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第14讲随机事件的概率(教师版)


第 14 讲:随机事件的概率与古典概型
一、考试说明
考点 1:了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义以及频率与概率的区别。 考点 2:了解两个互斥事件的概率加法公式。 考点 3:理解古典概型及其概率计算公式。 考点 4:会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

二、题型示例
典例 1:甲、乙、丙、丁 4 个足球队参加比赛,假设每场比赛各队取胜的概率相等,现任意将这 4 个队分 成两个组(每组两个队)进行比赛,胜者再赛,则甲、乙相遇的概率为 ( A. ) C.

1 6

B.

1 4

1 3

D.

1 2

【解析】所有可能的比赛分组情况共有 4 ? 答案 D

2 2 C4 C2 ? 12 种,甲乙相遇的分组情况恰好有 6 种,故选 D . 2!

变式 1。 (1)现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽 取 2 根竹竿,则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 【解析】 考查等可能事件的概率知识。 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10,它们的长度恰好相差 0.3m 的事件数为 2,分 别是:2.5 和 2.8,2.6 和 2.9,所求概率为 0.2。 答案 0.2 (2)把标号为 1,2,3,4 的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人,每人分得一个。事件“甲分 得 1 号球”与事件“乙分得 1 号球”是( ) (A)互斥但非对立事件 (B)对立事件 (C)相互独立事件 (D)以上都不对 答案:A。 点评:一定要区分开对立和互斥的定义,互斥事件:不能同时发生的两个事件叫做互斥事件;对立事 件:不能同时发生,但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件。 典例 2:从含有两件正品 a1,a2 和一件次品 b1 的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连 续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率 解析:每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件有 6 个,即(a1, a2)和, (a1,b2) , (a2,a1) , (a2,b1) , (b1,a1) , (b2,a2) 。其中小括号内左边的字母表示第 1 次取出的 产品,右边的字母表示第 2 次取出的产用 A 表示“取出的两种中,恰好有一件次品”这一事件, 则 A=[(a1,b1) , (a2,b1) , (b1,a1) , (b1,a2)], 事件 A 由 4 个基本事件组成,因而,P(A)= .

4 2 = 。 6 3

点评:利用古典概型的计算公式时应注意两点: (1)所有的基本事件必须是互斥的; (2)m 为事件 A 所包含的基本事件数,求 m 值时,要做到不重不漏 变式 2.现有一批产品共有 10 件,其中 8 件为正品,2 件为次品: (1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续 3 次取出的都是正品的概率;

(2)如果从中一次取 3 件,求 3 件都是正品的概率。 分析: (1)为返回抽样; (2)为不返回抽样 解析: (1)有放回地抽取 3 次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x,y,z 都有 10 种可能,所以试验 结果有 10×10×10=10 种;设事件 A 为“连续 3 次都取正品” ,则包含的基本事件共有 8×8×8=8 种,因 此,P(A)=
3 3

83 =0.512。 10 3

(2)解法 1:可以看作不放回抽样 3 次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(x,y,z) ,则 x 有 10 种可能,y 有 9 种可能,z 有 8 种可能,所以试验的所有结果为 10×9×8=720 种.设事件 B 为“3 件 都是正品” ,则事件 B 包含的基本事件总数为 8×7×6=336, 所以 P(B)=

336 720



解法 2:可以看作不放回 3 次无顺序抽样,先按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x 有 10 种可能,y 有 9 种可能,z 有 8 种可能,但(x,y,z) , (x,z,y) , (y,x,z) , (y,z,x) , (z,x,y) , (z,y,x) ,是相同的, 所以试验的所有结果有 10×9×8÷6=120,按同样的方法,事件 B 包含的基本事件个数为 8×7×6÷6=56, 因此 P(B)=

56 。 120

点评:关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其 结果是一样的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会导致错误 典例 3.四面体的顶点及各棱中点共有 10 个点,在其中任取 4 个点,求所得的四个点不共面的概率? 解:10 个点中取 4 个点共有 种取法,其中同一侧面内的 6 个点中任取 4 个点必共面,这样的 =141(种)。总共有 面共有 4 个;又同一条棱上的 3 个点与对棱的中点也四点共面,共有 6 个面;再各棱中点共 6 个点中,取 四点共面的平面有 3 个。故符合条件 4 个点不共面的取法共有

141 4 C10 ? 210 ,故所求的概率为 210
变式 3. (2009 安徽卷理)考察正方体 6 个面的中心,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线,求所得的两条直线相互平行但不重合的概率? ( [解析] 如图,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线,共有 C6 ? C6 ? 15 ?15 ? 225
2 2

?B ?
C

?F
?E ?A

?D

种不同取法,其中所得的两条直线相互平行但不重合有

AC // DB, AD // CB, AE // BF , AF // BE, CE // FD, CF // ED
共 12 对,所以所求概率为 p ?

12 4 。 ? 225 75
).

三、实时训练
1.(2012·兰州月考)从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球, 那么互斥而不对立的事件是( A.至少有一个红球与都是红球 B.至少有一个红球与都是白球 C.至少有一个红球与至少有一个白球

D.恰有一个红球与恰有二个红球 解析 对于 A 中的两个事件不互斥,对于 B 中两个事件互斥且对立,对于 C 中两个事件不互斥,对于 D 中 的两个互斥而不对立. 答案 D 2.(2011·陕西)甲乙两人一起去游“2011 西安世园会”,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览,每个景点参观 1 小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是( A. 1 36 1 B. 9 C. 5 36 1 D. 6 ).

解析 若用{1,2,3,4,5,6}代表 6 处景点,显然甲、乙两人选择结果为{1,1}、{1,2}、{1,3}、?、{6,6}, 共 36 种;其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、?、{6,6},共 6 个基本事件, 1 所以所求的概率值为 . 6 答案 D 3.(2011·湖北)在 30 瓶饮料中,有 3 瓶已过了保质期.从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶,则至少取到 1 瓶已 过保质期饮料的概率为________(结果用最简分数表示). 解析 所取的 2 瓶中都是不过期的饮料的概率为 P= 28 1-P= . 145 答案 28 145 ) C27 117 , 则至少有 1 瓶为已过保质期饮料的概率 P = 2 = C30 145
2

4. 在正方体上任选 3 个顶点连成三角形,则所得的三角形是等边三角形的概率为( A.

1 7

B.

2 7

C.

3 7

D.

4 7

答案 A 总共可得三角形的个数为

C83 ? 56 其中等边三角形有 8 个从而所求的概率为 8 1 ? 56 7

5. 连掷两次骰子得到点数分别为 m 和 n,记向量 a ? (m, n)与向量b ? (1,?1) 的夹角为 ? , ? ? ? 0, 率是( A. 答案 C ) B.

? ?? 的概 ? 2? ?

5 12

1 2

C.

7 12

D.

5 6

四、课后演练
1、一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷 1 次,设事件 A 表示向上的一面出现奇数点,事件 B 表示向上的一面出现的点数不超过 3,事件 C 表示向上的一面出现的 点数不小于 4,则( ).

A.A 与 B 是互斥而非对立事件 B.A 与 B 是对立事件 C.B 与 C 是互斥而非对立事件

D.B 与 C 是对立事件 解析 根据互斥事件与对立事件的意义作答,A∩B={出现点数 1 或 3},事件 A,B 不互斥更不对立;B∩C =?,B∪C=Ω ,故事件 B,C 是对立事件. 答案 D 2.(2012·广东)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为 0 的概率是( A. C. 4 9 2 9 B. D. 1 3 1 9 ).

解析 由个位数与十位数之和为奇数,则个位数与十位数分别为一奇一偶.若个位数为奇数时,这样 的两位数共有 C5C4=20 个;若个位数为偶数时,这样的两位数共有 C5C5=25 个;于是,个位数与十位数之 5 1 1 和为奇数的两位数共有 20+25=45 个.其中,个位数是 0 的有 C5×1=5 个.于是,所求概率为 = . 45 9 答案 D 3. (2012·江苏)现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项,-3 为公比的等比数例,若从这 10 个数 中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是________. 解析 由题意得 an=(-3)
n-1
1 1 1 1

,易知前 10 项中奇数项为正,偶数项为负,所以小于 8 的项为第一项和

6 3 偶数项,共 6 项,即 6 个数,所以 p= = . 10 5 答案 3 5

4. 将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 m,第二次出现的点数为 n,向量

p=(m,n),q=(3,6),则向量 p 与 q 共线的概率为________.
解析 向量 p 与 q 共线得 6m=3n,即 2m=n,符合要求的(m,n)有:(1,2),(2,4),(3,6),则向量 p 3 1 与 q 共线的概率为 = . 36 12 答案 1 12

5. 在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为 1,2,3,…,18 的 18 名火炬手.若从中任选 3 人,则选出的 火炬手的编号能组成 3 为公差的等差数列的概率为________. 解析:古典概型问题,基本事件总数为 C18 ? 17 ?16 ? 3 。选出火炬手编号为 an ? a1 ? 3(n ? 1) , a1 ? 1 时,
3

a1 ? 3 时, a1 ? 2 时, 由 1, 4,7,10,13,16 可得 4 种选法; 由 2,5,8,11,14,17 可得 4 种选法; 由 3,6,9,12,15,18
可得 4 种选法。所以 P ?

4?4?4 1 ? . 17 ?16 ? 3 68

6. 甲、乙二人参加普法知识竞赛,共有 10 个不同的题目,其中选择题 6 个,判断题 4 个,甲、乙二

人一次各抽取一题, (1)甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是多少? 解:甲从选择题中抽到一题的可能结果有 C 6 个,乙从判断题中抽到一题的的可能结果是 C 4 ,故甲抽 到 选 择 题 , 乙 抽 到 判 断 题 的 可 能 结 果 为 C6 ? C 4 ? 24 ; 又 甲 、 乙 二 人 一 次 各 抽 取 一 题 的 结 果 有
1 1 1 1 C10 ? C9 ? 90 ,所以概率值为 1

1

24 4 ? 。 90 15

(2)甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是多少? 解:甲、乙二人一次各抽取一题基本事件的总数是 10×9=90; 方法一:分类计数原理 (1)只有甲抽到了选择题的事件数是:6×4=24; (2)只有乙抽到了选择题的事件数是:6×4=24; (3)甲、乙同时抽到选择题的事件数是:6×5=30; 故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是

24 ? 24 ? 30 13 ? 。 90 15

方法二:利用对立事件 事件“甲、乙二人至少有一个抽到选择题”与事件“甲、乙两人都未抽到选择题”是对立事件 事件“甲、乙两人都未抽到选择题”的基本事件个数是 4×3=12; 故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是 1 ?

12 2 13 ? 1? ? 。 90 15 15

高考预测题:甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布) ,求: (1)平局的概率; (2)甲赢的概率; (3)乙赢的概率. 答案:解.:甲有 3 种不同的出拳方法,每一种出法是等可能的,乙同样有等可能的 3 种不同出法. 一次出拳游戏共有 3×3=9 种不同的结果,可以认为这 9 种结果是等可能的.所以一次游戏(试验)是 古典概型.它的基本事件总数为 9. 平局的含义是两人出法相同,例如都出了锤.甲赢的含义是甲出锤且乙出剪,甲出剪且乙出布,甲出 布且乙出锤这 3 种情况.乙赢的含义是乙出锤且甲出剪,乙出剪且甲出布,乙出布且甲出锤这 3 种情 况. 设平局为事件 A,甲赢为事件 B,乙赢为事件 C. 容易得到:

乙 布 剪 锤 O 锤 剪 布 甲

(1)平局含 3 个基本事件(图中的△) ; (2)甲赢含 3 个基本事件(图中的⊙) ;

(3)乙赢含 3 个基本事件(图中的※). 由古典概率的计算公式,可得 P(A) ?
3 1 3 1 3 1 ? ;P(B) ? ? ; P(C) ? ? . 9 3 9 3 9 3



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