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江苏省苏州大学2013届高三高考考前指导卷(2) 数学试题 Word版含答案


苏州大学 2013 届高考考前指导卷(2)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请把答案 直接填在答题卡相应位置上. ........ 1.已知 i 是虚数单位,复数 z =

7?i ,则 z = 3?i



2.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2

? 4x 的焦点到其准线的距离 为 . 3.甲、乙两名同学在五次考试中数学成绩统计用茎叶图表示 如图所示,则甲、乙两名同学成绩较稳定(方差较小)的 是______. 4. x | ? | y |≤1”是“x2 ? y2≤1”的 “| 条件. (请在“充要” 、 “充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”中选择一个 、 、 合适的填空) 5.在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C .现作一矩形,邻边长分别 等于线段 AC, CB 的长,则该矩形面积小于 32 cm 2 的概率为 .

开始 输入 a b←1

a←3a+1 b←b?1

6.按如图所示的流程图运算,若输出的 b ? 3,则输入的 a 的取值范围是 ________.

a ? 58 Y 输出 b

N

7.如图边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G, 已知△A?DE 是△ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形(点 A? ? 平面 ABC) , 则下列命题中正确的是 . 结束

①动点 A? 在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上; ②BC∥平面 A?DE;③三棱锥 A??FED 的体积有最大值.
??? ? ???? ??? ? 8.在△ABC 中, ( AB ? 3 AC ) ? CB ? 0 ,则角 A 的最大值为_________.

9.已知函数 f ( x) ? log 2

2x ,若 f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b 对于满足 | x | ?(? a,4 ? a)的一 4? x 切 x 恒成立,则(a,b)为___________. π π 1 4 ) , ? ? ( , π ) , cos ? ? , cos(? ? ? ) ? ? ,则 cos ? =________. 2 2 3 5

10.已知 ? ? (0,

11.设数列 {an } 的首项 a1 ?

3 ,前 n 项和为 Sn , 且满足 2an ?1 ? S n ? 3 ( n ? N * ) .则满足 2


18 S 2 n 8 ? ? 的所有 n 的和为 17 S n 7
2 2

y

A

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦 2 a b 点,过 F1 的直线 l 与双曲线 C 的两支分别交于点 A , B ,若 ?ABF 2
12.如图, F1 , F2 是双曲线 为等边三角形,则双曲线的离心率为 .

B
F1
O

F2

x

13.如图,有一矩形地块 ABCD,其相邻边长为 20 m 和 50 m ,现要 在它的短边与长边上各取一点 P 与 Q, 用周长为 80 m 的篱笆 围出一块直角三角形的花园,则围出部分的最大面积为

D P

C

__________ m .

2

14 . 已 知 函 数

f ( x) ?

4x ? k ? 2x ? 1 ,若对任意的实数 4x ? 2x ? 1

A

Q

B

x1 , x2 , x3 ,不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 恒成立,则实数 k 的取值范围是



二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必 ........ 要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)
1 在△ ABC 中,A = 2B, sin B ? ,AB = 23. 3 (1)求 sin A , sin C ; ??? ??? ? ? (2)求 CA ? CB 的值.

C

A

B

16. (本小题满分 14 分) 如图,长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面 A1 B1C1 D1 是正方形,
D A

F

C

E 是棱 AA1 上任意一点, F 是 CD 的中点.
(1)证明: BD ? EC1 ; (2)若 AF∥平面 C1DE,求

B

E

AE 的值. A1 A
A1

D1 B1

C1

17. (本小题满分 14 分) 如图,GH 是东西方向的公路北侧的边缘线,某公司准备在 GH 上的一点 B 的正北方向 的 A 处建一仓库,设 AB = y km,并在公路同侧建造边长为 x km 的正方形无顶中转站 CDEF (其中边 EF 在 GH 上) 现从仓库 A 向 GH 和中转站分别修两条道路 AB, , AC, 已知 AB = AC ? o 1,且∠ABC = 60 . (1)求 y 关于 x 的函数解析式; (2)如果中转站四周围墙造价为 1 万元/km,两条道路造价为 3 万元/km,问:x 取何 值时,该公司建中转站围墙和两条道路总造价 M 最低?
A

C

D

G

B 公

F 路

E

H

18. (本小题满分 16 分) 已知点 M 是圆 C: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 8 上的动点,定点 D(1,0) ,点 P 在直线 DM 上,点 N ? ? ???? ? ??? ? ??? ???? 在直线 CM 上,且满足 DM ? 2DP , NP ? DM =0,动点 N 的轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程; (2)若 AB 是曲线 E 的长为 2 的动弦,O 为坐标原点,求△AOB 面积 S 的最大值.

19. (本小题满分 16 分) 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,已知 2S n ?1 ? S n ? ? ( n ? N , ? 为常数) a1 ? 2 , ,
*

a2 ? 1 .
(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)求所有满足等式

Sn ? m 1 ? 成立的正整数 m , n . S n ?1 ? m a m ? 1

20. (本小题满分 16 分)

a 3 x ? bx 2 ? cx(a, b, c ? R, a ? 0) . 3 (1)若函数 f ( x) 为奇函数,求 b 的值; (2)在(1)的条件下,若 a ? ?3 ,函数 f ( x) 在 [?2,2] 的值域为 [?2,2] ,求 f ( x) 的零点;
设函数 f ( x) ? (3)若不等式 axf ?( x) ? f ( x) ? 1 对一切 x ?R 恒成立,求 a ? b ? c 的取值范围.

苏州大学 2013 届高考考前指导卷(2)参考答案
1. 2 ? i 6. (6,19] 12. 7 13. 2.2 7.①②③
800 2 m 3

3.乙 8. 14. [ ?
π 6

4.充分不必要 9. (2,1)

5.

2 3
6 2?4 15

10. ?

11.7

1 , 4] 2

2 2 1 15.解:1) sin B ? ,B 为锐角,∴ cos B ? . 3 3

1 2 2 4 2 . sin A ? sin 2 B ? 2sin B cos B ? 2 ? ? ? 3 3 9 cos A ? cos 2B ? cos2 B ? sin 2 B ? ( 2 2 2 1 2 7 ) ?( ) ? . 3 3 9 4 2 2 2 7 1 23 . ? ? ? ? 9 3 9 3 27

sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

(2)∵

AB AC BC ,AB = 23,∴AC = 9,BC = 12 2 . ? ? sin C sin B sin A

7 2 2 4 2 1 10 2 . cos C ? ? cos( A ? B) ? ? cos A cos B ? sin A sin B ? ? ? ? ? ?? 9 3 9 3 27 ??? ??? ? ? 10 2 ∴ CA ? CB ? CA ? CB ? cos C ? 9 ? 12 2 ? (? ) ? ?80 . 27

16.解: (1)连接 AC , AE // CC1 ? E, A, C, C1 共面. 长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面 A1 B1C1 D1 是正方形, 所以 AC ? BD, EA ? BD, AC ? EA ? A . 所以 BD ? 面 EACC1 ,所以 BD ? EC1 . (2)取 C1 D1 的中点 G ,连接 FG 交 C1D 于点 O , 易知 FG∥DD1,FG = DD1,且点 O 为 FG 的中点, 所以 A, A1 , G, F 四点共面, 所以平面 C1DE ? 平面AA1GF ? OE . 因为 AF∥平面 C1DE,AF∥OE. 又点 O 为 FG 的中点,所以
A1 E C1 A D F

C

B O

D1

G B1

AE 1 = . A1 A 2

17.解: (1)∵AB = y,AB = AC ? 1,∴AC = y ? 1. 在直角三角形 BCF 中,∵CF = x,?ABC = 60?,

∴?CBF = 30?,BC = 2x. 由于 2x + y ? 1 > y,得 x ?
1 . 2

在△ABC 中,∵ AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 2AB ? BC cos60? , ∴ ( y ? 1)2 ? y 2 ? 4 x2 ? 2 xy . 则y?
4 x2 ? 1 1 .由 y > 0,及 x ? ,得 x > 1. 2( x ? 1) 2 4 x2 ? 1 (x > 1) . 2( x ? 1)

即 y 关于 x 的函数解析式为 y ? (2) M ? 3(2 y ? 1) ? 4 x ? 令 x ? 1 = t,则 M ?

12 x 2 ? 3 ? 3 ? 4x . x ?1

12(t ? 1)2 ? 3 9 ? 3 ? 4(t ? 1) ? 16t ? ? 25≥49 , t t 3 7 15 在 t ? ,即 x ? , y ? 时,总造价 M 最低. 4 4 2

答: x ?

7 时,该公司建中转站围墙和道路总造价 M 最低. 4

18.解: (1)因为 DM ? 2 DP , NP ? DM ? 0 ,所以 NP 为 DM 的垂直平分线, 所以 | ND |?| NM | ,又因为 | CN | ? | NM |? 2 2 , 所以 | CN | ? | ND |? 2 2 ? 2 , 所以动点 N 的轨迹是以点 C (?1,0), D(1,0) 为焦点的长轴为 2 2 的椭圆.

x2 ? y2 ? 1. 所以轨迹 E 的方程为 2
(2)因为线段 AB 的长等于椭圆短轴的长,要使三点 A, O, B 能构成三角形, 则弦 AB 不能与 x 轴垂直,故可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,

? y ? kx ? m, ? 由 ? x2 ,消去 y ,并整理,得 2 ? ? y ? 1. ?2
(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 .
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,

又 ? ? 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 2) ? 0 ,
2 2 2 2

所以 x1 ? x2 ? ?

2(m2 ? 1) 4km , x1 x2 ? ,因为 | AB |? 2 , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

2 2 2 2 所以 (1 ? k )( x 2 ? x1 ) ? 2 ,即 (1 ? k )[( x2 ? x1 ) ? 4 x1 x2 ] ? 4

所以 (1 ? k ) ?? ?
2

??

4km ? 8( m 2 ? 1) ? 1 ? ? 4 ,即 ? 2(1 ? m2 ) , 2 ? 2 ? 2 1 ? 2k ? 1? k ?? 1 ? 2 k ? ? ?
2

因为 1 ? k ? 1 ,所以
2

|m| 1 , ? m 2 ? 1 .又点 O 到直线 AB 的距离 h ? 2 1? k 2

因为 S ?

1 1 1 | AB | ?h ? h ,所以 S 2 ? h 2 ? 2m2 (1 ? m2 ) ? ?2(m2 ? )2 ? . 2 2 2
2

所以 0 ? S ?

2 1 ,即 S 的最大值为 . 2 2
① ②

19.解: (1)由题意,得 2S2 ? S1 ? ? ,求得 ? ? 4 . 所以, 2S n ?1 ? S n ? 4 当 n ? 2 时, 2S n ? S n ?1 ? 4 ①-②,得 a n ?1 ?

1 1 ,又 a n ( n ? 2 ) a 2 ? a1 , 2 2 1 所以数列 {a n } 是首项为 2 ,公比为 的等比数列. 2
?1? * (n?N ) . ?2? 1 ? ? (2)由(1) ,得 S n ? 4?1 ? n ? , ? 2 ? S ?m a 1 2 4 ? 由 n ,得 1 ? n ?1 ? 1 ? am ,化简得 ? m , n S n ?1 ? m a m ? 1 Sn ? m (4 ? m)2 ? 4 2
所以 {a n } 的通项公式为 a n ? ? ? 即 (4 ? m)2 ? 4 ? 2
n m ?1

n?2

,即 (4 ? m)2 ? 4 ? 2
n

m ?1

. (*)

因为 2

m?1

? 4 ? 0 ,所以 (4 ? m) ? 2 n ? 0 ,所以 m ? 4 ,
*

因为 m ? N ,所以 m ? 1 或 2 或 3 . 当 m ? 1 时,由(*)得 3 ? 2 ? 5 ,所以无正整数解;
n

当 m ? 2 时,由(*)得 2 ? 2 ? 6 ,所以无正整数解;
n

当 m ? 3 时,由(*)得 2 ? 8 ,所以 n ? 3 .
n

综上可知,存在符合条件的正整数 m ? n ? 3 .

20.解: (1) f (? x) ? ? f ( x) 恒成立,则 b=0; (2) f ( x) ? ? x3 ? cx, f ?( x) ? ?3x 2 ? c ① 若 c ? 0 ,则 f ?( x) ?0 恒成立,则 f ( x) 单调递减, 又函数 f ( x) 在 [?2,2] 的值域为 [?2,2] ,

? f (?2) ? 2 ,此方程无解. ?? ? f (2) ? ?2
② 若 c ? 0 ,则 f ?( x) ? 0,? x ? ?

c . 3

(i)若 解;

? f (2) ? 2 c ,此方程组无 ? 2 ,即 c ? 12 时,函数 f ( x) 在 [?2,2] 单调递增,? ? 3 ? f ( ?2) ? ?2

? ? f( c c ? (ii) ,即 3 ? c ? 12 时,? ? ?2?2 3 3 ? f (? ? ?
(iii) 2

c )?2 3 c ) ? ?2 3

,所以 c=3;

? f (?2) ? 2 c ,此方程无解. ? 2 ,即 c ? 3 时,? ? 3 ? f (2) ? ?2

综上,所以 c=3.

? f ( x) ? ? x3 ? 3x 的零点为: x1 ? 0, x2 ? ? 3, x3 ? 3 .

a (3)由题意可得 ( ? a 2 ) x3 ? (b ? 2ab) x 2 ? (c ? ac) x ? 1 0 恒成立. ≥ 3 a 记 F ( x) ? ( ? a 2 ) x3 ? (b ? 2ab) x 2 ? (c ? ax) ? 1 ? 0 . 3 a 若 ? a 2 ? 0 ,则三次函数 F ( x) 至少有一个零点 x0 ,且在 x0 左右两侧异号, 3 所以原不等式不能恒成立;
所以

a 1 b 2c ? a 2 ? 0 ? a = ,此时 F (x)= x 2 + x+1 ? 0 恒成立等价于: 3 3 3 3

? b>0 , ? c 2 ≤3b . 1)b=c=0 或者 2) ? ?? ≤0

1 1 , 在 2)中 a ? b ? c ? ? b ? c ? t , 3 3 2 2 所以 c ? 3t ? 3c ? 1 ,即 3t ? c ? 3c ? 1 恒成立. 5 ?3t ? (c 2 ? 3c ? 1)min ? ? . 4
在 1)中, a ? b ? c ?

综上: a ? b ? c 的取值范围是 [?

5 , ??) . 12


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