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1978年全国高中数学联赛试题及解答


1978 年全国高中数学竞赛题
一试题 1 1.已知 y=log 1 ,问当 x 为何值时,(Ⅰ) y>0;(Ⅱ) y<0? x+3
2

x 2.已知 tanx=2 2 (180° <x<270° ),求 cos2x,cos 的值. 2 3.设椭圆的中心为原点,它在 x 轴上的一个焦点与短轴两端连线互相垂直,且此焦

点与长轴上 较近的端点的距离是 10- 5,求椭圆方程. 4.已知方程 2x2-9x+8=0,求作一个二次方程,使它的一个根为原方程两根和的倒数,另一个 根为原方程两根差的平方. 5.把半径为 1 的四个小球叠成两层放在桌面上:下层三个,上层一个,两两相切,求上层小球 最高点离桌面的高度. 6.如图,设线段 AB 的中点为 M,从线段 AB 上的另一点 C 向直线 AB 的一侧引线段 CD,令线 段 CD 的中点为 N,BD 的中点为 P,MN 的中点为 Q,求证:直线 PQ 平分线段 AC. - 7.证明:当 n、k 都是给定的正整数,且 n>2,k>2 时,n(n-1)k 1 可以写成 n 个连续偶数的和. 8.证明:顶点在单位圆上的锐角三角形的三个角的余弦的和小于该三角形的周长之半. 9.已知直线 l1:y=4x 和点 P(6,4),在直线 l1 上求一点 Q,使过 PQ 的直线与直线 l1 以及 x 轴 在第Ⅰ象限内围成三角形面积最小.
?x+y+z=0, 10.求方程组? 3 3 3 的整数解. ? x +y +z =-18

二试题 1.四边形两组对边延长后分别相交,且交点的连线与四边形的一条对角线平行,证明:另一条 对角线的延长线平分对边交点连成的线段. 2.⑴ 分解因式:x12+x9+x6+x3+1. ⑵ 证明:对于任意角度 θ,都有 5+8cosθ+4cos2θ+cos3θ≥0. 3.设 R 为平面上以 A(4,1)、B(-1,-6)、C(-3,2)三点为顶点的三角形区域(包括三角形的 边界).试求当(x,y)在 R 上变动时,函数 4x-3y 的极大值和极小值.(须证明你的论断) 4.设 ABCD 为任意给定的四边形,边 AB、BC、CD、CA 的中点分别为 E、F、G、H,证明: 1 1 四边形 ABCD 的面积≤EG?HF≤ (AB+CD)· (AD+BC). 2 2 5.设有十人各拿提桶一只到水龙头前打水,设水龙头注满第 i(i=1,2,…,10)个人的提桶需时 Ti 分钟,假定这些 Ti 各不相同,问: (Ⅰ) 当只有一个水龙头可用时,应如何安排这十个人的次序,使你们的总的花费时间(包括各人 自己接水所花时间)为最少?这时间等于多少?(须证明你的论断) (Ⅱ) 当有两个水龙头可用时,应如何安排这十个人的次序,使你们的总的花费时间为最少?这 时间等于多少?(须证明你的论断) 6.设有一个边长为 1 的正方形,试在这个正方形的内接正三角形中找出一个面积最大的和一个 面积最小的,并求出这两个面积.(须证明你的论断)

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1978 年全国高中数学竞赛题解答 一试题 1 1.已知 y=log 1 ,问当 x 为何值时,(Ⅰ) x+3
2

y>0;(Ⅱ) y<0?

解:当 x>-3 时,y=log (x+3),
2

⑴ x+3>1?x>-2 时,y>0; ⑵ 0<x+3<1,?-3<x<-2 时,y<0. x 2.已知 tanx=2 2 (180° <x<270° ),求 cos2x,cos 的值. 2 1-(2 2)2 7 1 1 x 1+cosx 3 解:cos2x= =- . 2 =-9;cosx=- 2 =-3.cos2=- 2 3 1+(2 2) 1+tan x 3.设椭圆的中心为原点,它在 x 轴上的一个焦点与短轴两端连线互相垂直,且此焦点与长轴上 较近的端点的距离是 10- 5,求椭圆方程. 解:由已知 c=b,故 a= 2c,a-c= 10- 5= 5( 2-1)=c( 2-1),∴ c= 5,a= 10. x2 y2 所求椭圆方程为 + =1. 10 5 4.已知方程 2x2-9x+8=0,求作一个二次方程,使它的一个根为原方程两根和的倒数,另一个 根为原方程两根差的平方. 9 解:设已知方程两根为 x1,x2,则 x1+x2= ,x1x2=4.所求方程两根为 t1,t2, 2 t1= 1 2 81 17 = ,t =(x -x )2=(x1+x2)2-4x1x2= -16= . x1+x2 9 2 1 2 4 4

2 17 ∴ 所求方程为(x- )(x- )=0,即 36x2-161x+34=0. 9 4 5.把半径为 1 的四个小球叠成两层放在桌面上:下层三个,上层一个,两两相切,求上层小球 最高点离桌面的高度. 2 6 2 6 2 6 解:边长为 2 的正四面体的高 h= .故所求高度=1+ +1=2+ . 3 3 3 6.如图,设线段 AB 的中点为 M,从线段 AB 上的另一点 C 向直线 AB 的一侧引线段 CD,令线 段 CD 的中点为 N,BD 的中点为 P,MN 的中点为 Q,求证:直线 PQ 平分线段 AC. 证明:连 NP,取 AC 中点 O,则由于 N、P 分别为 CD、BD 中点,故 1 1 NP∥AB,NP= BC= (AB-AC)=AM=AO=OM. 2 2 ∴ NPMO 为平行四边形.即 PO 经过 MN 中点 Q.即直线 PQ 平分线 段 AC. 7.证明:当 n、k 都是给定的正整数,且 n>2,k>2 时,n(n-1)k 1 可 以写成 n 个连续偶数的和.
·2·


D N Q A O M P B

C

解: 设开始的一个偶数为 2m, 则此 n 个连续偶数的和为(2m+…+2m+2n-2)×n÷2=n(2m+n-1). - k -1 令 n(n-1) = n(2m+n-1),则(n-1)k 1-(n-1)=2m. 1 - - 无论 n 为偶数还是奇数,(n-1)k 1-(n-1)均为偶数,故 m= [(n-1)k 1-(n-1)]为整数. 2 ∴ 从(n-1)k 1-(n-1)开始的连续 n 个偶数的和等于 n(n-1)k 1.由于 n、k 给定,故(n-1)k -(n-1)确定.故证.
- - -1

8.证明:顶点在单位圆上的锐角三角形的三个角的余弦的和小于该三角形的周长之半. 解:设此三角形三个角为 A、B、C,则其三边长分别为 2sinA,2sinB,2sinC. 本题即证明 cosA+cosB+cosC<sinA+sinB+sinC. 由于 A+B>90?,故 90?>A>90?-B>0,?sinA>sin(90?-B)=cosB,同理,sinB>cosC,sinC>cosA, 三式相加,即得证. 9.已知直线 l1:y=4x 和点 P(6,4),在直线 l1 上求一点 Q,使过 PQ 的直线与直线 l1 以及 x 轴 在第Ⅰ象限内围成三角形面积最小. 4a-4 a-6 5a 解:设 Q(a,4a),(a>1)则直线 PQ 方程为 y-4= (x-6),令 y=0,得 x=6- = . a-6 a-1 a-1 1 5a 10a2 1 1 ∴ S= · · 4a= =10(a+1+ )=10(a-1+ +2)≥10(2+2)=40. 当且仅当 a=2 时 S 取得最 2 a-1 a-1 a-1 a-1 小值. 即所求点为 Q(2,8).
?x+y+z=0, 10.求方程组? 3 3 3 的整数解. ? x +y +z =-18

解:x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)=0,故 xyz=-6. 故 x=-3,y=1,z=2,等共 6 组解. 二试题 1.四边形两组对边延长后分别相交,且交点的连线与四边形的一条对角线平行,证明:另一条 对角线的延长线平分对边交点连成的线段. 证明:如图所示,BD∥EF,作 BG∥ED 交 AC 于 G,则 A AG AB AD = = ,从而 GD∥BC,即 BCDG 为平行四边形.P 为 BD AC AE AF
G B P C E Q F D

中点,从而 Q 为 EF 中点. 2.⑴ 分解因式:x12+x9+x6+x3+1. ⑵ 证明:对于任意角度 θ,都有 5+8cosθ+4cos2θ+cos3θ≥0. 2π 2π 解:⑴令 ε=cos +isin . 15 15
14

∴ (x3-1)( x12+x9+x6+x3+1)=x15-1=∏(x-εk).而 x3-1=(x-1)(x-ε5)(x-ε10).
k=0

·3·

14

故 x +x +x +x +1=

12

9

6

3



(x-εk).

k=0(k?5,10)

⑵ 令 x=cosθ,则 5+8cosθ+4cos2θ+cos3θ=5+8x+4(2x2-1)+4x3-3x=4x3+8x2+5x+1=(x+1)(2x+1)2 ≥0 在 x≥-1 时成立. 3.设 R 为平面上以 A(4,1)、B(-1,-6)、C(-3,2)三点为顶点的三角形区域(包括三角形的 边界).试求当(x,y)在 R 上变动时,函数 4x-3y 的极大值和极小值.(须证 y 明你的论断) 1 解:令 4x-3y=t,则此直线在 x 轴上的截距即为 t. 4 分别以 A、B、C 的值代入,得相应的 t=13,14,-18.即 4x-3y 的极 大值为 14,极小值为-18. 4.设 ABCD 为任意给定的四边形,边 AB、BC、CD、CA 的中点分别为 1 1 E、F、G、H,证明:四边形 ABCD 的面积≤EG?HF≤ (AB+CD)? (AD+BC). 2 2
H A P E B G D

C(-3,2) A(4,1)

O

x

B(-1,-6)

证明:连 EF、FG、GH、HE,取 BD 中点 P,连 EP、PG. 1 易证 S 四边形 EFGH= S 四边形 ABCD. 2

O
C

1 1 而 S 四边形 EFGH= EG?HFsin∠EOF≤ EG?HF. 2 2 1 1 1 但 EP= AD,PG= BC.EP+PG≥EG,故 (AD+BC)≥EG, 2 2 2

F

1 1 1 同理, (AB+CD)≥HF.故 EG?HF≤ (AB+CD)? (AD+BC), 2 2 2 1 1 从而,四边形 ABCD 的面积≤EG?HF≤ (AB+CD)? (AD+BC). 2 2 5.设有十人各拿提桶一只到水龙头前打水,设水龙头注满第 i(i=1,2,…,10)个人的提桶需时 Ti 分钟,假定这些 Ti 各不相同,问: (Ⅰ) 当只有一个水龙头可用时,应如何安排这十个人的次序,使你们的总的花费时间(包括各人 自己接水所花时间)为最少?这时间等于多少?(须证明你的论断) (Ⅱ) 当有两个水龙头可用时,应如何安排这十个人的次序,使你们的总的花费时间为最少?这 时间等于多少?(须证明你的论断) 解:当只有 1 个水龙头可用时,所需时间为 10T1+9T2+8T3+…+T10, 若当 1≤i<j≤10 时,Ti>Tj,则其余人不动,交换第 i 个人与第 j 个人的次序,则所需时间改变量 10T1+…+(11-i)Ti+…+(11-j)Tj+…+T10-(10T1+…+(11-i)Tj+…+(11-j)Ti+…) =(11-i)(Ti-Tj)+(11-j)(Tj-Ti)=(Tj-Ti)(i-j)>0.即这样交换后,所需时间变少. ∴ 应使注满桶所需的时间少的人先注水. 不妨设 T1<T2<…<T10, 则所需时间为 10T1+9T2+8T3+… +T10. ⑵ 设 T1<T2<…<T10,则安排 T1、T3、T5、T7、T9 在一个龙头,T2、T4、T6、T8、T10 在另一个龙 头.且注水时间短的先注水.这样,共需时间 5(T1+T2)+4(T3+T4)+3(T5+T6)+2(T7+T8)+(T9+T10).
·4·

6.设有一个边长为 1 的正方形,试在这个正方形的内接正三角形中找出一个面积最大的和一个 面积最小的,并求出这两个面积.(须证明你的论断) D 解:如图,设△EFG 是正方形 ABCD 的一个内接正三角形.且 E、F 分别在一 M E 组对边 AD、BC 上,取 EF 中点 M,连 MG.则∠GME=∠GAE=90° ,于是 A、G、 M、E 四点共圆.∴ ∠MAG=∠MEG=60° ,同理,∠MBG=60° ,即△MAB 为正三 角形.于是 M 为定点,故 1=AB≤EF≤ABsec15° 6- 2. = ∴ 3 ≤S△EFG≤2 3-3. 4
A G

C F

B

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