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《3.4.1 基本不等式的证明》教学案


3.4.1《基本不等式的证明(2)》教学案 教学目标: 一、知识与技能 1.进一步掌握基本不等式; 2.学会推导并掌握均值不等式定理; 3.会运用基本不等式求某些函数的最值,求最值时注意一正二定三等四同. 4.使学生能够运用均值不等式定理来研究函数的最大值和最小值问题;基本不等式在 证明题和求最值方面的应用. 二、过程与方法 通过几个例题的研究,进一步掌握基本不等式,并会用此定理求某些函数的最大、最小 值. 三、情感、态度与价值观 引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理论与实际相结 合的科学态度和科学道德. 教学重点: 均值不等式定理的证明及应用. 教学难点: 等号成立的条件及解题中的转化技巧. 教学方法: 先让学生回顾两个重要不等式, 然后由两个具体问题入手让学生分组讨论得到两个最值 定理(其证明可由学生完成), 然后通过一些例题来讲解如何利用最值定理求最值, 并让学生 从中体味出如何创设情境用定理. 教学过程: 一、问题情境 提问:我们上一节课已经学习了两个重要的不等式,请同学们回忆一下,这两个重要不 等式叙述的内容是什么, “等号”成立的条件是什么? 学生回答: 1.如果 a, b ? R, 那么a 2 ? b 2 ? 2ab(当且仅当 a ? b时取 ?号) 2.如果 a , b 是正数,那么 老师总结: a?b ? ab (当且仅当 a ? b时取 ?号). 2 我 们 称 a?b 为a , b 的 算 术 平 均 数 , 称 2 ab为a, b 的 几 何 平 均 数 , a 2 ? b 2 ? 2ab和 a?b 2 ? ab 成立的条件是不同的:前者只要求 a , b 都是实数,而后 者要求 a , b 都是正数. 二、学生活动 提问: 生答:有,最大值为4. 问题2:如何求出最大值的呢,何时取到最大值的. 生答:? x, y ? R? , x ? y ? 4 ? 2 xy ,? xy ? 4 ,当且仅当 x ? y 时取“=” . 问题3:如果将问题1中条件 x ? y ? 4 改为 xy ? 4 ,那么 x ? y 有无最值呢? 生答:? x, y ? R? , x ? y ? 2 xy ? 4,? x ? y 有最小值4.当且仅当 x ? y 时取到. 问题4:请同学们分组讨论能否由问题1及问题3推广至更一般的结论出来,学生讨论完 后,在学生回答的基础上得出以下最值定理. 三、建构数学 最值定理:已知 x, y 都是正数, ①如果积 xy 是定值 p ,那么当 x ? y 时,和 x ? y 有 最小值 2 p ;②如果和 x ? y 是定值 s ,那么当 x ? y 时,积 xy 有最大值 证明:∵ x, y ? R ? , ①当 xy ? p (定值)时, ∴ 1 2 s . 4 x? y ? xy , 2 x? y ? 2 p ∴x? y ?2 p, ∵上式当 x ? y 时取“ ? ” , ∴当 x ? y 时有 ( x ? y) min ? 2 p ; ②当 x ? y ? s (定值)时, xy ? s 1 2 ∴ xy ? s ,∵上式当 x ? y 时取“ ? ”∴当 2 4 x ? y 时有 ( xy ) max ? 1 s 2 . 4 说明:最值定理是求最值的常用方法,但应注意以下几点: ①最值的含义(“ ? ”取最小值, “ ? ”取最大值); ②用基本不等式求最值必须具备的三个条件:一“正” 、二“定” 、三“相等” . ③函数

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