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黑龙江省大庆市2015届高三一模数学文试题


黑龙江省大庆市 2015 届高考数学一模试卷(文科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. ) 1.若集合 A={x|0≤x≤2},B={x|x >1},则 A∩B=( ) A.{x|x>0 或 x<﹣1}B.{x|1<x≤2} C.{x|0≤x≤1} 2.已知复数 z=i﹣ , (其中 i 是虚数

单位) ,则 =( A.0 B. i C.﹣2i ) D.2i
2

D.{x|0≤x≤2}

3.已知命题 p:?x∈R,cosx≤1,则( A.¬p:?x∈R,cosx≥1 C.¬p:?x∈R,cosx≤1

) B.¬p:?x∈R,cosx<1 D.¬p:?x∈R,cosx>1 )

4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A.6

B.2

C .3

D.3 个单位长度,再把所得的各点的横坐标 ) ) D.y=sin( ﹣ )

5.将函数 y=sinx 的图象上所有点向右平行移动

伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图象的函数解析式是( A.y=sin(2x﹣ ) B.y=sin(2x﹣ ) C.y=sin( ﹣

6.已知两个非零向量 与 ,定义| × |=| || |sinθ,其中 θ 为 与 的夹角.若 =(﹣3,4) , =(0,2) ,则| × |的值为( A.﹣8 B.﹣6 ) C .6 D.8

7.已知抛物线 x =4 ( A. )

2

y 的准线经过双曲线

﹣x =1 的一个焦点,则双曲线的离心率为

2

B.

C.

D.3

8.若{an}为等差数列,Sn 是其前 n 项和,且 A. B. C.

,则 tana6 的值为( D.

)

9.若 x,y 满足约束条件 A.20 B.22

,则 z=4x+3y 的最小值为( C.24

) D.28 )

10.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为 63,则判断框中应填(

A.n≤7

B.n>7
2 2

C.n≤6

D.n>6 ,则 k 的取

11.直线 y=kx+3 与圆(x﹣3) +(y﹣2) =4 相交于 M,N 两点,若|MN|≥2 值范围是( ) A.[﹣ ,0]
x

B.

C.[﹣

] D.[﹣ ,0]

12.不等式 e ﹣x>ax 的解集为 P,且[0,2]?P,则实数 a 的取值范围是( ) A. (﹣∞,e﹣1) B. (e﹣1,+∞) C. (﹣∞,e+1) D. (e+1,+∞)

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.甲、乙两名同学各自等可能地从数学、物理、化学、生物四个兴趣小组中选择一个小组 参加活动,则他们选择相同小组的概率为__________. 14.设函数 f(x)=sin( x+ ) (x∈R) ,若存在这样的实数 x1,x2,对任意的 x∈R,都

有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1﹣x2|的最小值为__________. 15.奇函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,f(1)=2,则 f(3)=__________. 16.定义:如果函数 y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在 x0(a<x0<b) ,满足 ,则称函数 y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”,x0 是它的一 个均值点. 如 y=x 是[﹣1, 1]上的平均值函数, 0 就是它的均值点. 现有函数 ( f x) =﹣x +mx+1 是区间[﹣1,1]上的平均值函数,则实数 m 的取值范围是__________.
4 2

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边.已知 a=2 (Ⅰ)若 b=2 ,求角 C 的大小; (Ⅱ)若 c=2,求边 b 的长. 18.已知各项均为证书的数列{an}前 n 项和为 sn,首项为 a1,且 an 是 和 sn 的等差中项. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 a =
n

,A=



,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

19.如图,直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD= E 为 CD 上一点,DE=1,EC=3 (1)证明:BE⊥平面 BB1C1C; (2)求点 B1 到平面 EA1C1 的距离.

,AA1=3,

20.已知某单位由 50 名职工,将全体职工随机按 1﹣50 编号,并且按编号顺序平均分成 10 组,先要从中抽取 10 名职工,各组内抽取的编号依次增加 5 进行系统抽样. (Ⅰ)若第五组抽出的号码为 22,写出所有被抽出职工的号码; (Ⅱ)分别统计这 10 名职工的体重(单位:公斤) ,获得体重数据的茎叶图如图所示,求该 样本的平均数; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,从体重不轻于 73 公斤(≥73 公斤)的职工中随机抽取两名职工, 求被抽到的两名职工的体重之和等于 154 公斤的概率.

21.在平面直角坐标系 x0y 中,已知点 A(﹣ EA 与直线 EB 的斜率之积为﹣ .

, 0) ,B(

) ,E 为动点,且直线

(Ⅰ)求动点 E 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设过点 F(1,0)的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M,N.若点 P 在 y 轴上,且 |PM|=|PN|,求点 P 的纵坐标的取值范围. 22.已知函数 f(x)= x +2x +ax+b,g(x)=e (cx+d) ,且函数 f(x)的导函数为 f′(x) , 若曲线 f(x)和 g(x)都过点 A(0,2) ,且在点 A 处有相同的切线 y=4x+2. (Ⅰ)求 a,b,c,d 的值; (Ⅱ)若 x≥﹣2 时,mg(x)≥f′(x)+2 恒成立,求实数 m 的取值范围.
3 2 x

黑龙江省大庆市 2015 届高考数学一模试卷(文科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. ) 1.若集合 A={x|0≤x≤2},B={x|x >1},则 A∩B=( ) A.{x|x>0 或 x<﹣1} B.{x|1<x≤2} C.{x|0≤x≤1}
2

D.{x|0≤x≤2}

考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:求解一元二次不等式化简集合 B,然后直接利用交集运算求解. 2 解答: 解:∵A={x|0≤x≤2},B={x|x >1}={x|x<﹣1 或 x>1}, ∴A∩B={x|1<x≤2}. 故选:B.

点评:本题考查了交集及其运算,考查了二次不等式的解法,是基础题.

2.已知复数 z=i﹣ , (其中 i 是虚数单位) ,则 =( A.0 B. i C.﹣2i

) D.2i

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的运算法则即可得出. 解答: 解:∵复数 z=i﹣ =i+i=2i,则 =﹣2i. 故选:C. 点评:本题考查了复数的运算法则,属于基础题. 3.已知命题 p:?x∈R,cosx≤1,则( ) A.¬p:?x∈R,cosx≥1 B.¬p:?x∈R,cosx<1 C.¬p:?x∈R,cosx≤1 D.¬p:?x∈R,cosx>1 考点:命题的否定. 专题:阅读型. 分析: 本题中所给的命题是一个全称命题, 故其否定是一个特称命题, 将量词改为存在量词, 否定结论即可 解答: 解:命题 p:?x∈R,cosx≤1,是一个全称命题 ∴¬p:?x∈R,cosx>1, 故选 D. 点评:本题考查了“含有量词的命题的否定”,属于基础题.解决的关键是看准量词的形式, 根据公式合理更改,同时注意符号的书写. 4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.6

B.2

C .3

D.3

考点:由三视图求面积、体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:根据三视图得出几何体是一个三棱柱,求出它的底面积与高,即得体积.

解答: 解:根据该几何体的三视图知,该几何体是一个平放的三棱柱; 它的底面三角形的面积为 S 底面= ×2× 棱柱高为 h=3; ∴棱柱的体积为 V 棱柱=S 底面 h= ×3=3 ; 故选:D. 点评: 本题考查了根据三视图求几何体的体积的问题, 解题的关键是由三视图得出几何体是 什么几何体,从而作答. = ,

5.将函数 y=sinx 的图象上所有点向右平行移动

个单位长度,再把所得的各点的横坐标 ) ) D. y=sin

伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图象的函数解析式是( A.y=sin(2x﹣ ( ﹣ ) ) B.y=sin(2x﹣ )

C.y=sin( ﹣

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 解答: 解:将函数 y=sinx 的图象上所有点向右平行移动 (x﹣ )的图象; 个单位长度,可得函数 y=sin

再把所得的各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图象的函数解析式 y=sin ( x﹣ ) ,

故选:D. 点评:本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.

6.已知两个非零向量 与 ,定义| × |=| || |sinθ,其中 θ 为 与 的夹角.若 =(﹣3,4) , =(0,2) ,则| × |的值为( A.﹣8 B.﹣6 ) C .6 D.8

考点:平面向量的坐标运算. 专题:新定义;平面向量及应用. 分析:根据给出的两向量 、 的坐标,求出对应的模,运用向量数量积公式求两向量夹角 的余弦值,则正弦值可求,最后直接代入定义即可. 解答: 解: 由 = (﹣3, 4) ,= (0, 2) , 所以 , ,

cosθ= sinθ= 所以

=

,因为 θ∈[0,π],所以 = , = .

故选 C. 点评:本题考查了平面向量的坐标运算,解答的关键是熟记两向量的数量积公式,是新定义 中的基础题.

7.已知抛物线 x =4 ( A. )

2

y 的准线经过双曲线

﹣x =1 的一个焦点,则双曲线的离心率为

2

B.

C.

D.3

考点:双曲线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:先求出抛物线的准线方程,就可得到双曲线的焦点坐标,求出 c 值,再根据双曲线的 标准方程,求出 a 值,由 e= ,得到双曲线的离心率. 解答: 解:∵抛物线 x =4 ∵抛物线 x =4
2 2

y 的准线方程为 y=﹣ ﹣x =1 的一个焦点, ) ,∴双曲线中 c= ,
2

y 的准线过双曲线

∴双曲线的一个焦点坐标为(0.﹣ ∵双曲线
2 2

﹣x =1,
2

2

∴a =m ,a=m,m +1=3,解得 m= ∴双曲线的离心率 e= = = .



故选:B. 点评:本题主要考查双曲线的离心率的求法,关键是求 a,和 c 的值. 8.若{an}为等差数列,Sn 是其前 n 项和,且 A. B. C. ,则 tana6 的值为( D. )

考点:等差数列的性质. 专题:计算题.

分析:根据所给的前 11 项的和,根据前 11 项的和等于 11 倍的第六项,写出第六项的结果 是 ,求出第六项的正切值是﹣ ,得到结果.

解答: 解:∵ ∴ ∴ ,

故选 B. 点评:本题考查等差数列的性质,考查特殊角的正切值,是一个综合题目,这种题目是综合 数列和三角的题目,是一种常见的组合,要引起注意.

9.若 x,y 满足约束条件 A.20 B.22

,则 z=4x+3y 的最小值为( C.24 D.28

)

考点:简单线性规划. 专题:数形结合. 分析:①画可行域②目标函数 z 为该直线纵截距三倍,增减性一致纵截距最大时 z 也最大 反之亦然③平移目标函数 解答: 解:如图可行域为阴影部分, 令 z=0 得直线 l:4x+3y=0, 平移 l 过点 A(4,2)点时 z 有最小值 22, 故答案为 B.

点评:本题考查线性规划问题:可行域画法 目标函数几何意义 10.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为 63,则判断框中应填( )

A.n≤7

B.n>7

C.n≤6

D.n>6

考点:循环结构. 专题:阅读型. 分析:框图中首先给累加变量 S、替换变量 a、和循环变量 n 赋值,由 S=S+a 和 a=a+2 看出, 该算法是求以 3 为首项,以 2 为公差的等差数列前 n 项和问题,写出求和公式,根据输出的 和 S 的值判断的情况. 解答: 解:当 n=1 时,S=0+3=3,a=3+2=5;当 n=2 时,S=3+5=8,a=5+2=7;当 n=3 时, S=8+7=15, a=7+2=9; 当 n=4 时, S=15+9=24, a=9+2=11; 当 n=5 时, S=24+11=35, a=11+2=13; 当 n=6 时,S=35+13=48,a=13+2=15,当 n=7 时,S=48+15=63.此时有 n=7>6,算法结束, 所以判断框中的条件应填 n>6,这样才能保证进行 7 次求和. 故选 D. 点评:本题考查了程序框图中的直到型循环,循环结构主要用在一些规律的重复计算,如累 加、累积等,在循环结构框图中,特别要注意条件应用,如计数变量和累加变量等. 11.直线 y=kx+3 与圆(x﹣3) +(y﹣2) =4 相交于 M,N 两点,若|MN|≥2 值范围是( ) A.[﹣ ,0] B. C.[﹣
2 2

,则 k 的取 ] D.[﹣ ,0]

考点:直线与圆的位置关系;点到直线的距离公式;直线和圆的方程的应用. 专题:压轴题. 分析:先求圆心坐标和半径,求出最大弦心距,利用圆心到直线的距离不大于最大弦心距, 求出 k 的范围. 解答: 解:解法 1:圆心的坐标为(3,2) ,且圆与 x 轴相切. 当 ,弦心距最大,

由点到直线距离公式得

解得 k∈ 故选 A.



解法 2:数形结合,如图由垂径定理得夹在两直线之间即可,不取+∞,排除 B,考虑区间 不对称,排除 C,利用斜率估值, 故选 A.

点评:考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式,重点考查数形结合的运用.解法 2 是一种间接解法,选择题中常用. 12.不等式 e ﹣x>ax 的解集为 P,且[0,2]?P,则实数 a 的取值范围是( ) A. (﹣∞,e﹣1) B. (e﹣1,+∞) C. (﹣∞,e+1) D. (e+1,+∞) 考点:一元二次不等式的解法;集合的包含关系判断及应用. 专题:不等式的解法及应用. 分析:由不等式 e ﹣x>ax 的解集为 P,且[0,2]?P? 数求出即可. 解答: 解:①当 x=0 时,不等式 e ﹣0>0 对任意实数 x 恒成立; ②当 x>0 时,不等式 e ﹣x>ax 可变形为 由不等式 e ﹣x>ax 的解集为 P,且[0,2]?P? 设
′ x x 0 x x

,x∈[0,2],利用导

, ,x∈[0,2].

,x∈(0,2].


g (x)=


=

,令 g (x)=0,解得 x=1.


当 0<x<1 时,g (x)<0,函数 g(x)单调递减;当 1<x≤2 时,g (x)>0,函数 g(x) 单调递增. 由此可知:当 x=1 时,函数 f(x)取得极小值,也即最小值,且 f(1)=e. ∴1+a<e,∴a<e﹣1. 故选 A. 点评:把问题正确等价转化并熟练掌握利用导数研究函数的极值是解题的关键.

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.甲、乙两名同学各自等可能地从数学、物理、化学、生物四个兴趣小组中选择一个小组 参加活动,则他们选择相同小组的概率为 .

考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:计算题;概率与统计. 分析:本题是一个古典概型,试验发生包含的事件数是 4×4 种结果,满足条件的事件是这两 位同学参加同一个小组有 4 种结果,根据古典概型概率公式得到结果. 解答: 解:由题意知本题是一个古典概型, 试验发生包含的事件数是 4×4=16 种结果, 满足条件的事件是这两位同学参加同一个小组, 由于共有四个小组,则有 4 种结果, 根据古典概型概率公式得到 P= 故答案为: . 点评: 本题考查的知识点是古典概型概率计算公式, 其中熟练掌握利用古典概型概率计算公 式求概率的步骤,是解答的关键. ) (x∈R) ,若存在这样的实数 x1,x2,对任意的 x∈R,都 = .

14.设函数 f(x)=sin(

x+

有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1﹣x2|的最小值为 2. 考点:正弦函数的定义域和值域. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由已知可知 f(x1)是 f(x)中最小值,f(x2)是值域中的最大值,它们分别是函数 图象的最高点和最低点的纵坐标, 它们的横坐标最少相差正弦函数的半个周期, 由三角函数 式知周期的值,结果是周期的值的一半. 解答: 解:∵对任意 x∈R 都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2) , ∴f(x1)和 f(x2)分别是函数的最大值和最小值, ∴|x1﹣x2|的最小值为函数的半个周期, ∵T= ,

∴|x1﹣x2|的最小值为 2, 故答案为:2. 点评:本题是对正弦函数性质的考查,明确三角函数的图象特征,以及 f(x1)≤f(x)≤f(x2) 的实质意义的理解是解决好这类问题的关键. 15.奇函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,f(1)=2,则 f(3)=﹣2. 考点:函数奇偶性的性质. 专题:函数的性质及应用.

分析:利用函数的奇偶性、周期性即可得出. 解答: 解:∵奇函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,f(1)=2, ∴f(3)=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2. 故答案为:﹣2. 点评:本题考查了函数的奇偶性、周期性,属于基础题. 16.定义:如果函数 y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在 x0(a<x0<b) ,满足 ,则称函数 y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”,x0 是它的一 个均值点. 如 y=x 是[﹣1, 1]上的平均值函数, 0 就是它的均值点. 现有函数 ( f x) =﹣x +mx+1 是区间[﹣1,1]上的平均值函数,则实数 m 的取值范围是 0<m<2. 考点:抽象函数及其应用. 专题:压轴题;新定义. 2 分析:函数 f(x)=﹣x +mx+1 是区间[﹣1,1]上的平均值函数,故有﹣ x +mx+1=
2 4 2

在(﹣1,1)内有实数根,求出方程的根,让其在(﹣1,1)

内,即可求出实数 m 的取值范围. 2 解答: 解: )∵函数 f(x)=﹣x +mx+1 是区间[﹣1,1]上的平均值函数, ∴关于 x 的方程﹣x +mx+1= 由﹣x +mx+1=
2 2 2

在(﹣1,1)内有实数根. ?x ﹣mx+m﹣1=0,解得 x=m﹣1,x=1.

又 1?(﹣1,1) ∴x=m﹣1 必为均值点,即﹣1<m﹣1<1?0<m<2. ∴所求实数 m 的取值范围是 0<m<2. 故答案为:0<m<2. 点评:本题主要是在新定义下考查二次方程根的问题.在做关于新定义的题目时,一定要先 认真的研究定义理解定义,再按定义做题. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边.已知 a=2 (Ⅰ)若 b=2 ,求角 C 的大小; (Ⅱ)若 c=2,求边 b 的长. 考点:正弦定理;余弦定理. 专题:解三角形. 分析: (Ⅰ)根据正弦定理和已知条件求得 sinB 的值,进而求得 B,最后利用三角形内角和 求得 C. (Ⅱ)用余弦定理列出关于 b 的表达式,整理求得 b. 解答: 解: (Ⅰ)由正弦定理 = , ,A= .

∴sinB= ∴B= 或

sinA= ,

×

=



∵b<a, ∴ ∴ , .

(Ⅱ)依题意,
2

,即



∴b ﹣2b﹣8=0, 又 b>0, ∴b=4. 点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用. 灵活运用正弦和余弦定理解三角形 问题.

18.已知各项均为证书的数列{an}前 n 项和为 sn,首项为 a1,且 an 是 和 sn 的等差中项. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 a =
n

,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

考点:数列的求和;等差数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由已知得 ,利用公式即可求得通项公式;

(Ⅱ)bn=4﹣2n,利用等差数列求和公式即可得出结论. 解答: 解: (Ⅰ)由题意知 当 n=1 时, 当 n≥2 时, ; , ,… …

两式相减得 an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1,整理得: ∴数列{an}是以 为首项,2 为公比的等比数列. ,… (Ⅱ)由 得 bn=4﹣2n,…

,…

所以,



所以数列{bn}是以 2 为首项,﹣2 为公差的等差数列, ∴ .…

点评:本题主要考查等差数列、等比数列的定义及性质,考查等差数列求和公式及运用公式 法求数列的通项公式,属于基础题. 19.如图,直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD= E 为 CD 上一点,DE=1,EC=3 (1)证明:BE⊥平面 BB1C1C; (2)求点 B1 到平面 EA1C1 的距离. ,AA1=3,

考点:点、线、面间的距离计算;直线与平面垂直的判定. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析: (1)过点 B 作 BF⊥CD 于 F 点,算出 BF、EF、FC 的长,从而在△ BCE 中算出 BE、 BC、CE 的长,由勾股定理的逆定理得 BE⊥BC,结合 BE⊥BB1 利用线面垂直的判定定理, 可证出 BE⊥平面 BB1C1C; (2)根据 AA1⊥平面 A1B1C1,算出三棱锥 E﹣A1B1C1 的体积 V= .根据线面垂直的性 质和勾股定理,算出 A1C1=EC1=3 、A1E=2 ,从而得到等腰△ A1EC1 的面积 =3 V= × ,设 B1 到平面 EA1C1 的距离为 d,可得三棱锥 B1﹣A1C1E 的体积 ×d= d,从而得到 = d,由此即可解出点 B1 到平面 EA1C1 的距离.

解答: 解: (1)过点 B 作 BF⊥CD 于 F 点,则: BF=AD= ,EF= AB=DE=1,FC=EC﹣EF=3﹣1=2 = =
2 2 2

在 Rt△ BEF 中,BE= 在 Rt△ BCF 中,BC=



因此,△ BCE 中可得 BE +BC =9=CE ∴∠CBE=90°,可得 BE⊥BC, ∵BB1⊥平面 ABCD,BE?平面 ABCD, ∴BE⊥BB1, 又∵BC、BB1 是平面 BB1C1C 内的相交直线, ∴BE⊥平面 BB1C1C;

(2)∵AA1⊥平面 A1B1C1,得 AA1 是三棱锥 E﹣A1B1C1 的高线 ∴三棱锥 E﹣A1B1C1 的体积 V= ×AA1× 在 Rt△ A1D1C1 中,A1C1= 同理可得 EC1= =3 ,A1E= =3 =2 = , =

∴等腰△ A1EC1 的底边 A1C1 上的中线等于 可得 = ×2 × =3

设点 B1 到平面 EA1C1 的距离为 d, 则三棱锥 B1﹣A1C1E 的体积为 V= × 可得 = d,解之得 d= .

×d=

d,

即点 B1 到平面 EA1C1 的距离为

点评:本题在直四棱柱中求证线面垂直,并求点到平面的距离.着重考查了线面垂直的判定 与性质、 勾股定理与其逆定理和利用等积转换的方法求点到平面的距离等知识, 属于中档题. 20.已知某单位由 50 名职工,将全体职工随机按 1﹣50 编号,并且按编号顺序平均分成 10 组,先要从中抽取 10 名职工,各组内抽取的编号依次增加 5 进行系统抽样. (Ⅰ)若第五组抽出的号码为 22,写出所有被抽出职工的号码; (Ⅱ)分别统计这 10 名职工的体重(单位:公斤) ,获得体重数据的茎叶图如图所示,求该 样本的平均数; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,从体重不轻于 73 公斤(≥73 公斤)的职工中随机抽取两名职工, 求被抽到的两名职工的体重之和等于 154 公斤的概率.

考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;茎叶图. 专题:概率与统计.

分析: (Ⅰ) 根据各组内抽取的编号依次增加 5 进行系统抽样, 可得抽出的 10 名职工的号码, (Ⅱ)计算 10 名职工的平均体重, (Ⅲ) 写出从 10 名职工中随机抽取两名体重不轻于 73 公斤的职工的取法, 从而可求被抽到 的两名职工的体重之和等于 154 公斤的概率. . 解答: 解: ( I)由题意,第 5 组抽出的号码为 22. 因为 2+5×(5﹣1)=22,所以第 1 组抽出的号码应该为 2,抽出的 10 名职工的号码依次分 别为:2,7,12,17,22,27,32,37,42,47. ( II)这 10 名职工的平均体重为: = ×(81+70+73+76+78+79+62+65+67+59)=71,

( III)从这 10 名职工中随机抽取两名体重不轻于 73 公斤的职工,共有 10 种不同的取法: (73,76) , (73,78) , (73,79) , (73,81) , (76,78) , (76,79) , (76,81) , (78,79) , (78,81) , (79,81) , 其中体重之和大于等于 154 公斤的有 7 种.故所求概率 P= .

点评:本题考查系统抽样,考查样本方差,考查列举法求基本事件,属于基础题. 21.在平面直角坐标系 x0y 中,已知点 A(﹣ EA 与直线 EB 的斜率之积为﹣ . (Ⅰ)求动点 E 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设过点 F(1,0)的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M,N.若点 P 在 y 轴上,且 |PM|=|PN|,求点 P 的纵坐标的取值范围. 考点:圆锥曲线的轨迹问题;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:综合题;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)设动点 E 的坐标为(x,y) ,由点 A(﹣ 直线 EA 与直线 EB 的斜率之积为﹣ ,知 C 的方程. (Ⅱ) 设直线 l 的方程为 y=k (x﹣1) , 将 y=k (x﹣1) 代入 ﹣2=0,由题设条件能推导出直线 MN 的垂直平分线的方程为 y+ , 得 (2k +1) x ﹣4k x+2k =﹣
2 2 2 2

, 0) ,B(

) ,E 为动点,且直线

,0) ,B(

) ,E 为动点,且

,由此能求出动点 E 的轨迹

,由此能求出点 P 纵坐标的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)设动点 E 的坐标为(x,y) , ∵点 A(﹣ ∴ 整理,得 ,0) ,B( , ,x≠ , ) ,E 为动点,且直线 EA 与直线 EB 的斜率之积为﹣ ,

∴动点 E 的轨迹 C 的方程为

,x



(Ⅱ)当直线 l 的斜率不存在时,满足条件的点 P 的纵坐标为 0, 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣1) , 将 y=k(x﹣1)代入
2 2 2 2

,并整理,得

(2k +1)x ﹣4k x+2k ﹣2=0, 2 △ =8k +8>0, 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则 ,x1x2= ,

设 MN 的中点为 Q,则





∴Q(

,﹣

) ,

由题意知 k≠0, 又直线 MN 的垂直平分线的方程为 y+ =﹣ ,

令 x=0,得 yP=



当 k>0 时,∵2k+ 当 k<0 时,因为 2k+ ≤﹣2

,∴0< ,所以 0>yP≥﹣

; =﹣ ]. .

综上所述,点 P 纵坐标的取值范围是[﹣

点评:本题考查动点的轨迹方程的求法,考查点的纵坐标的取值范围的求法,解题时要认真 审题,仔细解答,注意直线与椭圆位置的综合运用.
3 2 x

22.已知函数 f(x)= x +2x +ax+b,g(x)=e (cx+d) ,且函数 f(x)的导函数为 f′(x) , 若曲线 f(x)和 g(x)都过点 A(0,2) ,且在点 A 处有相同的切线 y=4x+2. (Ⅰ)求 a,b,c,d 的值; (Ⅱ)若 x≥﹣2 时,mg(x)≥f′(x)+2 恒成立,求实数 m 的取值范围. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题:综合题;导数的概念及应用. 分析: (I)对 f(x) ,g(x)进行求导,已知在交点处有相同的切线及曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2) ,从而解出 a,b,c,d 的值;

(II)令 φ(x)=2me (x+1)﹣x ﹣4x﹣2,求出导函数,令 φ'(x)=0 得 x1=﹣lnm,x2= ﹣2,通过对 m 的讨论,确定函数的单调性,可得最值,即可求出 m 的范围. 解答: 解: (I)由已知得 f(0)=2,g(0)=2,f'(0)=4,g'(0)=4, 2 x 而 f'(x)=x +4x+a,g'(x)=e (cx+d+c) 故 b=2,d=2,a=4,c=2… x 2 (Ⅱ)令 φ(x)=2me (x+1)﹣x ﹣4x﹣2, x x 则 φ'(x)=2me (x+2)﹣2x﹣4=2(x+2) (me ﹣1) 因 φ(0)≥0,则 m≥1 令 φ'(x)=0 得 x1=﹣lnm,x2=﹣2… 2 (1)若 1≤m<e ,则﹣2<x1≤0,从而 x∈(﹣2,x1)时 φ'(x)<0;当 x∈(x1,+∞)时 φ' (x)>0,即 φ(x)在 (﹣2,x1)单调递减,在(x1,+∞)单调递增,故 φ(x)在[﹣2, +∞)的最小值 φ(x1) ,

x

2

故当 x≥﹣2 时 φ(x)≥0,即 mg(x)≥f'(x)+2 恒成立.
2 2 x
﹣2



(2)若 m=e ,则 φ'(x)=2e (x+2) (e ﹣e ) ,从而当 x≥﹣2 时 φ'(x)≥0,即 φ(x) 在[﹣2,+∞)单调递增,而 φ(﹣2)=0,故当 x≥﹣2 时 φ(x)≥0,即 mg(x)≥f'(x)+2 恒成立. (3)若 m>e ,则 φ(﹣2)=﹣2me +2=﹣2e (m﹣e )<0,从而当 x≥﹣2 时,mg(x) ≥f'(x)+2 不可能恒成立. … 综上:m 的取值范围是[1,e ]… 点评:此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程,函数恒成立问题,考查分类讨论思 想,解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质,此题是一道中档题.
2 2
﹣2 ﹣2

2


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