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广东省汕头一中4月高三模拟考试文科数学试题


广东省汕头一中 2013 年 4 月高三模拟考试 数学(文科)试题
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的, 请将答案填在答题卡上。) 1.
A.
2 B 已知全集 U ? R , 集合 A ? x ?2 ? x ? 2 , ? x x ? 2 x ? 0 , A ? B

? 则

?

?

?

?

( )

? 0, 2?

B.

? 0, 2?

C.

?0, 2?

D.

?0, 2?

2.

下列函数中既是奇函数,又在区间 ?0,??? 上单调递增的是

A.

y ? sin x

B.

y ? ?x 2

C.

y ? e|x|

D.

y ? x3

3.

sin 515? ? cos35? ? cos 25? ? cos 235? 的值为
-

A.

3 2
? ABC
)

B.

3 2


C.

1 2

D.



1 2

4.

在 (



s a

A i ?

B n b



c



o

s ?B

=

A.

? 3

B.

? 4

C.

? 2

D.

? 6
( )

5.

在等比数列 ?an ? 中, n 项和为 S n , S 3 ? 7, S 6 ? 63 , 前 若 则公比 q 的值是

A.
6.

2

B.

?2

C.

3

D.

?3

2 已知双曲线的中心在坐标原点,离心率 e ? 2 ,且它的一个顶点与抛物线 y ? ?8x 的焦

点 (
A.

重 )



,









线









x2 ?

y2 ?1 3

B.

x2 ? y2 ? 1 3

C.

x2 y2 ? ?1 12 4
3

D.

x2 y2 ? ?1 4 12

7.

若实数 a, b, c, d 成等比数列, 且曲线 y ? 3x ? x 的极大值点坐标为 (b, c ) , ad 为 则 ( )

第 1 页 共 1 页

A.

2

B.

C.

?1

D.

?2

8.

已 知 正 方 体 外 接 球 的 体 积 是 ( )

32 ? , 那 么 正 方 体 的 棱 长 等 于 3

A.

2 2

B.

2 3 3

C.

4 2 3

D.

4 3 3

9.

已知 m , n 是两条不重合的直线, ? , ? , ? 是三个两两不重合的平面.给出下列的 四个命题: ①若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ? ; ②若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? ; ③若 m ? ? , n ? ? , m // n ,则 ? // ? ; ④若 m , n 是异面直线, m ? ? , m // ? , n ? ? , n // ? ,则 ? // ? , 其中真命题是 ( )
B.

A.

①和②

①和③

C.

③和④

D.

① ④

10. 已知定义在 R 上的函数 f (x) 是偶函数,对 x ? R都 有f (2 ? x) ? f (2 ? x),当f (?3) ? ?2

) 时, f (2007 的值为
A.

( )

2

B.

?2

C.

4

D.

?4

第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 5 小题,考生做答 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) (一)必做题(11~13 题)

1 x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 ,则 m 的值为___ 11. 若焦点在 x 轴的椭圆 2 2 m

_

2 12. 已知函数 f ( x) ? 6ln x( x ? 0)和g (x ) ? ax ? 8x ? 3( a 为常数)的图象在 x ? 3 处有

第 2 页 共 2 页

公共切线.则 a =___

_

13. 一个数列的前 n 项和 Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ?? (?1)n?1 n ,则 S17 ? S33 ? S50 ?

(二)选做题(14~15 题考生只能从中选作一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)极坐标系内的曲线 ? ? 2sin ? 的中心 O 与点 D ?1, ? ? 的 距离 为 __________。 15. (几何证明选讲选做题)如图, AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上,CD ? AB 于点

D,
且 AD ? 4 DB ,设 ?COD ? ? ,则 cos 2? = .

三.解答题(本大题共有 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 16.(本小题满分 12 分) 如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形. (Ⅰ)画出这个几何体的直观图; (Ⅱ)若等腰直角三角形的直角边的长为 a ,求这个几何体的体积.

正视图

侧视图

俯视图 17.(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (1,cos ? x) , n ? (sin ? x, 3) ( ? ? 0 ) ,函数 f ( x) ? m ? n 且 f ( x ) 图像上

??

?

第 3 页 共 3 页

一个最高点的坐标为 (

?
12

,2) ,与之相邻的一个最低点的坐标为 (

7? , ?2) . 12

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式。 (Ⅱ)在 ? ABC 中,a、b、c 是角 A、B、C 所对的边,且满足 a ? c ? b ? ac ,求角 B
2 2 2

的大小以及 f ( A) 取值范围。

18.(本小题满分 14 分)

1 2 ax ? 2 x ? ln x 2 (Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f (x) 的极值. (Ⅱ)当 a ? 0 时,若 f (x) 是减函数,求 a 的取值范围;
已知函数 f ( x) ?

19.(本小题满分 14 分) 如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的中点. 1 (Ⅰ)求证: EF //平面 ABC1D1 ; (Ⅱ)求证: EF ? B1C ; (Ⅲ)求三棱锥 B1 ? EFC 的体积.
A1 E D1 B1

C1

D F A B

C

第 4 页 共 4 页

20.(本小题满分 14 分) 椭圆 C :

3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 两焦点分别为 F ? F2 , M ( x0 , y0 ) 是椭圆 C 点 1 2 5 a b

上一点,且 ?F1F2 M 的周长为 16 ,设线段 MO ( O 为坐标原点)与圆 O ? x2 ? y 2 ? r 2 交于 点 N ,且线段 MN 长度的最小值为 (Ⅰ)求椭圆 C 以及圆 O 的方程; (Ⅱ)当点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上运动时,判断直线 l : x0 x ? y0 y ? 1 与圆 O 的位置关系.
y

15 . 4

M N O x

21.(本小题满分 14 分) 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 为 和 Sn , 点 ( n,

Sn 1 11 ) 在 直 线 y ? x ? 上 . 数 列 {bn } 满 足 2 2 n

第 5 页 共 5 页

bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0 (n ? N * ),且b3 ? 11,前 9 项和为 153.
(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ?

k 3 ,数列{cn}的前 n 和为 Tn ,求使不等式 Tn ? 对一切 57 (2an ? 11)(2bn ? 1)

n ? N * 都成立的最大正整数 k 的值.

2013 年 4 月汕头一中高三模拟考试 数学(文科)试题答题卷
班级:
一 题号 1-10 评分 11-15 16 17 18 19 20 21

姓名:


考生号:


试室号:____试室

总分

一、选择题:请将答案填在答题卡上。 二、填空题:请将答案填在相应题号的空格上。 11.________________ 14.________________ 12.________________ 15.________________ 13.________________

三.解答题:解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。 16.(本小题满分 12 分)

第 6 页 共 6 页

如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形. (Ⅰ)画出这个几何体的直观图; (Ⅱ)若等腰直角三角形的直角边的长为 a ,求这个几何体的体积.

正视图

侧视图

俯视图

17.(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (1,cos ? x) , n ? (sin ? x, 3) ( ? ? 0 ) ,函数 f ( x) ? m ? n 且 f ( x ) 图像上 一个最高点的坐标为 (

??

?

?
12

,2) ,与之相邻的一个最低点的坐标为 (

7? , ?2) . 12

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式。 (Ⅱ)在 ? ABC 中,a、b、c 是角 A、B、C 所对的边,且满足 a ? c ? b ? ac ,求角 B
2 2 2

的大小以及 f ( A) 取值范围。

18.(本小题满分 14 分)

第 7 页 共 7 页

1 2 ax ? 2 x ? ln x 2 (Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f (x) 的极值. (Ⅱ)当 a ? 0 时,若 f (x) 是减函数,求 a 的取值范围;
已知函数 f ( x) ?

19.(本小题满分 14 分)

第 8 页 共 8 页

如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的中点. 1 (Ⅰ)求证: EF //平面 ABC1D1 ; (Ⅱ)求证: EF ? B1C ; (Ⅲ)求三棱锥 B1 ? EFC 的体积.
A1 E D1 B1

C1

D F A B

C

第 9 页 共 9 页

20.(本小题满分 14 分) 椭圆 C :

3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 两焦点分别为 F ? F2 , M ( x0 , y0 ) 是椭圆 C 点 1 2 5 a b

上一点,且 ?F1F2 M 的周长为 16 ,设线段 MO ( O 为坐标原点)与圆 O ? x2 ? y 2 ? r 2 交于 点 N ,且线段 MN 长度的最小值为 (Ⅰ)求椭圆 C 以及圆 O 的方程; (Ⅱ)当点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上运动时,判断直线 l : x0 x ? y0 y ? 1 与圆 O 的位置关系.
y

15 . 4

M N O x

21.(本小题满分 14 分) 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 为 和 Sn , 点 ( n,

Sn 1 11 ) 在 直 线 y ? x ? 上 . 数 列 {bn } 满 足 2 2 n

第 10 页 共 10 页

bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0 (n ? N * ),且b3 ? 11,前 9 项和为 153.
(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ?

k 3 ,数列{cn}的前 n 和为 Tn ,求使不等式 Tn ? 对一切 57 (2an ? 11)(2bn ? 1)

n ? N * 都成立的最大正整数 k 的值.

2013 年 4 月汕头一中高三模拟考试

第 11 页 共 11 页

数学(文科)试题答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1 C 2 D 3 B 4 B 5 A 6 D 7 A 8 D 9 D 10 B

二、填空题: 本大题共 5 小题,考生做答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分, 11.
3 2

12. a ? ?1

13.1

14. 2

15. ?

7 25

三、解答题:本大题共有 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程 和演算步骤. 16.解:
(Ⅰ) 这个几何体是一个底面与两个侧面都是等腰直角三角形的三棱锥, …………………… 2分 P 直 观 图 如 左

图.…………………………………………………6 分

A C

B

(Ⅱ)由三视图可得 PA?AB,PA?AC. 又 AB∩AC=A,∴PA?面 ABC . ………………………… 8分 ?ABC 是等腰直角三角形,且 AB=AC=a,∴ S ?ABC ? 10 分 ∴

1 2 a .……………………………… 2

VP ? ABC ?

1 1 PA ? S ?ABC ? a 3 . …………………………………………………………12 分 3 6

第 12 页 共 12 页

17.解: (



)

f ( x) ? m ? n ? sin ?x ? 3 cos?x …………………………………………………………1 分

? 1 3 ? 2( sin ?x ? cos?x) ? 2 sin(?x ? ) …………………………………… 3 2 2
…3 分 ∵ f ( x) 图 像 上 一 个 最 高 点 的 坐 标 为 (

?
12

, 2) , 与 之 相 邻 的 一 个 最 低 点 的 坐 标 为

(

7? , ?2) . 12


T 7? ? ? ? ? ? 2 12 12 2

,





T ??

,





??

2? ? 2 ……………………………………………5 分 T


可知f ( x) ? 2sin(2x ? ) 3
2 2 2

?

…………………………………………………………………6 分
2 a 2 ? c2 ? b 1 ? , …………………………………… 2ac 2

(Ⅱ) a ? c ? b ? ac , cs B ? ∵ ∴o 7分 又

0? B ??





B?

?
3

……………………………………………………………………8 分

? ? 2? f ( A) ? 2sin(2A ? ) , ∵ B ? ,∴ 0 ? A ? , 3 3 3
可 知

?

5? ? 2A ? ? 3 3 3 ? sin( 2 A ?

?

…………………………………10 分

?
3

) ? ?? 1,1? ? f ( A) ? ?? 2,2?…………………………………………

…12 分

第 13 页 共 13 页

18.解: (1)∵ f ( x) ?

1 2 ax ? 2 x ? ln x 2
a=0 时 ,



f ( x) ? 2 x ? ln x





f ' ( x) ? 2 ?

1 ………………………………………………2 分 x

∴ x, f ' ( x), f ( x) 的变化情况如下表 x (0, -

1 ) 2

1 2
0 极小值

(

1 ,+∞) 2
+

f ' ( x)

f (x)
……5 分 ∴ 当

……………………………………………………………………

x?

1 2

时 ,

f (x) 的 极 小 值 为

1+ln2 , 函 数 无 极 大

值. …………………………………7 分 (2)由已知,得 f ( x) ?

1 2 ax ? 2 x ? ln x, 且x ? 0,则 2
……………………………………………………

1 ax2 ? 2 x ? 1 f ' ( x) ? ax ? 2 ? ? x x

第 14 页 共 14 页

……9 分 ∵函数 f (x) 是减函数 ∴ f ' ( x) ? 0 对 x>0 恒 成 立 , 即 不 等 式 立…………………11 分 得

ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 对 x ? 0 恒 成

?a ? 0 ……………………………………………………………………………13 分 ? ?? ? 4 ? 4a ? 0
解 得

a ? ?1,即a













(??,?1] …………………………………………………14 分

19.证明: (Ⅰ) 连结 BD1 , ?DD1 B 中,E 、F 分别为 D1D ,DB 的中点, 在 …………………………… 1分 则

EF // D1B , ……………………………………………………………………
……………2 分 又

D1B ? 平面ABC1D1 EF ? 平面ABC1D1 ………………………………………………3 分







EF // 平面ABC1D1 ………………………………………………………………………4 分
(Ⅱ) 连结 BC1 , 由于 AB ? 平面B1BCC1 , 所以 B1C ? AB …………………………………… 5分

第 15 页 共 15 页





面B1BCC1















B1C ? BC1 …………………………………………………6 分
由 于

A ,

1

? 平面 B

1

B ,

C 1

AB ? BC1 ? B ……………………………………………7 分
所 以 ………………………………………………………………………8 分 C
1

B1 ? 平面


BD1 ? 平面ABC1D1







B1C ? BD1 ……………………………………………………9 分


EF // BD1




D1 A1 E B1


C1

D F A
1

C B

E ?

………………………………………………………………10 分 F B C

(Ⅲ)?CF ? 平面BDD1B1 ,

?CF ? 平面EFB1
CF ? BF ? 2 ……………………………………………………11 分
? EF ? 1 BD1 ? 3 2





B1 F ? BF 2 ? BB12 ? ( 2)2 ? 22 ? 6 ,…………………12 分

第 16 页 共 16 页

B1 E ? B1 D12 ? D1E 2 ? 12 ? (2 2) 2 ? 3


EF 2 ? B1F 2 ? B1E 2





?EFB1 ? 90? ,………………………………………………13 分
1 ?VB1 ? EFC ? VC ? B1EF ? ? S ?B1EF ? CF 3 1 1 ? ? 3? 6 ? 2 ?1 3 2
………………………………… ……14 分 20.解: ( 1 ) 设 椭 圆 =

1 1 ? ? EF ? B1 F ? CF 3 2

=

C

的 半 焦 距 为

c , 则

c 3 ? a 5

, 即

c?

3 a 5

① …………………………………………1 分 又 ② …………………………………………………2 分 联立①②, 解得 a ? 5 , c ? 3 , 所以 b ? a2 ? c2 ? 4 …………………………………………… 4分 所 以 椭 圆

| MF1 | ? | MF2 | ? | F1F2 |? 2a ? 2c ? 16

C









x2 y 2 ? ? 1 ……………………………………………………………………5 分 25 16
而椭圆 C 上点 M ( x0 , y0 ) 与椭圆中心 O 的距离为
2 2 2 MO ? x0 ? y0 ? x0 ? 16 ?

16 2 9 2 x0 ? x0 ? 16 ? 4 , 等 号 在 x0 ? 0 时 成 25 25

立,……………6 分 而 MN ? MO ? r ,则 MN 的最小值为 4 ? r ,从而 r ? 则 圆

1 , 4
方 程 为

O



x2 ? y2 ?

1 ………………………………………………………………………7 分 16

第 17 页 共 17 页

(2)因为点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上运动,所以 即
2 y0 ? 16 ?

2 2 x0 y0 ? ?1 25 16

16 2 x0 …………………………………………………………………………………8 25

分 圆 心

O





线

l ? x0 x ? y0 y ? 1







d?

1 x ?y
2 0

?

1
29 0 25

x ? 16

……………………10 分
2 0

当 x0 ? 0 , y0 ? ?4 ,d ? 分 当 x0 ? 0 时, d ? 14 分

1 1 ? ? r ,则直线与圆 O 相切.………………………… 12 16 4

1 1 ? ? r ,则直线与圆 O 相交. …………………………………… 16 4

本题第 1 问直接指出点 M 为椭圆短轴端点时 MN 最小者要扣 1 分.

21.解: (















Sn 1 11 1 11 ? n ? ,即S n ? n 2 ? n. ………………………………………………1 分 n 2 2 2 2


a n ? S n ? S n ?1

n?2 当 时 1 2 11 1 11 ? ( n ? n) ? [ (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? n ? 5. …………2 分 2 2 2 2



当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 6 ,而当 n ? 1 时,n + 5 = 6,……………………………………… 3分 所 以 ,

第 18 页 共 18 页

an ? n ? 5(n ? N * ). ………………………………………………………………………4 分
又 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,即bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ) , 所 以 {bn} 为 等 差 数 列, ……5 分 于 是

9(b3 ? b7 ) ? 153. 2



b3 ? 11, 故b7 ? 23, d ?


23 ? 11 ? 3. ………………………………7 分 7?3
此 ,

bn ? b3 ? 3(n ? 3) ? 3n ? 2,即bn ? 3n ? 2(n ? N * ). …………………………………8 分
(Ⅱ) cn ?

3 3 ? (2an ? 11)(2bn ? 1) [2(n ? 5) ? 11][2(3n ? 2) ? 1]

?
……9 分

1 ………………………………………………………………… (2n ? 1)(2n ? 1)
1 1 1 ( ? ). …………………………………………………………… 2 2n ? 1 2n ? 1

?
……10 分

所以, Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? . ……………………………………………………… 2 2n ? 1 2n ? 1


……11 分 由

Tn?1 ? Tn ?

n ?1 n 1 ? ? ? 0 ,…………………………………12 分 2n ? 3 2n ? 1 (2n ? 3)(2n ? 1)
1 . …………………………………………………………… 3

因此 Tn 单调递增, (Tn ) min ? 故 13 分 令

1 k ? , 得k ? 19, 所以Kmax ? 18. …………………………………………………………14 分 3 57

第 19 页 共 19 页

第 20 页 共 20 页


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