? 0 , F ' (b ) ? f ' (b) ? c ? 0 ,
x ? (a , a ? ? 1 )

存在 ? 1 ? 0 , ? 2 ? 0 , 当

时,有
?0

F ( x ) ? F (a ) x ?a

?0



x ? (b ? ? 2 , b)

时,有
时, 时,

F ( x ) ? F (b) x ?b

即当 当

x ? (a , a ? ? 1 ) x ? (b ? ? 2 , b)

F ( x ) ? F (a ) F ( x ) ? F (b)

? 连续函数 F(x) 的最小值必在 (a , b) 内取得 不妨设 ξ?(a , b) 使 , F (? ) ? min F ( x )
a ? x ?b

则ξ是可微
F ' (? ) ? 0

函数 F(x) 的极小值点 , 据费马定理知 即
f ' (? ) ? c

例6 设 0 < a < b , 证明: 存在 ξ? (a , b ) 使
ae ? be ? (1 ? ? )(a ? b)e
b a

?

e

b

解 原等 式 设
f ( x) ? e
x

?

ae ? be a ?b
1 x

b

a

? ?

e

a

? (1 ? ? )e

?

?

b 1 b

? a ? (1 ? ? )e 1

a

, g( x ) ?

x

, 则 f (x) , g(x) 在[a , b] 上满足

柯西中值定理的条件 ? 存在ξ? (a , b) 使
e
b

? ?

e

a

?e ? e
f (b) ? f (a ) f ' (? )

?

?

b 1 b

a ? ? ? 1 g(b) ? g(a ) g' (? ) a

?
?

2

1

? (1 ? ? )e

?

?

2

例7 设 f (x) 在 [a , b] 连续, 在 (a , b)内二阶连续可导 , 证明: 存在 c (a < c < b ) 使
f (a ) ? f (b) ? 2 f ( a?b 2 )? (b ? a ) 4
a?b 2 ) ? f (a )] ? (b ? a ) 4
[a , a?b 2 ]上连续,
2
2

f ' ' (c )

解 原等式 设
(a ,

? [ f (b) ? f (

a?b 2

)] ? [ f (

f ' ' (? )

? ( x) ? f ( x ?
a?b 2 )

b?a 2

) ? f ( x)

, 则 ? (x) 在

上可导
]上利用拉格朗日中值定理 a?b 2 )] ? [ f ( a?b 2 ) ? f (a )] ? ? (



[a ,

a?b 2

,有
) ? ? (a )

[ f (b) ? f (

a?b 2

[ f (b) ? f (

a?b 2

)] ? [ f (

a?b 2

) ? f (a )] ? ? ( ) ? f ' (? )]

a?b 2

) ? ? (a ) ? ? ' (? ) ( a ?? ?

b?a 2

? [ f ' (? ?

b?a 2

b?a 2

a?b 2

)



f '( x)

在 [? , ? ?
f ' (? ?

b?a 2

]

上利用拉格朗日中值定理 , 有
b?a 2 (? ? c ?? ?
2

b?a 2

) ? f ' (? ) ? f '' (c )

b?a 2

)

? f (a ) ? f (b ) ? 2 f (

a?b 2

)?

(b ? a ) 4

f ' ' (? )

解二 设

x0 ?

a?b 2

, 利用泰勒公式有
f '' (?1 ) 2 (a ? x0 ) , ?1 ? (a , x0 )
2

f (a ) ? f ( x0 ) ? f ' ( x0 )(a ? x0 ) ?

f (a ) ? f ( x0 ) ? f ' ( x0 )(a ? x0 ) ? f (b) ? f ( x0 ) ? f ' ( x0 )(b ? x0 ) ?
? f (a ) ? f (b) ? 2 f ( x0 ) ? ? f (a ) ? f (b) ? 2 f ( x0 ) ?

f '' (?1 ) 2 f '' (? 2 ) 2
2

(a ? x0 ) , ?1 ? (a , x0 )
2 2

( b ? x0 ) , ? 2 ? ( x 0 , b )

(b ? a ) 8 (b ? a ) 4

[ f ' ' (?1 ) ? f ' ' (? 2 )]
2

[

f ' ' (?1 ) ? f ' ' (? 2 ) 2

]

由于 f (x) 在(a , b) 内二阶连续可导 , 对 介值定理 , 存在 c ?[?1 , ? 2 ] ? (a, b) 使
? f (a ) ? f (b) ? 2 f ( a?b 2 )?

f'' ( x )

利用
2

f '' (c ) ?
2

f '' (?1 ) ? f '' (? 2 )

(b ? a ) 4

f '' (c )

2°不等式问题 (一)
处理不等式问题的方法:

1) 利用拉格朗日中值定理
2) 利用柯西中值定理 3) 利用泰勒公式 4) 利用函数的单调性 5) 利用函数的最值 6) 利用一些著名的不等式

例8 证明:当 a > 1 , n≥ 1 时,
1 1 1 1

a n ?1 ( n ? 1)
2

?

a n ? a n?1 ln a

?

an n
2

解 设

f ( x) ? a

x

, 在
, 1 )

[

1

n ?1 n

,

1

] 上利用拉格朗日中值定理

存在
1 1

? ?(

1

n ?1 n
)? f(
1

使
) ? f ' (? )(
1

a

n

?a

n ?1

? f(

1 n

1 n ?1

1 n

?

1 n ?1
?

) ? a ln a ?
1

?

1 n( n ? 1)

1

?

a n ?1 ( n ? 1)
2

?

a n ? a n ?1 ln a

?

a

n( n ? 1)

?

an n
2

例9 [练习十一/十]
f '' ( x) ? M ,

f '' ( x)

在 [ 0 , L] 上存在 , 且有界

且 f (x) 在 (0 , L) 内取得最大值 , 证明:
f ' (0) ? f ' ( L) ? ML

解 设

x 0 ? ( 0 , L)

使

f ( x0 ) ? max f ( x )
0? x? L

,
? f ' ( x0 ) ? 0

则 x0 是可微函数 f (x) 的极大值点
在 [0 , x0] , [x0 , L] 上对
f '( x )

利用拉格朗日中值定理 ,

f ' ( L) ? f ' ( L) ? f ' ( x0 ) ? f '' (?1 )( L ? x0 ) , x0 ? ?1 ? L f ' (0) ? f ' (0) ? f ' ( x0 ) ? f '' (? 2 )(? x0 ) , 0 ? ? 2 ? x0
? f ' (0) ? f ' ( L) ? f '' (?1 ) ( L ? x0 ) ? f '' (? 2 ) x0

? M ( L ? x0 ) ? Mx 0 ? ML

例10 [练习九/九] 设 f (x) 在 [0 , 2] 连续, 在 (0 , 2)内有
三阶导数 , 且 f (0) = 3 , f (2) = 4 ,
f (1) ? max f ( x )
0? x ? 2

,

试证明: 存在 ξ? (0 , 2) , 使
解 由
f (1) ? max f ( x )
0? x ? 2

f ' ' ' (? ) ? 3

及 f (x) 可微 ? x =1是 f (x) 的驻点

将 f (x) 在 x = 1 处泰勒展开有
f ( x ) ? f (1) ? f ' (1)( x ? 1) ? f '' (1) 2 f '' (1) 2! ? f (1) ? ( x ? 1) ?
2

( x ? 1) ?

2

f ''' (? ) 3!

( x ? 1)

3

f ''' (? ) 6

( x ? 1)

3

其中 ξ介于 1 与 x 之间

在上式中分别令 x = 2 , x = 0 有
4 ? f ( 2) ? f (1) ? f '' (1) 2 3 ? f (0) ? f (1) ? f '' (1) 2 ? ? f ''' (?1 ) 6 f ''' (? 2 ) 6 , 1 ? ?1 ? 2

, 0 ? ?2 ? 1

两式相减有

1?

f ''' (?1 ) ? f ''' (? 2 ) 6

? 6 ? f ''' (?1 ) ? f ''' (? 2 ) ? 2 max{ f ''' (?1 ) , f ''' (? 2 )} ? 2 f ''' (? )

? f ''' (? ) ? 3

其中

f ''' (? ) ? max{ f ''' (?1 ) , f ''' (? 2 )}

例11 设 f (x) 在 [a , b] 上二阶可导, 且 则在 (a , b) 内必存在一点 ξ , 使
f ' ' (? ) ? 4 (b ? a )
2

f ' (a ) ? f ' (b) ? 0 ,

f (b) ? f (a )
f ' ' (? ) 4 (b ? a )
2

解 所证不等式可改写为

f (b) ? f (a ) ?

利用泰勒公式及
f( a?b 2

f ' (a ) ? f ' (b) ? 0



) ? f (a ) ? f ' (a )(

a?b 2

f '' (?1 ) a ? b 2 ? a) ? ( ? a) 2! 2 a ? ?1 ? a?b 2

f '' (?1 ) b ? a 2 ? f (a ) ? ( ) 2! 2 f( a?b 2 ) ? f (b) ? f ' (b)( a?b 2

f '' (? 2 ) a ? b 2 ? b) ? ( ? b) 2! 2

f(

a?b 2

) ? f (b) ? f ' (b)(

a?b 2

f '' (? 2 ) a ? b 2 ? b) ? ( ? b) 2! 2 a?b 2 ? ?2 ? b
2

f '' (? 2 ) b ? a 2 ? f (b) ? ( ) 2 2

两式相减有

f ' ' (?1 ) ? f ' ' (? 2 ) (b ? a ) f (b ) ? f (a ) ? ? 2 4

f ' ' (?1 ) ? f ' ' (? 2 ) (b ? a ) 2 f (b) ? f (a ) ? ? 2 4 ? f ' ' (? ) (b ? a ) 4
2

其中

f ' ' (? ) ? max{ f '' (?1 ) , f '' (? 2 ) }

3°不等式问题 (二)
例12 [练习十/二(4)] 证明: 当 x ≥ 1 时 ,
e ?
x

e 2

(1 ? x )
2

解 原不等式
令 又

? e ?
x

x

e 2

(1 ? x ) ? 0 , x ? 1
2

2

g( x ) ? e ?
x

e 2

(1 ? x )

, 则 g(1) = 0
x

g' ( x ) ? e ? ex

,

g'' ( x ) ? e ? e ? 0 , x ? 1

? g' ( x ) ?



g' (1) ? 0

? g' ( x ) ? g' (1) ? 0 , x ? 1 ? g( x ) ? g(1) ? 0 , x ? 1

? g(x) 在 x ? 1 上严格单调增



e ?

x

e 2

(1 ? x ) , x ? 1

2

解二


原不等式
f ( x) ? e
x 2

?

e

x 2 x 2

1? x

?

e 2 ?

? 0 , x ?1 e 2

1? x

,则

e

1? x

? f ( x ) ? f (1)

对于 x > 1 , 在 [1 , x ]上对 f (x) 利用拉格朗日中值定理
e
x 2

1? x

?

e 2

? f ( x ) ? f (1) ? f ' (? )( x ? 1)

?

(? ? 1)e

?

(1 ? ? )

2 2

( x ? 1) ? 0 , 1 ? ? ? x

? f ( x ) ? f (1) ? 0 , x ? 1



e ?

x

e 2

(1 ? x ) , x ? 1

2

例13 证明 : 当 0 < x < 1 时 ,
解 设
f ( x) ? e
?x

e

?x

? sin x ? 1 ?

x

2

2
? sin x ? 1 ? x
2

, 0 ? x ?1
?x

,则

2

f (0) ? 0 , f ' ( x ) ? ?e

? cos x ? x

又 ?

f '' ( x ) ? e

?x

? sin x ? 1 ? 0 , x ? (0,1)

f '( x)

在 [ 0 , 1 ] 上严格单调减
f ' ( x ) ? f ' (0) ? 0 , 0 ? x ?1

即有

? f (x) 在 [ 0 , 1 ] 上严格单调减
? f ( x ) ? f (0) ? 0 , 0 ? x ?1
2



e

?x

? sin x ? 1 ?

x

2

例14 设

a ? 0 , b ? 0 , 0 ? p ? 1,

证明:

(a ? b) ? a ? b
p p

p

解 若 a , b 中有一为零 , 则不等式成立

下设 a , b > 0
原不等式 取
? (1 ?
p p

) ?1? ( ) a a

b

p

b

p

f ( x ) ? (1 ? x ) ? x ? 1 , x ? 0 f ' ( x ) ? p(1 ? x )
p ?1

, 则
1 (1 ? x )
1? p

? px

p ?1

? p[

? x

1
1? p

]? 0

? f (x) 在 [ 0 , +? ) 上严格单调减
? f ( x ) ? f (0) ? 0 , x?0
? (1 ? x ) ? 1 ? x , x ? 0
p p p p p



x?

b a

,有

(a ? b) ? a ? b

例15 [练习十一/二(2)] 若正数 p , q 之和为 1 , 证明 :

[0 ,

?
2

p

q

] 上有
p q

sin x cos x ? p 2 q 2
p q





f ( x ) ? sin x cos x
p ?1

,则
x ? q cos
2 q ?1

f ' ( x ) ? p sin

x cos
2

q ?1

x sin
2

p ?1

x
2



f ' ( x ) ? 0 ? p cos x ? q sin x ? p cos x ? q(1 ? cos x )
? cos x ? q
2

? 驻点:
?
2 )?0

x ? arccos q ? (0 ,

?
2

)

又由

f ( 0) ? f (

p

q

p

q

2 2 p q 2 2 f ( x ) ? sin x cos x ? (1 ? cos x ) 2 (cos x ) 2 ? p q ? 0
p q 2

p p q 2

q 2

? max f ( x ) ? p q
2 0? x ?

?

? s in x cos x ? p q , x ?[0 ,

?
2

]

2

a ?b

例16 设 解 因为 又
(

0?a ?b,
1

证明:

( ab )

2

?a?b? ?? ? ? 2 ?
a?b 2 )

a ?b

?a b
a

b

(ab) ?
2

a?b 2

a ?b

? (ab)
b

2

?(

a ?b

a?b 2

)

a ?b

? a b ? (a ? b) ln

a

a?b 2

? a ln a ? b ln b



f ( x ) ? x ln x

,则

f ' ( x ) ? 1 ? ln x , f '' ( x ) ?

1 x

?0, x ?0

?

f ( x)
?

在 ( 0 , +? ) 上是凸函数 ,
a?b 2 )? 1 2 1 2 (a ln a ) ? 1 2 f (a ) ? 1 2 (b ln b) f (b)

f(



a?b 2

ln

a?b 2

?

不等式成立


推荐相关:

第四讲不等式与不等式组

第四讲等式与不等式组_数学_初中教育_教育专区。...不等式与不等式组是 讨论、 解决不等关系问题的...16 >0 的解集为 2 ;; (2)分式不等式 x ?1...


2014年高考数学(理)二轮热点专题突破讲练:第四讲 不等式(含新题详解)

2014年高考数学(理)二轮热点专题突破讲练:第四讲 不等式(含新题详解)第四讲 不等式 不 等 式 不等式的基本性质 简单的线性 规划问题 比较两实数大小的法则 ...


2015届高考数学(理)二轮复习专题讲解讲义:专题一 第四讲 不等式

(理)二轮复习专题讲解讲义:专题一 第四讲 不等式_...(2)已知等式求最值问题,常利用基本不等式等式...1 9 19 解析:由题意得:Δ=16-4ac=0? ac=4,...


第四讲不等式(教师).doc改

如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 第四讲不等式(教师).doc改 隐藏>> 第- 1 - 页共 14 页 第四讲...


第四讲 基本不等式

第四讲考纲解析 基本不等式 1.了解基本不等式的证明过程,并会用基本不等式证明...(等式转化为不等式) 、方程思想、函数思想,这是解决数学 问题经常用的思想方法...


高三复习第四讲基本不等式

高三复习第四讲基本不等式_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第六章 不等式、...使其满足重要不等式中“正” “定” “等” 的条件. 3.在同一个问题中...


第四讲七年级下不等式和实数

第四讲七年级下不等式和实数_数学_初中教育_教育专区...个性化学习问题解决 教学重点 教学难点 利用不等式的...①在一元一次不等式中,不像等式那样,等号是不变的...


10304基本不等式与不等式证明(题目)

第四讲:基本不等式与不等式证明一、常用的基本不等式有以下这些: ()a、b ?...讨论的问题的正确结论,即 a 的取值范围是 . 自测练习题: 1、若不等式 x +...


第三讲 函数与不等式问题的解题技巧

第四讲 数列与探索性新题... 第五讲 向量与三角函数创...1....解题中注意不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合、突出渗透数学思想...


第二讲 方程与不等式的应用(老师使用)

不等式 实际问题与一元一次不等式 一元一次不等式组 不等式与不等式组单元测试...k ≤ 4 2≤k <3 6 第四讲(1)解关于 x 的不等式 x > a ( a > 0...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com