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2013年山东省聊城市高考数学一模试卷(理科)


2013 年山东省聊城市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. ) 1. 分)设 A={x|1<x<2},B={x|x<a},若 A?B,则 a 的取值范围是( (5 ) A.a≤2 B.a≤1 C.a≥1 D.a≥2 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 计

算题;函数的性质及应用. 分析: 根据集合 A 是 B 的子集,利用数轴帮助理解,可得实数 a 应为不小于 a 的实数,得到本题答案. 解答: 解:∵ A={x|1<x<2},B={x|x<a},且 A?B, 设

∴ 结合数轴,可得 2≤a,即 a≥2 故选:D 点评: 本题给出两个数集的包含关系,求参数 a 的取值范围,着重考查了集合的包含关系判断及应用的知 识,属于基础题. 2. 分)已知复数 z= (5 A. B. ,则|z|=( ) C.l D.2

考点: 复数求模;复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 首先利用复数的除法运算把复数 z 化为 a+bi 的形式,然后直接代入模的公式求模. 解答: 解:z= = . 所以|z|= .

故选 C. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础的运算题. 3. 分)一个底面是正三角形的三棱柱的侧视图如图所示,则该几何体的侧面积等于( (5 )

A.

B.6

C.2

D.2

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由题意判断几何体的形状,集合三视图的数据求出侧面积. 解答: 解:由正视图知:三棱柱是以底面边长为 2,高为 1 的正三棱柱, 侧面积为 3×2×1=6, 故答案为:B. 点评: 本题考查三视图求解几何体的侧面积,考查空间想象能力,计算能力. 4. 分)下列说法错误的是( (5 ) A.在线性回归模型中,相关指数 R2 取值越大,模型的拟合效果越好 B. 对于具有相关关系的两个变量,相关系数 r 的绝对值越大,表明它们的线性相关性越强 C. 命题“?x∈R.使得 x2+x+1<0”的否定是“?x∈R,均有 x2+x+1<0”

D.命题若 x=y,则 sin.r=siny”的逆否命题为真命题 考点: 特称命题;命题的否定. 专题: 探究型. 分析: A.利用相关指数 R2 取值意义进行判断.B.利用相关系数 r 的意义判断.C.利用特称命题的否定 是全称命题进行判断.D.利用四种命题之间的关系进行判断. 解答: 解:A.相关指数 R2 来刻画回归效果,R2 越大,说明模型的拟合效果越好,所以 A 正确. B.线性相关系数|r|越大,两个变量的线性相关性越强,所以 B 正确. 2 2 C.命题“?x∈R.使得 x +x+1<0”的否定是“?x∈R,均有 x +x+1≥0”. D. 点评: 本题主要考查命题的真假判断,综合性较强,牵扯的知识点较多,要求熟练掌握相应的知识. 5. 分) (5 (2011?宝鸡模拟)若将函数 关于 y 轴对称,则实数 m 的最小值为( A. B. 的图象向左平移 m(m>0)个单位后,所得图象 ) C. D.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析: 函数 =2cos(x+ )图象向左平移 m 个单位可得 y=2cos(x+m 偶函数 图象关于 y 轴对称,故可得此函数在 y 轴处取得函数的最值即 2cos(m+ 解答: 解:∵ 函数 =2cos(x+

) ,由函数为

=±2,求解即可 )

)图象向左平移 m 个单位可得 y=2cos(x+m

根据偶函数的性质:图象关于 y 轴对称,故可得此函数在 y 轴处取得函数的最值 即 2cos(m+ 解得, m 的最小值 故选 C 点评: 本题主要考查了三角函数的辅助角公式的应用,函数的图象平移,偶函数的性质,三角函数的对称 轴的应用,综合的知识比较多,但都是基本运用. 6. 分) ABC 中, b、 分别是角 A、 C 的对边, A=60°, (5 在△ a、 c B、 且 c=5, a=7, ABC 的面积等于 则△ ( A. B. C.10 D.10 ) =±2,

考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 利用余弦定理 a2=b2+c2﹣2accosA 可求得 b,即可求得△ ABC 的面积. 解答: 解:∵ABC 中,A=60°,c=5,a=7, △ 2 2 2 ∴ 由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA, 即 49=b +25﹣2×5b× , 解得 b=8 或 b=﹣3(舍) . ∴ △ABC= bcsinA= ×8×5× S =10 .
2

故选 C. 点评: 本题考查余弦定理与正弦定理的应用,求得 b 是关键,考查分析与运算能力,属于中档题.

7. 分)在下列图象中,可能是函数 y=cosx+lnx 的图象的是( (5 A. B. C.

2

) D.

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 令 f(x)=cosx+lnx2(x≠0) ,可得 f(﹣x)=f(x) ,f(x)是偶函数,其图象关于 y 轴对称.利用导 数 (x≠0) ,可知:当 2>x>0 时,y′ >0.及 f(π)=﹣1+2lnπ>0 即可判断出.

解答: 解:令 f(x)=cosx+lnx2(x≠0) ,则 f(﹣x)=f(x) ,即 f(x)是偶函数,其图象关于 y 轴对称. ∵ (x≠0) 当 2>x>0 时,y′ ,∴ >0.

由 f(π)=﹣1+2lnπ>0 可知:只有 A 适合. 故选 A. 点评: 熟练掌握偶函数的性质、利用导数研究函数的单调性、数形结合的思想方法等是解题的关键. 8. 分) (5 (2008?浙江)已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则 a1a2+a2a3+…+anan+1=( A.16(1﹣4﹣n) B.16(1﹣2﹣n) C. (1﹣4 )
﹣n

) (1﹣2 )
﹣n

D.

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 首先根据 a2 和 a5 求出公比 q,根据数列{anan+1}每项的特点发现仍是等比数列,且首项是 a1a2=8,公 比为 .进而根据等比数列求和公式可得出答案. 解答: 解:由 ,解得 .

数列{anan+1}仍是等比数列:其首项是 a1a2=8,公比为 ,

所以, 故选 C. 点评: 本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用.应善于从题设条件中发现规律,充分挖掘有 效信息. 9. 分)某学校星期一每班都排 9 节课,上午 5 节、下午 4 节,若该校李老师在星期一这天要上 3 个班的 (5 课,每班 l 节,且不能连上 3 节课(第 5 和第 6 节不算连上) ,那么李老师星期一这天课的排法共有( ) A.474 种 B.77 种 C.462 种 D.79 种 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 概率与统计. 分析: 首先求得不受限制时,从 9 节课中任意安排 3 节排法数目,再求出其中上午连排 3 节和下午连排 3 节的排法数目,进而计算可得答案. 解答: 解:使用间接法, 3 首先求得不受限制时,从 9 节课中任意安排 3 节,有 A9 =504 种排法, 3 其中上午连排 3 节的有 3A3 =18 种, 3 下午连排 3 节的有 2A3 =12 种,

则这位教师一天的课表的所有排法有 504﹣18﹣12=474 种, 故选 A. 点评: 本题考查排列知识的应用,使用间接法求解,考查学生的计算能力,属于中档题. 10. 分) (5 (2010?宁德模拟)如图所示,在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内,曲 y=x 和曲线 y= 围成一 个叶形图(阴影部分) ,向正方形 AOBC 内随机投一点(该点落在正方形 AOBC 内任何一点是等可能的) , 则所投的点落在叶形图内部的概率是( )
2

A.

B.

C.

D.

考点: 几何概型;定积分. 专题: 计算题. 分析: 欲求所投的点落在叶形图内部的概率,须结合定积分计算叶形图(阴影部分)平面区域的面积,再 根据几何概型概率计算公式易求解. 解答: 解:可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型, 由图可知基本事件空间所对应的几何度量 S(Ω)=1, 满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量: S(A)= = .

所以 P(A)=



故选 C. 点评: 本题综合考查了对数的性质,几何概型,及定积分在求面积中的应用,是一道综合性比较强的题目, 考生容易在建立直角坐标系中出错,可多参考本题的做法. 11. 分)设 e1,e2 分别为具有公共焦点 F1 与 F2 的椭圆和双曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点,且 (5 2 2 满足 ? =0,则 4e1 +e2 的最小值为( ) A.3 B. C.4 D.

考点: 双曲线的简单性质;椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用椭圆、双曲线的定义,确定 a2+m2=2c2,利用离心率的定义,结合基本不等式,即可得出结论. 解答: 解:由题意设焦距为 2c,椭圆的长轴长 2a,双曲线的实轴长为 2m,不妨令 P 在双曲线的右支上 由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2m ① 由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a ② 2 2 2 又 ? =0,∴F1PF2=90°,故|PF1| +|PF2| =4c ∠ ③ ①+② 得|PF1| +|PF2| =2a +2m ④ 2 2 2 将④ 代入③ a +m =2c , 得
2 2 2 2 2 2

∴ 1 +e2 = 4e

2

2

= +

≥ +

=

故选 B. 点评: 本题考查椭圆、双曲线的定义,考查基本不等式的运用,属于中档题. 12. 分)定义方程 f(x)=f′ (5 (x)的实数根 x0 叫做函数 f(x)的“新驻点”,若函数 g(x)=x,h(x)=ln 3 (x+1) ,φ(x)=x ﹣1 的“新驻点”分别为 α,β,γ,则 α,β,γ 的大小关系为( ) A.γ>α>β B.β>α>γ C.α>β>γ D.β>γ>α 考点: 导数的运算. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 分别对 g(x) ,h(x) ,φ(x)求导,令 g′ (x)=g(x) (x)=h(x) ,h′ ,φ′ (x)=φ(x) , 则它们的根分别为 α,β,γ,即 α=1,ln(β+1)= 围即可. 解答: 解:∵ (x)=1,h′ g′ (x)= 由题意得: α=1,ln(β+1)= ①ln(β+1)= ∵
β+1 2

,γ ﹣1=3γ ,然后分别讨论 β、γ 的取值范

3

2

,φ′ (x)=3x ,

,γ ﹣1=3γ , ,

3

2

∴ (β+1) =e, 当 β≥1 时,β+1≥2, ∴ β+1≤ <2, ∴ β<1,这与 β≥1 矛盾, ∴ 0<β<1; 3 2 ②γ ﹣1=3γ ,且 γ=0 时等式不成立, ∵ 2 ∴ >0 3γ 3 ∴ >1, γ ∴ γ>1. ∴ γ>α>β. 故答案为 A. 点评: 函数、导数、不等式密不可分,此题就是一个典型的代表,其中对对数方程和三次方程根的范围的 讨论是一个难点. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. ) 13. 分)某种品牌的摄像头的使用寿命 ξ(单位:年)服从正态分布,且使用寿命不少于 2 年的溉率为 (4 0.8,使用寿命不少于 6 年的概率为 0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头,则在 4 年内这两 个摄像头都能正常工作的概率为 .

考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义;相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 概率与统计. 分析: 根据题意 ξ~N(μ,σ2) ,且 P(ξ<2)=P(ξ≥6) ,结合正态分布密度函数的对称性可知,μ=4,从而 得出每支这种摄像头的平均使用寿命,即可得到在 4 年内一个摄像头都能正常工作的概率,最后利 用相互独立事件同时发生的概率的乘法公式即得这两个摄像头都能正常工作的概率. 2 解答: 解:∵ ξ~N(μ,σ ) ,P(ξ≥2)=0.8,P(ξ≥6)=0.2, ∴ P(ξ<2)=0.2, 显然 P(ξ<2)=P(ξ≥6)…(3 分) 由正态分布密度函数的对称性可知,μ=4, 即每支这种灯管的平均使用寿命是 4 年;…(5 分)

∴ 4 年内一个摄像头都能正常工作的概率 , 在 则在 4 年内这两个摄像头都能正常工作的概率为 故答案为: 点评: 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查曲线的变化特点,本题是一个基础题. 14. 分) (4 (2﹣ ) 展开式中不含 x 的所有项的系数和为 ﹣1119 .
8 2

= .

考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 在展开式的通项公式中,令 x 的幂指数 =2,解得 r 的值,可得含 x2 的系数.再根据所有项的系数 和 8 2 为(2﹣1) =1,求得不含 x 的所有项的系数和. 解答: 解: (2﹣ ) 展开式的通项公式为 Tr+1=
2 4 8

?2

8﹣r

?(﹣1) ?

r



令 =2,解得 r=4,故含 x 的系数为 2 ?
8

=1120.
2

而所有项的系数和为(2﹣1) =1,故不含 x 的所有项的系数和为 1﹣1120=﹣1119, 故答案为﹣1119. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的 性质, 属于中档题. 15. 分) (4 (2012?湖北模拟)已知某算法的流程图如图所示,若将输出的(x,y)的值依次记为(x1,y1) , (x2,y2) ,…, n,yn) (x ,若程序运行中输出的一个数组是(t,﹣8) ,则 t 为 81 .

考点: 循环结构. 专题: 图表型. 分析: 由已知中程序框图,我们可以模拟程序的运行结果,并据此分析出程序运行中输出的一个数组是 (t, ﹣8)时,t 的取值. 解答: 解:由已知中的程序框图,我们可得: 当 n=1 时,输出(1,0) ,然后 n=3,x=3,y=﹣2; 2 当 n=3 时,输出(3,﹣2) ,然后 n=5,x=3 =9,y=﹣2×2=﹣4; 3 当 n=5 时,输出(9,﹣4) ,然后 n=7,x=3 =27,y=﹣2×3=﹣6; 4 当 n=7 时,输出(27,﹣6) ,然后 n=9,x=3 =81,y=﹣2×4=﹣8;

当 n=9 时,输出(81,﹣8) , 故 t=81. 故答案为:81. 点评: 本题考查循环结构,在解决程序框图中的循环结构时,常采用利用框图的流程写出前几次循环的结 果,找规律. 16. 分)定义 min{a,b}= (4 则 z 的取值范围是 [﹣10,7] . 考点: 简单线性规划. 专题: 新定义;数形结合;不等式的解法及应用. 分析: 由新定义可得目标函数的解析式,分别由线性规划求最值的方法求各段的取值范围,综合可得. 解答: 解:由题意可得 z=min{4x+y,3x﹣y}= , z=4x+y 的几何意义是直线 y=﹣4x+z 的纵截距, 约束条件为 ,可知当直线 y=﹣4x+z 经过点(﹣2,﹣2)时, ,实数 x、y 满足约束条件 ,设 z=min{4x+y,3x﹣y},

z 取最小值﹣10,经过点(2,﹣1)时,z 取最大值 7, 同理可得 z=3x﹣y 的几何意义是直线 y=3x﹣z 的纵截距的相反数, 约束条件为 ,可知当直线 y=3x﹣z 经过点(﹣2,2)时,

z 取最小值﹣8,经过点(2,﹣1)时,z 取最大值 7, 综上可知 z=min{4x+y,3x﹣y}的取值范围是[﹣10,7], 故答案为:[﹣10,7]

点评: 本题考查简单的线性规划,涉及对新定义的理解,属中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分. ) 17. (12 分)已知函数 f(x)=4 (I)求函数 f(x)在[0, sin (x+
2

)+4sin(x+

)sin(x﹣

)﹣2



]上的值域; ) .

(Ⅱ )若对于任意的 x∈R,不等式 f(x)≤f(x0)恒成立,求 sin(2x0

考点: 三角函数的恒等变换及化简求值;复合三角函数的单调性. 专题: 综合题. 分析: (I)利用利用降幂公式、两角和与差的正弦公式及辅助角公式可将 y=f(x)转化为 f(x)=4sin(2x



)﹣1,再利用复合三角函数的单调性即可求得函数 f(x)在[0,

]上的值域; ) .

(Ⅱ 依题意知, x0) (x) ) ( f 是f 的最大值, 从而可求得 2x0=2kπ+ 解答: 解: (I)∵ f(x)=4 =2 =2 =2 [1﹣cos(2x+
2

(k∈Z) 继而可得 sin , (2x0 )﹣2 .

sin (x+

2

)+4sin(x+

)sin(x﹣

)]+4( sinx+
2

cosx) sinx﹣ (

cosx)﹣2

+2 sin2x+sin x﹣3cos x﹣2 sin2x﹣2cos2x﹣1 )﹣1…4 分

=4sin(2x﹣ ∴ x∈[0, ∴ 2x﹣ ], ∈[﹣



], )≤1,

∴ ≤sin(2x﹣ ﹣ ∴ ﹣3≤f(x)≤3,

∴ 函数 f(x)在[0,

]上的值域为[﹣3,3]…8 分

(Ⅱ 对于任意的 x∈R,不等式 f(x)≤f(x0)恒成立, )∵ ∴ 0)是 f(x)的最大值, f(x 因此 2x0﹣ ∴ 0=2kπ+ 2x ∴ sin(2x0 =2kπ+ (k∈Z) ,

(k∈Z) , )=sin(2kπ+ ﹣ )=sin = …12 分

点评: 本题考查降幂公式、两角和与差的正弦公式及辅助角公式,考查复合三角函数的单调性及正弦函数 的性质,考查三角函数的综合应用,属于中档题. 18. (12 分)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车 每次租车时间不超过两小时免费, 超过两小时的部分每小时收费 2 元 (不足 1 小时的部分按 1 小时计算) 有 . 甲、 乙两人相互独立来该租车点租车骑游 (各租一车一次) .设甲、 乙不超过两小时还车的概率分别为 , ; 两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是为为 , ;两人租车时间都不会超过四小时. (Ⅰ )求甲乙两人所付的租车费用相同的概率. (Ⅱ )设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ξ,求 ξ 的分布列及数学期望 Eξ. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;互斥事件的概率加法公式. 专题: 计算题;应用题. 分析: (Ⅰ )首先求出两个人租车时间超过三小时的概率,甲乙两人所付的租车费用相同即租车时间相同: 都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时三类求解即可. (Ⅱ )随机变量 ξ 的所有取值为 0,2,4,6,8,由独立事件的概率分别求概率,列出分布列,再由 期望的公式求期望即可. 解答: 解: )甲乙两人租车时间超过三小时的概率分别为: , (Ⅰ 甲乙两人所付的租车费用相同的概率 p= (Ⅱ )随机变量 ξ 的所有取值为 0,2,4,6,8 P(ξ=0)= =

P(ξ=2)= P(ξ=4)= P(ξ=6)= P(ξ=8)= 数学期望 Eξ= =

= = =

=

点评: 本题考查独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望,考查利用所学知识解 决问题的能力. 19. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,∠ ACB=90°,平面 PAD⊥ 平面 ABCD, PA=BC=1,PD=AB= ,E、F 分别为线段 PD 和 BC 的中点 (I)求证:CE∥ 平面 PAF; (Ⅱ )求二面角 A﹣PB﹣C 的大小.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题;综合题;数形结合;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (I)由题意,可设出 PA 的中点为 H,连接 HE,HF,在四边形 HECF 中证明 CE 与 HF 平行,从而 利用线平行的判定定理得出结论; (II)由题中条件知,可建立空间坐标系求出两个半平面的法向量,再利用向量夹角公式求二面角的 余弦值,从而得出二面角的大小. 解答: 解: (I)由图知,取 PA 的中点为 H,连接 EH,HF, 由已知, F 分别为线段 PD 和 BC 的中点及底面 ABCD 是平行四边形可得出 HE E、 故可得 HE CF, AD, CF AD

所以四边形 FCEH 是平行四边形,可得 FH CE 又 CE?面 PAF,HF?面 PAF 所以 CE∥ 平面 PAF (II)底面 ABCD 是平行四边形,∠ ACB=90°,可得 CA⊥ AD, 又由平面 PAD⊥ 平面 ABCD,可得 CA⊥ 平面 PAD,所以 CA⊥ PA 又 PA=AD=1,PD= ,可知,PA⊥ AD 建立如图所示的空间坐标系 A﹣XYZ 因为 PA=BC=1,PD=AB= ,所以 AC=1 所以 B(1,﹣1,0) ,C(1,0,0) ,P(,0,0,1) , 设平面 PAB 的法向量为 =(x,y,z) 则可得 又 ,令 x=1,则 y=1,z=0,所以 =(1,1,0) =(﹣1,0,1) ,令 x=1,则 y=0,z=1,所以 =(1,0,1) , =(1,﹣1,0) , =(0,0,1)

=(0,﹣1,0) ,又

设平面 PCB 的法向量为 =(x,y,z) ,则 所以|cos< , >|=

所以二面角 A﹣PB﹣C 的大小为 60°

点评: 本题考查二面角的求法与线面平行的判定,利用空间向量求二面角是一个重要的方法,恰当的建立 空间坐标系是解答此题的关键,本题考查了综合法证明及空间想像能力,是一道有一定难度的综合 题 20. (12 分)已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,an= (I)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ )设 bn= ,数列{bn}的前项 n 和为 Tn,求证:Tn<n+1. (n≥2)

考点: 数列与不等式的综合;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I)利用数列递推式证明数列{ }是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,再求数列{an}的通项公 式; (Ⅱ )确定数列{bn}的通项,利用裂项法求前项 n 和为 Tn,即可得出结论. 解答: (I)解:∵n= a , ∴ n﹣Sn﹣1= S ∴ ﹣ =1(n≥2)

∵1=1, a ∴ =1, ∴ 数列{ ∴ ∴ n=n S
2

}是以 1 为首项,1 为公差的等差数列

∴ 时,an=2n﹣1 n≥2 n=1 时也满足上式 ∴n=2n﹣1; a (II)证明:bn= ∴ n=n+(1﹣ + T ∵ ∴ n<n+1. T 点评: 本题考查数列的通项与求和,考查裂项法的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 21. (12 分) (2012?济宁一模)已知椭圆 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆 =1+ +…+ )= =1+ ,

的短半轴为半径的圆与直线 相切. (Ⅰ )求椭圆的方程; (Ⅱ )设 P(4,0) ,A,B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连接 PB 交椭圆 C 于另一点 E, 证明直线 AE 与 x 轴相交于点 Q(1,0) . 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ )根据椭圆 的离心率为 ,可得

,利用椭圆的短半轴为半

径的圆与直线 相切,可得 b= ,从而可求椭圆的方程; (Ⅱ )由题意知直线 PB 的斜率存在,设方程为 y=k(x﹣4)代入椭圆方程,利用韦达定理,表示出 直线 AE 的方程,令 y=0,化简即可得到结论. 解答: 解: )∵ (Ⅰ 椭圆 ∴ ∵ 椭圆的短半轴为半径的圆与直线 ∴ b= 2 2 ∴ =4,b =3 a ∴ 椭圆的方程为 ;
2 2 2 2

的离心率为 ,∴

相切.

(Ⅱ 由题意知直线 PB 的斜率存在, ) 设方程为 y=k (x﹣4) 代入椭圆方程可得 (4k +3) ﹣32k x+64k x ﹣12=0 设 B(x1,y1) ,E(x2,y2) ,则 A(x1,﹣y1) , ∴1+x2= x ,x1x2=

又直线 AE 的方程为 y﹣y2=

令 y=0,则 x=x2﹣

=

=

=1

∴ 直线 AE 过 x 轴上一定点 Q(1,0) .

点评: 本题考查椭圆的几何性质,考查椭圆的标准方程,解题的关键是确定几何量之间的关系,利用直线 与椭圆联立,结合韦达定理求解 22. (14 分)已知函数 f(x)=ax﹣2lnx﹣ (I)若函数 f(x)在其定义域内为单调函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ )设 g(x)= ,若存在 x∈[1,e],使得 f(x)>g(x)成立,求实数 a 的取值范围.

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (I)确定函数的定义域,求导函数,由导数的正负,分离参数求最值,即可求实数 a 的取值范围; (Ⅱ )g(x)= 范围. 解答: 解: (I)函数的定义域为(0,+∞) , ① f′ 若 (x)≥0,则 ax ﹣2x+a≥0 在(0,+∞)上恒成立,即
2

在[1,e]上是减函数,且 g(x)∈[2,2e].分类讨论求最值,即可求实数 a 的取值

在(0,+∞)上恒成立,



,∴ a≥1,此时函数在(0,+∞)上单调递增;

② f′ 若 (x)≤0,则 ax ﹣2x+a≤0 在(0,+∞)上恒成立,即

2

在(0,+∞)上恒成立,



,∴ a≤0,此时函数在(0,+∞)上单调递减;

综上,a≥1 或 a≤0; (II)g(x)= 在[1,e]上是减函数,且 g(x)∈[2,2e].

① 时,函数 f(x)在[1,e]上是减函数,此时 f(x)max=f(1)=0,不合题意; a≤0 ② 时,函数 f(x)在[1,e]上是增函数,由题意,f(e)>g(e) a≥1 ∴ ∴ ; ∴ f(x)=ax﹣2lnx﹣ ≤ ≤ ﹣2<2,不合题意

② 0<a<1 时,∵ 当 综上, .

点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查存在性问题的研究,考查分类讨论的数学思想, 属于中档题.


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