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数列求通项公式与前n项和的方法


数列求通项公式与前 n 项和的方法 数列求通项公式的方法
一、作差求和法 m w.w.w.k.s.5.u.c.o 例 1、在数列{ an }中, a1 ? 3 , a n ?1 ? a n ?

1 ,求通项公式 an . n(n ? 1)

二、作商求和法 例 2、设数列{ an }是首项为 1 的正项数列,且 (n ? 1)a

n?1 ? nan ? an?1an ? 0 (n=1,2,3?) ,则它的通项公式 是 an =▁▁▁。
2 2

三、换元法 例 3、已知数列{ an },其中 a1 ?

4 13 1 , a 2 ? ,且当 n≥3 时, a n ? a n ?1 ? (a n ?1 ? a n ? 2 ) ,求通项公式 an 。 3 9 3

例 4、已知数列{ an },其中 a1 ? 1, a2 ? 2 ,且当 n≥3 时, an ? 2an?1 ? an?2 ? 1 ,求通项公式 an 。

四、积差相消法 例 5、设正数列 a0 ,a1 ,an ?,an ,?满足 a n a n ? 2 ? a n ?1 a n ?2 = 2a n ?1 的通项公式.

(n ? 2) 且 a0 ? a1 ? 1,求 {an }

五、取倒数法 例 6、已知数列{ an }中,其中 a1 ? 1, ,且当 n≥2 时, a n ?

a n ?1 ,求通项公式 an 。 2a n ?1 ? 1

六、取对数法 例 7、若数列{ an }中, a1 =3 且 an?1 ? an (n 是正整数) ,则它的通项公式是 an =▁▁▁。
2

七、平方(开方)法 例 8、若数列{ an }中, a1 =2 且 a n ?
2 3 ? an ,求它的通项公式是 an . ?1 (n ? 2 )

八、待定系数法 待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列,可以少走弯路.其变换的基本形 式如下: 1、 an?1 ? Aan ? B (A、B 为常数)型,可化为 an?1 ? ? =A( an ? ? )的形式. 例 9、若数列{ an }中, a1 =1, S n 是数列{ an }的前 n 项之和,且 S n?1 ? 式是 an .

Sn (n ? 1 ) ,求数列{ an }的通项公 3 ? 4S n

n?1 n 2、 an?1 ? Aan ? B ? C (A、B、C 为常数,下同)型,可化为 an?1 ? ? ? C = A(an ? ? ? C )的形式.
n

例 10、在数列{ an }中, a1 ? ?1, an?1 ? 2an ? 4 ? 3

n?1

, 求通项公式 an 。

3、 an?2 ? A ? an?1 ? B ? an 型,可化为 an?2 ? ?an?1 ? ( A ? ? ) ? (an?1 ? ?an ) 的形式。 例 11、在数列{ an }中, a1 ? ?1, a2 ? 2 ,当 n ? N , an?2 ? 5an?1 ? 6an ,求通项公式 an .

4、 an?1 ? Aan ? Bn ? C 型,可化为 an?1 ? ?1n ? ?2 ? A[an ? ?1 (n ? 1) ? ?2 ] 的形式。 例 12、在数列{ an }中, a1 ?

3 , 2an ? an?1 =6 n ? 3 ,求通项公式 an . 2

九、猜想法 运用猜想法解题的一般步骤是:首先利用所给的递推式求出 a1 , a2 , a3 , ??,然后猜想出满足递推式的一 个通项公式 an ,最后用数学归纳法证明猜想是正确的。 例 13、在各项均为正数的数列 {an } 中, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, Sn =

1 1 ( an + ) ,求其通项公式。 2 an

求递推数列通项的特征根法与不动点法 十、形如 an?2 ? pan?1 ? qan ( p, q 是常数)的数列 形如 a1 ? m1 , a2 ? m2 , an?2 ? pan?1 ? qan ( p, q 是常数)的二阶递推数列都可用特征根法求得通项 an ,其特 征方程为 x ? px ? q ?①
2

若①有二异根 ? , ? ,则可令 an ? c1? n ? c2 ? n (c1 , c2 是待定常数) 若①有二重根 ? ? ? ,则可令 an ? (c1 ? nc2 )? n (c1 , c2 是待定常数)

再利用 a1 ? m1 , a2 ? m2 , 可求得 c1 , c2 ,进而求得 an . 例 14、已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项 an .

例 15、已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, 4an?2 ? 4an?1 ? an (n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项 an .

十一、形如 an ? 2 ?

Aan ? B 的数列 Can ? D Aan ? B , a1 ? m, n ? N * ( A, B, C, D 是常数且 C ? 0, AD ? BC ? 0 ) Can ? D
Ax ? B ,变形为 Cx2 ? ( D ? A) x ? B ? 0 ?② Cx ? D

对于数列 an ? 2 ?

其特征方程为 x ?

若②有二异根 ? , ? ,则可令

an ?1 ? ? a ?? (其中 c 是待定常数) ,代入 a1 , a2 的值可求得 c 值. ? c? n an ?1 ? ? an ? ?

这样数列 ?

? an ? ? ? a1 ? ? ,公比为 c 的等比数列,于是这样可求得 an . ? 是首项为 a1 ? ? ? an ? ? ?
1 1 ,代入 a1 , a2 的值可求得 c 值. ? ? c (其中 c 是待定常数) an?1 ? ? an ? ?

若②有二重根 ? ? ? ,则可令

这样数列 ?

?

1 ? 1 ,公差为 c 的等差数列,于是这样可求得 an . ? 是首项为 an ? ? ? an ? ? ?
an?1 ? 2 (n ? 2) ,求数列 {an } 的通项 an . 2an?1 ? 1

此方法又称不动点法. 例 16、已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ?

例 17、已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ?1 ?

2an ? 1 (n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项 an . 4an ? 6

数列练习题——求数列的通项公式
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要 求的. 1.在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13, 则 a4 ? a5 ? a6 等于( A.40 B.42 C.43 D.45 ) )

2.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 an ? A.1 B.

1 ,则 S5 等于( n(n ? 1)
C.

5 6

1 6

D.

1 30
)

3.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? 35 ,则 a4 ? (

A .8 B.7 C.6 D. 5 4.已知等差数列共有 10 项,其中奇数项之和 15,偶数项之和为 30,则其公差是( A .5 B.4 C.3 D. 2 5.一个等比数列前 n 项的和为 48,前 2 n 项的和为 60,则前 3 n 项的和为( ) A.83 B.108 C.75 D.63 6.等比数列 {an } 的各项为正数,且 a5a6 ? a4 a7 ? 18, 则log3 a1 ? log3 a2 ? A.12 B.10 C.8 D.2+ log3 5
2

)

? log3 a10 ? (



7.已知 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y ? x ? 2x ? 3 的顶点是 (b,c) ,则 ad 等于( A .3 B.2 C.1 D. ?2
2 等于( ? an



2 2 8.已知等比数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n ? 1 ,则 a1 ? a2 ?



A. (2 ?1)
n

2

B. (2 ? 1)
n

1 3

C. 4 ? 1
n

D. (4 ? 1)
n

1 3

9.设 Sn 是等差数列 {an } 的前n项和,若

a5 5 S ? ,则 9 ? ( a3 9 S5
D.



A.1

B.-1

C.2

5 9

10.在等比数列 {an } 中,公比q是整数, a1 ? a4 ? 18, a2 ? a3 ? 12, 则此数列的前8项和为( A.514 11. (1 ? ) ? (2 ? ) ? B.513 C.512 D.510



二、填空题:本大题共 4 小题, 每小题 5 分,满分 20 分.

1 1 1 ? (n ? n ) = . 2 4 2 12.设 f (n) ? 2 ? 24 ? 27 ? 210 ? ? 23n?10 (n ? N ) ,则 f ( n) =

. ; 数列 ?nan ? 中数值

13.若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ?10n(n ? 1 , 2, 3, ) ,则此数列的通项公式为 最小的项是第 项.

14.在等差数列 {an } 中, a1 ? 0 , S9 ? S12 ,该数列前_______项的和最小. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 15. (本小题满分 12 分)设 {an } 是一个公差为 d (d ? 0) 的等差数列,它的前 10 项和 S10 ? 110 ,且 a1 , a2 , a4 成 等比数列. (Ⅰ)证明: a1 ? d ; (Ⅱ)求公差 d 的值和数列 {an } 的通项公式.

16. (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的前项和为 Sn ,且 a1 ? 1, an ?1 ?

1 Sn , n ? N * . 3

(Ⅰ)求 a2 , a3 , a4 的值及数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 求 a2 ? a4 ? a6 ? ... ? a2n 的和.

17. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ? 3

n?1

求 a2 , a3 ; (Ⅱ) 证明 a n ? ? an?1 (n ? 2)(Ⅰ)

3n ? 1 . 2

18.求下列数列的通项公式(本小题满分 14 分) (1) a1 ? 1,

an ? 3n (n ? 2) ; an?1

(2) a1 ? 1, an ? ?

an ?1 ? 1(n ? 2) ; 3

(3) Sn 是 {an } 的前 n 项和, Sn ? 2n?1 ?1 。

19. (本小题满分 14 分)已知二次函数 f ( x) ? 3x2 ? 2 x ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, S n)( n ?N ? ) 均在函 数 y ? f ( x) 的图像上. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)设 bn ?

m 3 ? , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立的最小正整数 m. 20 a n a n ?1

20. (本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II) (附加题)证明:

a n 1 a1 a2 n ? ? ? ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an ?1 2

数列求和的常用方法
1.公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式, 特别声明:运用等比数列求和公式,务必检查其公比与 1 的关系,必要时需分类讨论 .;③常用公式:

1? 2 ? 3 ?

? n ? 1 n(n ? 1) , 12 ? 22 ? 2

? n2 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) , 13 ? 23 ? 33 ? 6

? n3 ? [

n(n ? 1) 2 ]. 2

例 1 、已知 log3 x ?

?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. log2 3

2 2 2 2 练一练:等比数列 {an } 的前 n 项和 Sn=2 -1,则 a1 =_____ ? a2 ? a3 ? ? ? an




2.分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和. 例 2、 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,? a a a

练一练:求和: Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ?

? (?1)n (2n ?1)

3.倒序相加法: 若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联, 则常可考虑选用倒序 相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n 和公式的推导方法). 例 3、求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

练一练:已知 f ( x) ?

1 1 1 x2 ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) =______; 2 2 3 4 1? x

4.错位相减法: 如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成, 那么常选用错位相减 法(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法). 例 4、求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ?????????①

例 5、求数列

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2

练一练:设 {an } 为等比数列, Tn ? na1 ? (n ? 1)a2 ? 公比;②求数列 {Tn } 的通项公式.;

? 2an?1 ? an ,已知 T1 ? 1 , T2 ? 4 ,①求数列 {an } 的首项和

5.裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求 和.常用裂项形式有:

1 1 ? 1 ? 1 ;② ? 1 (1 ? 1 ) ; n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ), ? ? ? 2? ? ? ; ③ 2 ? 2 k k ?1 2 k ?1 k ?1 k k ? 1 (k ? 1)k k (k ? 1)k k ? 1 k n 1 1 1 1 1 1 ? [ ? ] ;⑤ ? ? ④ ; n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)! n! (n ? 1)! 2 2 ? 1 ? ? 2( n ? n ? 1) . ⑥ 2( n ? 1 ? n ) ? n ? n ?1 n n ? n ?1


例 6、 求数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

例 7、 在数列{an}中, an ?

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项的和. n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

练一练: (1)求和:

1 1 ? ? 1? 4 4 ? 7

?

1 ? (3n ? 2) ? (3n ? 1)
,且 Sn=9,则 n= ;



(2)在数列 {an } 中, a n ?

1 n ? n ?1

6.通项转换法:先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和。 例 8 、求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 之和. ? ?
n个1

练一练:①求数列 1×4,2×5,3×6,?, n ? (n ? 3) ,?前 n 项和 Sn =



②求和: 1 ?

1 1 ? ? 1? 2 1? 2 ? 3

?

1 1? 2 ? 3 ?

?n

?



数列练习题——求数列前 n 项的和
一、选择题:(本大题共 6 小题,每 小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.数列{an}的通项公式为 an=(-1) A.200 B.-200
n-1

·(4n-3),则它的前 100 项之和 S100 等于( D.-400 )

)

C.400

1 1 1 2.数列 1, , ,?, 的前 n 项和为( 1+2 1+2+3 1+2+?+n A. 2n 2n+1 B. 2n n+1
4 7 10

C.

n+2 n+1
3n+10

D.

n
2n+1 )

3.设 f(n)=2+2 +2 +2 +?+2 2 n A. (8 -1) 7 2 n+1 B. (8 -1) 7

(n∈N),则 f(n)等于(

2 n+3 C. (8 -1) 7

2 n+4 D. (8 -1) 7 )

3 4.若数列{ an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn= an-3,则数列{an}的前 n 项和 Sn 等于( 2 A.3
n+1

-3

B.3 -3

n

C.3

n+1

+3

D.3 +3 )

n

1 1 1 1 1 5.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,?,(2n-1)+ n,?的前 n 项和 Sn 的值等于( 2 4 8 16 2 A.n +1-
2

1 n 2

1 2 B.2n -n+1- n 2 1

C.n +1-

2

1 2
n-1

1 2 D.n -n+1- n 2

6.数列 an= 距为( )

n(n+1)

9 ,其前 n 项之和为 ,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)x+y+n=0 在 y 轴上的截 10

A.-10

B.-9

C.10

D.9

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.) 7.已知函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f(x)=1-f(1-x),则 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)= ________. 1 2 3 4 n 8. + 2+ 3+ 4+?+ n-2 等于________. 2 2 2 2 2 1 1 1 1 9.数列 2 , 2 , 2 , 2 ?的前 n 项和等于________. 1 +2 2 +4 3 +6 4 +8
? ?n 10.函数 f(n)=? 2 ?-n ?
2

(n为奇数) (n为偶数)

,且 an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2+?+a1000=__________.

三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.)

1? ? 2 11.已知数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,其前 n 项和 Sn 满足 Sn=an?Sn- ?. 2? ? (1)求 Sn 的表达式;(2)设 bn= ,求{bn}的前 n 项和 Tn. 2n+1

Sn

12.等差数列{an}是递增数列,前 n 项和为 Sn,且 a1,a3,a9 成等比数列,S5=a5.

2

n2+n+1 (1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足 bn= ,求数列{bn}的前 99 项的和. an·an+1

? 1?2 * 13.(2011·沈阳市模拟)在数列{an}中,a1=1,2an+1=?1+ ? ·an(n∈N ). ?
n? an 1 (1)证明:数列{ 2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)令 bn=an+1- an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. n 2


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