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专题3:不等式问题的题型与方法(文科)


专题三:不等式问题的题型与方法(文科)
一、 考点回顾 1.高考中对不等式的要求是:理解不等式的性质及其证明;掌握两个(不扩展到三个)正数的算术 平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用; 掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不 等式;掌握简单不等式的解法;理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2.不等式这部分内容在高考中通过两面考查,一是单

方面考查不等式的性质,解法及证明;二是将 不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇 起来进行考查,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高学生数学素质及创新意识. 3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化归为 较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不 等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰. 4.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法.要依据 题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的 步骤,技巧和语言特点.比较法的一般步骤是:作差(商)→变形→判断符号(值). 5.在近几年全国各省市的高考试卷中,不等式在各种题型中都有出现。在解答题中,不等式与函数、 数列与导数相结合,难度比较大,使用导数解决逐渐成为一般方法 6.知识网络 比较法 综合法 分析法 数学归纳法 换元法 反证法 导数法

不 等 式 的 性 质 不 等 式 基 本 不 等 式

不 等 式 的 证 明

不 等 式 的 应

不 等 式 的 解 法

有理不等式 无理不等式 指数不等式 对数不等式 绝对不等式



定义域 值域 单调性 根的分布 最值问题 范围问题 实际应用

其中:指数不等式、对数不等式、无理不等式只需了解,不做过高要求.
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二、 经典例题剖析 1.有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中,一般与函数的值域,最值与比较大小等常结合在一起 例 1.(2006 年江西卷)若 a?0,b?0,则不等式-b? A. -
1 b 1 x 1 x 1 a 1 b

?a 等价于( 或 x?
1 b 1 a


1 b

?x?0 或 0?x?

1 a 1 x

B.-

1 a

?x?
1 x

1 b

C.x?-

D.x? -

或 x?

1 a

解析:-b? 答案:D

?a 等价于-b?

<0 或 0<

?a 等价于 x? -

或 x?

点评:注意不等式 a ? b ?

1 a

?

1 b

和适用条件是 ab ? 0 )

例 2.(2007 年北京卷)如果正数 a, b, c, d 满足 a ? b ? cd ? 4 ,那么( A. a b ≤ c ? d ,且等号成立时 a, b, c, d 的取值唯一 B. a b ≥ c ? d ,且等号成立时 a, b, c, d 的取值唯一 C. a b ≤ c ? d ,且等号成立时 a, b, c, d 的取值不唯一 D. a b ≥ c ? d ,且等号成立时 a, b, c, d 的取值不唯一

解析:正数 a, b, c, d 满足 a ? b ? cd ? 4 ,∴ 4= a ? b ? 2 a b ,即 a b ? 4 ,当且仅当 a=b=2 时, “=”成立;又 4= c d ? (
c?d 2 ) ,∴ c+d≥4,当且仅当 c=d=2 时,“=”成立;综上得 a b ≤ c ? d ,
2

且等号成立时 a, b, c, d 的取值都为 2 答案:A 点评:本题主要考查基本不等式,命题人从定值这一信息给考生提供了思维,重要不等式可以完成和 与积的转化,使得基本不等式运用成为现实。 例 3.(2007 年安徽)若对任意 x ? R,不等式 x ≥ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是 (A)a<-1 (B) a ≤1 (C) a <1 (D)a≥1

解析:若对任意 x ? R,不等式 x ≥ax 恒成立,当 x≥0 时,x≥ax,a≤1,当 x<0 时, -x≥ax,∴a≥-1,综上得 ? 1 ? a ? 1 ,即实数 a 的取值范围是 a ≤1,选 B。

2. 有关不等式的解法 此类问题在高考中选择题,填空题及解答题中均有出现,并且这几年考查也为较为平凡,要求掌握几
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种简单的不等式的解法,如分式不等式,高次不等式,无理不等式及含有绝对值的不等式的解法,特别要 注意含参数不等式,这类问题经常一集合结合在一起出现在解答题中。 例 4.(2007 年安徽)解不等式 (| 3 x ? 1 | ? 1)(sin x ? 2 ) >0 解析:因为对任意 x ? R , sin x ? 2 ? 0 ,所以原不等式等价于 3 x ? 1 ? 1 ? 0 .即 3 x ? 1 ? 1 ,
? 1 ? 3 x ? 1 ? 1 , 0 ? 3 x ? 2 ,故解为 0 ? x ?

2 3



所以原不等式的解集为 ? x 0 ? x ?
?

?

2? ? 3?

点评:本题将绝对不等式与三角函数知识结合起来考查,属中档题 例 5 . ( 2007 年 湖 北 卷 ) 设
P ?
P

和 Q 是两个集合,定义集合 等于( )

P ? Q ? ? x | x ? P, 且 x ? Q ?

,如果

? x|

l o g x ? ? , Q ? ? x | x ? 2 ? 1? ,那么 P ? Q 1 2 x ? 1?
x ? 2?

A. ? x | 0 ? C. ? x | 1 ≤

B. ? x | 0

? x ≤ 1? x ? 3?

D. ? x | 2 ≤

解析:先解两个不等式得 P ? ? x 0 ? x ? 2 ? , Q ? ? x 1 ? x ? 3? 。由 P 答案:B

?Q

定义选B

点评:本题通过考察两类简单不等式的求解,进一步考察对集合的理解和新定义的一种运算的应用, 体现了高考命题的创新趋向。此处的新定义一般称为两个集合的差。 注意点:对新定义理解不全,忽略端点值而误选A,以及解 P
? cx ? 1 ? 例 6 . ( 2007 年 江 西 卷 ) 已 知 函 数 f ( x ) ? ? ? x 2 ?2 c ? k ?
? ? x | lo g 2 x ? 1?

时出错。

(0 ? x ? c )

1) 在 区 间 (0, 内 连 续 , 且
( c ≤ x ? 1)

f (c ) ?
2

9 8

.(1)求实数 k 和 c 的值;(2)解不等式 f ( x ) ?
9 8

2 8

?1.
9 8 1 2

2 解析:(1)因为 0 ? c ? 1 ,所以 c ? c ,由 f ( c ) ?
2

,即 c ? 1 ?
3

,c ?



?1 ? x ?1 ?2 又因为 f ( x ) ? ? ? 2 ?4 x ? k ? ?

1? ? ?0 ? x ? ? 2? ? ?1 ? ? ≤ x ? 1? ?2 ?

在x ?

1 2

处连续,

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所以 f ?

5 ?1? ?2 ? ? 2 ? k ? ,即 k ? 1 . 4 ?2?

?1 ? x ?1 ?2 (2)由(1)得: f ( x ) ? ? ? 2 ?4 x ? 1 ? ?

1? ? ?0 ? x ? ? 2? ? ?1 ? ? ≤ x ? 1? ?2 ?
2 4 1 2

由 f (x) ?
1 2

2 8

? 1 得,当 0 ? x ?
1 2 5 8

1 2

时,解得

? x ?





≤ x ? 1 时,解得

≤ x ?


2 4 5? ? ?. 8? ?

所以 f ( x ) ?

? ? ? 1 的解集为 ? x 8 ? ?

2

? x ?

点评:本题在分段函数的背景下考查不等式的解法,巧妙地将连续结合在一起,近几年来这类以分段 函数为背景下的命题很多,逐步形成了热点问题,很值得重视

3.有关不等式的证明 不等式的证明非常活跃,它可以和很多知识如函数、数列、三角、导数等相联系,证明时不仅要用到 不等式的相关知识,还要用到相关的技能、技巧,应注意加强逻辑推理能力的训练。 例 7.(2006 年天津卷)已知数列 ? x n ? 满足 x1 ? x 2 ? 1 并且
n ? 2 , 3 ,

x n ?1 xn

? ?

xn x n ?1

, (?

为 非 零 参 数 ,

4 , . . . ) .

(I)若 x1 、 x 3 、 x 5 成等比数列,求参数 ? 的值; (II)设 0 ? ? ? 1 ,常数 k ? N 且 k ? 3,
*

证明:

x1 ? k x1

?

x2? k x2

? ... ?

xn?k xn

?

?

k k

1? ?

( n ? N ).
*

(I)解:由已知 x1 ? x 2 ? 1, 且
x3 x2 ? ? x2 x1 ? x3 ? ? , x4 x3 ? ? x3 x2 ? x4 ? ? ,
3

x5 x4

? ?

x4 x3

? x5 ? ? .
6

若 x1 、 x 3 、 x 5 成等比数列,则 x 3 ? x1 x 5 , 即 ? ? ? . 而 ? ? 0 , 解得 ? ? ? 1 .
2
2 6

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(II) 证明: a n ? 设

x n ?1 xn

, 由已知, 数列 ? a n ? 是以

x2 x1

? 1 为首项、? 为公比的等比数列, 故

x n ?1 xn

? ?

n ?1

,



xn?k xn

?

xn?k

.

x n ? k ?1

...

x n ?1 xn

? ?

n?k ?2

.?

n? k ?3

...?

n ?1

? ?

kn ?

k (k ?3) 2

.

x n ? k ?1 x n ? k ? 2
*

因此,对任意 n ? N ,
x1 ? k x1
k (k ?3)

?

x2? k x2

? ... ?

xn?k xn

? ?

k?

k (k ?3) 2

??

2k?

k (k ?3) 2

? ... ? ?

kn ?

k (k ?3) 2

k (k ?3)

? ?

2

(?

k

??

2k

? ... ? ?

nk

)? ?

2

? (1 ? ?
k

nk

)

1? ?
nk

k

.

k (k ?3)

当 k ? 3 且 0 ? ? ? 1 时, 0 ? ?
x1 ? k x1 ? x2? k x2 ? ... ?

2

? 1, 0 ? 1 ? ?
?

? 1, 所以
*

xn?k xn

?

k k

1? ?

( n ? N ).

点评:本题以数列的递推关系为载体,主要考查等比数列的等比中项及前 n 项和公式、等差数列前 n 项和公式、不等式的性质及证明等基础知识,考查运算能力和推理论证能力

4.有关不等式的综合问题 例 8.用一块钢锭烧铸一个厚度均匀,且表面积为 2 平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高 为 h 米,盖子边长为 a 米, (1)求 a 关于 h 的解析式; (2)设容器的容积为 V 立方米, 则当 h 为何值时, 最大?求出 V 的最大值(求 V 解本题时,不计容器厚度) 解析
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①设 h′是正四棱锥的斜高,由题设可得

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1 ? 2 a ? 4 ? h ?a ? 2 ? ? 2 ? 1 2 ? a 2 ? a ? h 12 ? 4 ?

消去 h ?.解得 : a ?
h

1
2

(a ? 0) ?1

②由 V ?

1 3

a h ? 3( h

2

h
2

? 1)

(h>0)

得 V ?

1 3( h ? 1 h )

而h ?

1 h

? 2

h?

1 h

? 2

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所以 V≤

1 6

,当且仅当 h=

1 h

即 h=1 时取等号
1 6

故当 h=1 米时,V 有最大值,V 的最大值为 点评 注意
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立方米

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本题主要考查建立函数关系式,棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值 在求得 a 的函数关系式时易漏 h>0
3 2

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例 9.(2007 年全国卷 I)设函数 f ( x ) ? 2 x ? 3 a x ? 3 b x ? 8 c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值。 (Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)若对任意的 x ? [0, 3] ,都有 f ( x ) ? c 成立,求 c 的取值范围。
2 2 解析:(Ⅰ) f ? ( x ) ? 6 x ? 6 a x ? 3 b ,因为函数 f ( x ) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ? (1) ? 0 ,

? 6 ? 6 a ? 3 b ? 0, f ? ( 2 ) ? 0 .即 ? ,解得 a ? ? 3 , b ? 4 . ? 2 4 ? 1 2 a ? 3 b ? 0.
3 2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, f ( x ) ? 2 x ? 9 x ? 1 2 x ? 8 c , f ? ( x ) ? 6 x ? 1 8 x ? 1 2 ? 6 ( x ? 1)( x ? 2 ) .

1) 2 3) 当 x ? (0, 时, f ? ( x ) ? 0 ;当 x ? (1, ) 时, f ? ( x ) ? 0 ;当 x ? ( 2, 时, f ? ( x ) ? 0 .

所以,当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8 c ,又 f (0 ) ? 8 c , f (3) ? 9 ? 8 c .
3 则当 x ? ? 0,? 时, f ( x ) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8 c . 3 因为对于任意的 x ? ? 0,? ,有 f ( x ) ? c 恒成立,所以
2

9 ? 8c ? c ,解得
2

c ? ? 1 或 c ? 9 ,因此 c

? ? 的取值范围为 ( ? ? , 1) ? (9, ? ) .

点评:本题将导数、极值的应用、恒成立问题的解法交汇在一起考查,要求要有较强的运用数学知识 解决问题的能力。 例 10(2007 年福建卷)已知函数 f(x)= -kx,. (1)若 k=e,试确定函数 f(x)的单调区间; (2)若 k>0,且对于任意 确定实数 k 的取值范围;

(3)设函数 F(x)=f(x)+f(-x),求证:F(1)F(2)?F(n)>
x x 解析:(Ⅰ)由 k ? e 得 f ( x ) ? e ? e x ,所以 f ? ( x ) ? e ? e .



)。

? 由 f ? ( x ) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递增区间是 (1, ? ) ,

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1) 由 f ? ( x ) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递减区间是 ( ? ? , .

(Ⅱ)由 f ( ? x ) ? f ( x ) 可知 f ( x ) 是偶函数. 于是 f ( x ) ? 0 对任意 x ? R 成立等价于 f ( x ) ? 0 对任意 x ≥ 0 成立. 由 f ? ( x ) ? e ? k ? 0 得 x ? ln k .
x x ①当 k ? (0, 时, f ? ( x ) ? e ? k ? 1 ? k ≥ 0 ( x ? 0 ) . 1]

此时 f ( x ) 在 [0, ? ) 上单调递增. ? 故 f ( x ) ≥ f (0 ) ? 1 ? 0 ,符合题意.
? ②当 k ? (1, ? ) 时, ln k ? 0 .

当 x 变化时 f ? ( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:
x
f ?( x ) f (x) (0, k ) ln

ln k

(ln k , ? ) ?

?

0

?

单调递减

极小值

单调递增

? 由此可得,在 [0, ? ) 上, f ( x ) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k .
? 依题意, k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1, 1 ? k ? e .

综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e . (Ⅲ)? F ( x ) ? f ( x ) ? f ( ? x ) ? e ? e
x ?x


? x1 ? x 2

? F ( x1 ) F ( x 2 ) ? e ? F (1) F ( n ) ? e
n ?1

x1 ? x 2

?e

? ( x1 ? x 2 )

?e

x1 ? x 2

?e

? e

x1 ? x 2

?e

? ( x1 ? x 2 )

?2? e

x1 ? x 2

?2,

?2,
n ?1

F ( 2 )F (n? ?? F ( n ) F ( 1? )

1? )

e ?

2

n ?1

e?

2.
2 n ?1

由此得, [ F (1) F ( 2 ) ? F ( n )] ? [ F (1) F ( n )][ F ( 2 ) F ( n ? 1)] ? [ F ( n ) F (1)] ? (e
n

? 2)

n

故 F (1) F ( 2 ) ? F ( n ) ? (e

n ?1

? 2) 2, n ? N .

?

点评:本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识,考查运用导数研究函数性质

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的方法,考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法,考查分析问题、解决问题的能力.

三、 方法总结与 2008 年高考预测 (一)方法总结 1.熟练掌握不等式的基本性质,常见不等式的解法,二元的重要不等式及应用,不等式的常用证明 方法 2.数学中有许多相似性,如数式相似,图形相似,命题结论的相似等,利用这些相似性,通过构造 辅助模型,促进转化,以期不等式得到证明。可以构造函数、方程、数列、向量、复数和图形等数学模型, 针对欲证不等式的结构特点,选择恰当的模型,将不等式问题转化为上述数学模型问题,顺利解决不等式 的有关问题。 (二)2008 年高考预测 在近年的高考中,不等式的考查有选择题、填空题、解答题都有,不仅考查不等式的基础知识,基 本技能,基本方法,而且还考查了运算能力,分析问题、解决问题的能力。解答题以函数、不等式、数列 导数相交汇处命题,函数与不等式相结合的题多以导数的处理方式解答,函数不等式相结合的题目,多是 先以直觉思维方式定方向,以递推、数学归纳法等方法解决,具有一定的灵活性。 由上述分析,预计不等式的性质,不等式的解法及重要不等知识将以选择题或填空的形式出现;解 答题可能出现解不等与证不等式。如果是解不等式含参数的不等式可能性比较大,如果是证明题将是不等 式与数列、函数、导数、向量等相结合的综合问题,用导数解答这类问题仍然值得重视。

四、 强化训练 (一) 选择题 1.设 a, b 是非零实数,若 a ? b ,则下列不等式成立的是( A. a ? b
2 2

) D.
b a ? a b

B. ab

2

? a b
2

C. A, a
? 1 2

1 ab
2

?

1 a b
2

解析:C 用 a 答案:选 C

? ? 2, b ? 1 可以排除

,b ? 2

可以排除 B,D,故选 C

评注:解选择题时一定注意解题方法,特值检验对有些选择题是正确快捷的选择。 2.下列四个数中最大的是( A. (ln 2 )
2

) C. ln
2

B. ln (ln 2 )

D. ln 2
1 2

解析:∵ 0 ? ln 2 ? 1 ,∴ ln(ln2)<0,(ln2)2< ln2,而 ln 2 =

ln2<ln2,∴ 最大的数是 ln2,选 D。

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答案:选 D 3.已知不等式 ( x ? y )(
1 x ? a y ) ? 9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为(

)

A.2 解析: (x ? y) ( ?
x 1 x a y 1 a y

B.4
) ? 1? a ? y x ax ? y

C.6
?1 ? a ?2 a

D.8

??

a

??1 , 当 y ?
2

a x 等号成立,所以

( x ? y )(

?

) 的最小值为

?

a ?1

?

2

, ? a ? 1? ? 9 , ? a ? 4
2

答案:选 B 4.函数 y ?
lo g 1 ( x ? 1) 的定义域为(
2 2



(A) [ ? 2 , ? 1) ? (1 , (C) [ ? 2 , ? 1) ? (1 ,

2] 2]

(B) ( ? 2 , ? 1) ? (1 , (D) ( ? 2 , ? 1) ? (1 ,
2 2

2) 2)

解析:要使函数有意义,则 lo g 1 ( x ? 1) ? 0 ? 0 ? x ? 1 ? 1 ? ? 2 ? x ? ? 1或 1 ? x ?
2

2

答案:选 A. 5.设 f ( x ) ? lg ( A. ( ? 1, 0 )
2 1? x ? a ) 是奇函数,则使 f ( x ) ? 0 的 x 的取值范围是(



B. (0 ,1)

C. ( ? ? , 0 )
x x x x ?1

D. ( ? ? , 0 ) ? (1, ? ? )

解析:由 f ( 0 ) ? 0 得 a ? ? 1

?1 ? ?1 ? 1? x ? f ( x ) ? lg ? 0 得? 1? x ?1 ? ?1 ? ?

? 0
? ?1 ? x ? 0

选A

答案:选 A
? ? ( x ? 1) 2 ( x ? ? 1) ? f(x)= ? 2 x ? 2 ( ? 1 ? x ? 1 ) ?1 ? ? 1( x ? 1 ) ?x
1 2

6.设函数

,已知 f(a)>1,则 a 的取值范围是( )

A

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(-∞,-2)∪(- (-∞,-2)∪(-
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,+∞) ,1)
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B

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(- D
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1 2



1 2

)
1 2

C

1 2

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(-2,-

)∪(1,+∞)

解析

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由 f(x)及 f(a)>1 可得

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?a ? ?1 ? 2 ? ( a ? 1) ? 1



?? 1 ? a ? 1 或? ?2a ? 2 ? 1



?a ? 1 ? 或?1 ? ?1?1 ?a



解①得 a<-2,解②得-

1 2

<a<1,解③得 x∈ ?
1 2

∴a 的取值范围是(-∞,-2)∪(- 答案
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,1)

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源头学子 小屋
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7.定义在 R 上的奇函数 f(x)为增函数,偶函数 g(x)在区间[0,+∞)的图像与 f(x)的图 像重合,设 a>b>0,给出下列不等式,其中正确不等式的序号是( ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b) ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a) A
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