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山东省邹平县黄山中学2015届高三上学期期中考试数学文试题 Word版含答案


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2015 届高三上期中考试数学(文)
2014.11 本试卷共 4 页,分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分,考 试时间 l20 分钟.

第 I 卷(选择题共 50 分)
一、选择题:本大题共 l0 小题。每小题 5 分,共 50 分.在每小题

给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 设集合 M={0,1,2} ,N= ? x | x 2 ? 3x ? 2≤0? ,则 M ? N =( A. {1} B. {2} C. {0,1} )

D. {1,2} ( )

2.若 i ( x ? yi ) ? 3 ? 4i , x, y ? R ,则复数 x ? yi 的模 A.2 B.3 C.4 D.5

3.已知命题 p 、 q ,则“ p ? q 为真”是“ p ? q 为真”的 A.充分不必要条件 C.充要条件

(

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

4.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a2 =1, a3 =3,则 S 4 等于 ( A 4 B 8

C 16 D 24 9 2 1 5.在等比数列 ?an ? 中,已知 a1 = , an = , q = ,则 n 为 ( ) 3 8 3 A 2 B 3 C 4 D 5 6.已知双曲线的渐近线为 y ? ? 3x ,焦点坐标为(-4,0),(4,0),则双曲线方 程为( A. ) B.

x2 y 2 ? ?1 4 12

x2 y 2 ? ?1 2 4

C.

x2 y 2 ? ?1 24 8

D.

x2 y 2 ? ?1 8 24

7.已知倾斜角为 60°的直线 l 通过抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点,且与抛物线相交于 A,

B 两点,则弦 AB 的长为(
A.4 B.6

) C.10 D.16 )

?? ? 8.为了得到函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图像,可以把函数 y ? sin 2 x 的图像( 6? ?
A. 向右平移 C. 向右平移

?
12

个单位长度

B. 向左平移 D. 向左平移

?
12

个单位长度

? 个单位长度 6

? 个单位长度 6

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9.过点 P(- 3,-1)的直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 有公共点,则直线 l 的倾斜角的取 值范围是( π? ? A. ?0, ? 6? ? ) π? ? B. ?0, ? 3? ? π? ? C. ?0, ? 6? ? π? ? D. ?0, ? 3? ?

x2 y2 10.设 F1,F2 分别为双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在 一点 P 使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 15 C .4 D. 17

第Ⅱ卷

(非选择题共 100 分)

注意事项: 将第Ⅱ卷答案用 0.5mm 的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上. 二、填空题:本大题共 5 小题.每小题 5 分,共 25 分。 4 11.已知角 ? 的终边经过点 P ? m, ?3? ,且 cos ? ? ? ,则 m =________ 5 12.若 tan ?? ? ? ? ?
2 ?? 1 ?? ? ? , tan ? ? ? ? ? ,则 tan ? ? ? ? ? ______________ 5 4? 4 4? ? ?

13. 若曲线 f ? x ? ? ln x ? ax ? a ? R ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线与直线 x ? y ? 1 ? 0 垂 直,则 a =_______________.

? x ? y ?1 ? 0 ? 14. 已 知 x, y 满 足 ? x ? y ? 2 ? 0 , 则 目 标 函 数 z ? x ? 3 y 的 最 小 值 是 ?x ? 2 ?
______________ 15. 运行如图所示的程序框图,则输出的结果 S 为__________

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明.证明过程或演 算步骤. 16. (本小题满分 l2 分) 等比数列 ?an ? 中, a1 =2, a4 =16. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 a3 , a5 分别为等差数列 ?bn ? 的第 4 项和第 16 项,试求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos 2 x ? sin(? ? 2 x) ? 1 . (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 在区间 [0, ] 上的最小值和最大值. 2 18.(本小题满分 12 分)

?

4 ? ,动点 N 在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上运动,线段 MN 的中点为 P. 设定点 M ? ?2,
(1)求中点 P 的轨迹方程; (2)直线 l 与点 P 的轨迹相切,且 l 在 x 轴、 y 轴上的截距相等,求直线 l 的方程. 19.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 且
cos C 3a ? c . ? cos B b

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(1)求 sin B ; (2)若 b ? 4 2, a ? c ,求 ?ABC 的面积. 20.(本小题满分 13 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,且满足 S n ? n = 2an (n∈N*). (1)证明:数列 ?an +1? 为等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn = ? 2n ? 1? an +2n+1,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn. 21.(本小题满分 14 分) 设椭圆 C: 6 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)过点 M(1,1),离心率 e = ,O 为坐标原点. 2 3 a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 是圆 O:x 2 ? y 2 ? 1 的任意一条切线, 且直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,求证:→ OA·→ OB为定值.

高三数学(文)参考答案
一、 选择题: 1-5 D D A B C 6-10 A D A B D 二、填空题: 3 11. - 4 12. 13. 2 14. - 7 15.1007 22 三、解答题: 16.解:(1)设{an}的公比为 q, 由已知得 16=2q3,解得 q=2. 又 a1=2,所以 an=a1qn-1=2×2n-1=2n. (2)由(1)得 a3=8,a5=32,则 b4=8,b16=32,

2014.11

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?b1 ? 3d ? 8, 设{bn}的公差为 d,则有 ? ?b1 ? 15d ? 32,
则数列{bn}的前 n 项和 n(n ? 1) n(n ? 1) Sn=nb1+ d=2n+ ×2=n2+n. 2 2

?b1 ? 2, 解得 ? ?d ? 2.

? 17 解: (1)∵ f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 sin(2 x ? ) 4 2? ∴T ? ?? . 2
?? ? ? ? 5? ? (2)∵ x ? ? 0, ? ,∴ 2 x ? ? ? , ? , ? 4 ?4 4 ? ? 2?
当 2x ? 当 2x ?

? ? 2 ? ∴ sin(2 x ? ) ? ? ? ,1? . 4 ? 2 ?

?

时, f ( x) 的最大值为 2 . 4 2 8 考点:降幂公式、诱导公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的 最值. 18.解: (1)设 P 点坐标为 ? x, y ? ,N 点坐标为 ? x0 , y0 ? ,则由中点坐标公式得

?

4

? ?

5? ? ,即 x ? 时, f ( x) 的最小值为 ?1 ; 4 2

?

,即 x ?

?

? x0 ? 2 x ? 2 ? ? y0 ? 2 y ? 4
2

因为 N 点在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上,所以 x0 2 ? y0 2 ? 4
2 2 2

所以 ? 2 x ? 2 ? ? ? 2 y ? 4 ? ? 4 ,即点 P 轨迹方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 (2)因为 l 在 x 轴、 y 轴上的截距相等,故 l 的斜率存在且不为 0. 当 l 在 x 轴、 y 轴上的截距都为 0 时,设 l 的方程为 y ? kx, 即kx ? y ? 0. 则

-k ? 2
2

3 3 ? 1 ? k ? ? , 故 l 方程为 y ? ? x . 4 4 k ?1
x y ? ? 1,即x ? y ? a ? 0 则 a b

当 l 在 x 轴、 y 轴上的截距都不为 0 时,设 l 方程为

-1+2 ? a 1?1

? 1,解得a ? 2 ? 1或1 ? 2

故 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 2 ? 0或x ? y ? 1 ? 2 ? 0 . 综上可知 l 的方程为 3 x ? 4 y ? 0或 x ? y ? 1 ? 2 ? 0或x ? y ? 1 ? 2 ? 0 . 19.解:(1)在 ?ABC 中,由正弦定理可得
a sin A c sin C ? , ? b sin B b sin B

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cos C 3a ? c cos C 3 sin A ? sin C ,所以 ? ? cos B b cos B sin B 即 sin B cos C ? cos B sin C ? 3 sin A cos B

又因为

∴ sin( B ? C ) ? 3 sin B cos C 又 B ? C ? ? ? A ,所以 sin( B ? C ) ? sin A ∴ sin A ? 3 sin A cos B ,又因为 sin A ? 0 1 ∴ cos B ? ,又因为 0 ? B ? ? 3
? sin B ? 1 ? cos 2 B ? 1 ?

1 2 2 ? 9 3

(2) 由 余 弦 定 理 得 cos B ?

a 2 ? c2 ? b2 1 , 将 b ? 4 2, cos B ? 代 入 得 2ac 3

2 4 又 a ? c ,故 c 2 ? 32 ? c 2 ? 24 a 2 ? c 2 ? ac ? 32 3 3 1 1 ∴ S ?ABC ? ac sin B ? c 2 sin B ? 8 2 . 2 2 考点:1.正弦定理;2.余弦定理;3.同角三角函数的基本关系式;4.三角形的面 积计算公式.

20.解:(1)证明:因为 Sn+n=2an, 所以 S n ?1 =2 an ?1 -(n-1)(n≥2,n∈N*). 两式相减得 an=2 an ?1 +1. 所以 an+1=2( an ?1 +1)(n≥2,n∈N*), 所以数列{an+1}为等比数列,公比为 2. 因为 Sn+n=2an,令 n=1 得 a1=1,a1+1=2, 所以 an+1=2n,所以 an=2n-1. (2)解:因为 bn=(2n+1)an+2n+1,所以 bn=(2n+1)·2n. 所以 Tn=3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)· 2n ?1 +(2n+1)·2n,① 2Tn=3×22+5×23+…+(2n-1)·2n+(2n+1)· 2 n ?1 ,② ①-②得: -Tn=3×2+2(22+23+…+2n)-(2n+1)· 2 n ?1

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=6+2×

22 ? 2n ?1 -(2n+1)· 2 n ?1 1? 2

=-2+ 2 n ? 2 -(2n+1)· 2 n ?1 =-2-(2n-1)· 2 n ?1 . 所以 Tn=2+(2n-1)· 2 n ?1 . 21【解】

c 6 ,∴a2=3b2, a 3 x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 2+ 2=1. 3b b
(1)因为 e= =

4 又∵椭圆 C 过点 M(1,1),代入方程解得 a2=4,b2= , 3 2 2 x 3y ∴椭圆 C 的方程为 + =1 4 4 (2) ①当圆 O 的切线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx+m, |m| 则圆心 O 到直线 l 的距离 d= 2 =1,∴1+k2=m2 k +1 将直线 l 的方程和椭圆 C 的方程联立, 得到关于 x 的方程为(1+3k2)x2+6kmx +3m2-4=0 设直线 l 与椭圆 C 相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 6km ? x +x =- , ? 1+3k ? 3m -4 xx= ? 1+3k ?
1 2 2 2 1 2 2

∴→ OA·→ OB=x1x2+y1y2 =(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2 6km ? 3m2-4 ? 2 2 =(1+k )· 2?+m 2+km·?- 1 + 3 k 1+3k ? ? 2 2 4m -4-4k = =0, 1+3k2 ②当圆的切线 l 的斜率不存在时,验证得→ OA·→ OB=0. 综合上述可得,→ OA·→ OB为定值 0.


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