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完美版圆锥曲线知识点总结


圆锥曲线的方程与性质
1.椭圆
(1)椭圆概念 平面内与两个定点 F 1 、 F2 的距离的和等于常数 2 a (大于

②对称性:在曲线方程里,若以 ? y 代替 以若点 ( x,

y 方程不变,所

y ) 在曲线上时,点 ( x, ? y ) 也在曲线上,所以曲线
y

r />关于 x 轴对称,同理,以 ?x 代替 x 方程不变,则曲线关于 轴对称。若同时以 ?x 代替 x , ? y 代替 线关于原点对称。 所以,椭圆关于 x 轴、

y 方程也不变,则曲

| F1F2 | )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,
两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距。若 M 为椭圆上任意一点,则 有 | MF 1 | ? | MF2

y 轴和原点对称。这时,坐标轴是

|? 2a 。
x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) (焦点 a 2 b2

椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中 心; ③顶点: 确定曲线在坐标系中的位置, 常需要求出曲线与 x

椭圆的标准方程为:

在 x 轴上)或

y x ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) (焦点在 y 轴上) 。 2 a b
a, b
的大小

2

2

轴、

y

轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令 , B2 (0, b) 是椭圆与

x ? 0 ,得

注:①以上方程中

a?b?0

,其中

y ? ?b , 则 B1 0 ( , ? )b
同理令

y 轴的两个交点。

b2 ? a 2 ? c 2 ;
②在

y ? 0 得 x ? ? a ,即 A1 (?a,0)

, A2 (a,0) 是椭圆与

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 ? ?1 两 个 方 程 中 都 有 和 a 2 b2 a 2 b2
2

x 轴的两个交点。
所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶

a ? b ? 0 的条件,要分清焦点的位置,只要看 x
2 2



y

2

的分 点。

母的大小。 例如椭圆

x y ? ? 1( m ? 0 ,n ? 0 ,m ? n ) m n

同时,线段

A1 A2 、 B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它

当 m ? n 时表示焦点在 在

x 轴上的椭圆;当 m ? n 时表示焦点

们的长分别为 2 a 和 2b , a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短 半轴长。 由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a ;

y 轴上的椭圆。

(2)椭圆的性质

在 Rt ?OB2 F2 中, | OB2

|? b , | OF2 |? c , | B2 F2 |? a ,

①范围:由标准方程

x2 y 2 ? ? 1 知 | x |? a , | y |? b , a 2 b2

且 | OF2

|2 ?| B2 F2 |2 ? | OB2 |2 ,即 c2 ? a 2 ? b2 ;
? c 叫椭圆的离心率。 a

④离心率: 椭圆的焦距与长轴的比 e 说明椭圆位于直线 x

? ? a , y ? ?b 所围成的矩形里;
∵a

? c ? 0 ,∴ 0 ? e ? 1 ,且 e 越接近 1 , c 就越接近 a ,从

而 b 就越小,对应的椭圆越扁;反之, e 越接近于 0 , c 就越 接近于 0 ,从而 b 越接近于 a ,这时椭圆越接近于圆。当且仅

x2 y2 ? ? 1 的对称中心, 双曲线的对称中心叫做双曲线的中 a2 b2
心。



a ? b 时, c ? 0 ,两焦点重合,图形变为圆,方程为
③顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双
2 2

x ?y ?a
2

。 曲线

x2 y2 ? ? 1 的 方 程 里 , 对 称 轴 是 x, y a2 b2


轴,所以令

2.双曲线
(1)双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是

y?0

x ? ?a

,因此双曲线和

x

轴有两个交点

A (?a,0) A2 (a,0) ,他们是双曲线
令x

x2 y2 ? ? 1 的顶点。 a2 b2

? 0 ,没有实根,因此双曲线和 y 轴没有交点。

双曲线( || PF 1 | ? | PF2

。 ||? 2a ) 1)注意:双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭

注意: ①式中是差的绝对值, 在 0 ? 2a ?| F 1F 2 | 条件下; 圆有四个顶点) ,双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

| PF1 | ? | PF2 |? 2a

时 为 双 曲 线 的 一 支 ; 2) 实轴: 线段 它的长等于 2a, a A A2 叫做双曲线的实轴,

; | PF2 | ? | PF1 |? 2a 时为双曲线的另一支(含 F1 的一支) ②当 2a ?| F 1F 2 | 时, || PF 1 | ? | PF2 ③当 2a ?| F 1F 2 | 时, || PF 1 | ? | PF2

叫做双曲线的实半轴长。虚轴:线段 B

||? 2a 表示两条射线;
||? 2a 不表示任何图

B2 叫做双曲线的虚轴,

它的长等于 2b, b 叫做双曲线的虚半轴长。 ④渐近线:注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条 形;④两定点 F1 , F2 叫做双曲线的焦点, | F 1 F2 | 叫做焦距。 对角线,这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看,双曲 (2)双曲线的性质

①范围: 从标准方程

x2 y2 ? ? 1 ,看出曲线在坐标系中 a2 b2
x ? ? a 的外侧。即 x ? a
2 2

线

x2 y2 ? ? 1 的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近。 a2 b2
⑤等轴双曲线:

的范围:双曲线在两条直线

, 1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义

x ? a 即双曲线在两条直线 x ? ? a 的外侧。
式: a ②对称性: 双曲线

? b;

x y ? 2 ? 1 关于每个坐标轴和原点都 2 a b

2

2

2 )等轴双曲线的性质: (1 )渐近线方程为: (2)渐近线互相垂直。

y ? ?x



是对称的,这时,坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线

注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现

上述其一,即可推知双曲线为等轴双曲线,同时其他几个亦成 立。 3)注意到等轴双曲线的特征 a 为:

叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)。 定点 F 叫做抛物线的焦点, 定直线 l 叫做抛物线的准线。

? b ,则等轴双曲线可以设 ? 0 时交点在 x 轴,当

方程

y 2 ? 2 px

? p ? 0? 叫做抛物线的标准方程。

x 2 ? y 2 ? ? (? ? 0)

,当 ?

注意:它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上,焦点坐 标是 F(

? ? 0 时焦点在 y 轴上。
⑥注意

p 2

,0) ,它的准线方程是 x

??

p 2



x2 y2 y 2 x2 ? ?1与 ? ? 1 的 区 别 :三 个 量 16 9 9 16

(2)抛物线的性质 一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,

a, b, c 中 a , b 不同(互换) c 相同,还有焦点所在的坐标轴也
有四种不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其他几种形式: 变了。

y 2 ? ?2 px , x 2 ? 2 py , x 2 ? ?2 py .这四种抛物线的图
形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表:

3.抛物线
(1)抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹

标准方程

y 2 ? 2 px ( p ? 0) y l

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)
y

x2 ? 2 py ( p ? 0) y
F

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)

o F
图形

l

x

F o

x

l

o

x

焦点坐标 准线方程 范围 对称性

p ( , 0) 2 p x?? 2
x?0

(?

p , 0) 2 p x? 2
x?0

p (0, ) 2 p y?? 2

p (0, ? ) 2 p y? 2

y?0
y轴

y?0
y轴

x轴

x轴

顶点 离心率

(0, 0)
e ?1

(0, 0)
e ?1

(0, 0)
e ?1

(0, 0)
e ?1

说明: (1)通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径; (2)抛物线的几何性质的特点:有一个顶 点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线; (3)注意强调 p 的几何意义:是焦点到准线 的距离。

4. 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
一、方程的曲线: 在平面直角坐标系中,如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的 实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上 的点,那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。 点与曲线的关系:若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0,则点 P0(x0,y0)在曲线 C 上 ? f(x0,y 0)=0;点 P0(x0,y0)不在曲线 C 上 ? f(x0,y0)≠0。 两条曲线的交点:若曲线 C1,C2 的方程分别为 f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点 P0(x0,y0)是 C1,C2 的交点

?{

f1 ( x0 , y0 ) ? 0 f 2 ( x0 , y0 ) ? 0

方程组有 n 个不同的实数解,两条曲线就有 n 个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没

有交点。 二、圆: 1、定义:点集{M||OM|=r} ,其中定点 O 为圆心,定长 r 为半径. 2 2 2 2、方程:(1)标准方程:圆心在 c(a,b),半径为 r 的圆方程是(x-a) +(y-b) =r 2 2 2 圆心在坐标原点,半径为 r 的圆方程是 x +y =r (2)一般方程:①当 D +E -4F>0 时,一元二次方程 x +y +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程,圆心为 ( ?
2 2 2 2

D E ,? ) 半径 2 2



D 2 ? E 2 ? 4 F 。配方,将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 化为(x+ 2
2 2

2 D 2 E 2 2 ) +(y+ ) = D ? E - 4F 2 2 4

②当 D +E -4F=0 时,方程表示一个点(2 2

D E ,- ); 2 2

③当 D +E -4F<0 时,方程不表示任何图形. (3)点与圆的位置关系 已知圆心 C(a,b),半径为 r,点 M 的坐标为(x0,y0),则|MC|<r ? 点 M 在圆 C 内,| MC|=r ? 点 M 在圆 C 上,|MC|>r ? 点 M 在圆 C 内,其中|MC|= (x 0 - a) ? (y 0 - b) 。
2 2

(4)直线和圆的位置关系:①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:直线与圆相交 ? 有两个公共点;直 线与圆相切 ? 有一个公共点;直线与圆相离 ? 没有公共点。 ②直线和圆的位置关系的判定:(i)判别式法;(ii)利用圆心 C(a,b)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d ? 与半径 r 的大小关系来判定。 三、圆锥曲线的统一定义: 平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之 比是一个常数 e(e

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点 F(c,0)称为焦点,定直线 l 称为准线,正常数 e 称为离心率。当 0 <e<1 时,轨迹为椭圆;当 e=1 时,轨迹为抛物线;当 e>1 时,轨迹为双曲线。 四、椭圆、双曲线、抛物线: 椭圆 1.到两定点 F1,F2 的距离之 和为定值 2a(2a>|F1F2|)的 点的轨迹 2.与定点和直线的距离之 比为定值 e 的点的轨迹. (0<e<1) 双曲线 1. 到两定点 F1,F2 的距离之差的 绝对值为定值 2a(0<2a<|F1F2|) 的点的轨迹 2.与定点和直线的距离之比为 定值 e 的点的轨迹.(e>1) 抛物线

定义

与定点和直线的距离相等的 点的轨迹.

轨迹条件

点集:({M||MF1+|MF2| =2a,|F 1F2|<2a}.

点集:{M||MF1|-|MF2|. =±2a,|F2F2|>2a}.

点集{M| |MF|=点 M 到直 线 l 的距离}.

图形



标准 方程

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b >0) a2 b2

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2

y 2 ? 2 px



参数 方程

? x ? a cos? ? y ? b sin ? ? (参数?为离心角)

? x ? a sec? ? y ? b tan? ? (参数?为离心角)

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt (t 为参数) ?

范围 中心

─a?x?a,─b?y?b 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x 轴,y 轴; 长轴长 2a,短轴长 2b

|x| ? a,y?R 原点 O(0,0)

x?0

顶点

(a,0), (─a,0) x 轴,y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b.

(0,0)

对称轴

x轴

焦点

F1(c,0), F2(─c,0)

F1(c,0), F2(─c,0)

p F ( ,0 ) 2 p 2

x=± 准 线

a2 c

x=±

a2 c

x=-

准线垂直于长轴,且在椭圆 外. 焦距 2c (c= a 2 ? b 2 )

准线垂直于实轴, 且在两顶点的 内侧. 2c (c= a 2 ? b 2 )

准线与焦点位于顶点两侧, 且到顶点的距离相等.

离心率 【备注 1】双曲线:

e?

c (0 ? e ? 1) a

e?

c (e ? 1) a

e=1

⑶等轴双曲线:双曲线 x 2 ? y 2 ? ?a 2 称为等轴双曲线,其渐近线方程为 y ? ? x ,离心率 e ? 2 . ⑷共轭双曲线: 以已知双曲线的虚轴为实轴, 实轴为虚轴的双曲线, 叫做已知双曲线的共轭双曲线.
x2 y2 x2 y2 ? ? 0. 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线: ? ? ? ? a2 b2 a2 b2

x2 y2 ? ?? 与 a2 b2

⑸共渐近线的双曲线系方程: 它的双曲线方程可设为 【备注 2】抛物线:
x
2

x2 a
2 2

?

y2 b
2

? ? (? ? 0) 的渐近线方程为

x2 a
2

?

y2 b
2

? 0 如果双曲线的渐近线为

x y ? ? 0 时, a b

a2

?

y

b2

? ? (? ? 0) .

p p 2 ,0),准线方程 x=,开口向右;抛物线 y =-2px(p>0)的焦点坐 2 2 p p p p 2 标是(- ,0),准线方程 x= ,开口向左;抛物线 x =2py(p>0)的焦点坐标是(0, ),准线方程 y=,开 2 2 2 2
(1)抛物线 y =2px(p>0)的焦点坐标是(
2

口向上;

p p ) ,准线方程 y= ,开口向下. 2 2 p 2 2 (2) 抛物线 y =2px(p>0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离 MF ? x0 ? ; 抛物线 y =-2px(p>0)上的点 M(x0,y0) 2 p 与焦点 F 的距离 MF ? ? x0 2 p p 2 (3)设抛物线的标准方程为 y =2px(p>0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为 ,顶点到准线的距离 ,焦点 2 2
抛物线 x =-2py(p>0)的焦点坐标是(0,2

到准线的距离为 p. (4) 已知过抛物线 y =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于 A、 B 两点, 则线段 AB 称为焦点弦, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则弦长 AB = x1 ? x2 +p 或 AB ? 叫做焦半径).
2

2p p2 p 2 x x ? , AF ? x1 ? ( AF ( α为直线 AB 的倾斜角 ) , , y1 y2 ? ? p 1 2 2 sin ? 4 2

五、坐标的变换: (1)坐标变换:在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施 坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程. (2)坐标轴的平移:坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平 移,简称移轴。 (3)坐标轴的平移公式:设平面内任意一点 M,它在原坐标系 xOy 中的坐标是(x,y),在新坐标系 x ′O′y′ 中的坐标是 ( x ' , y ' ) .设新坐标系的原点 O′在原坐标系 xOy 中的坐标是(h,k),则 叫做平移(或移轴)公式. (4)中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表: 方 程 焦 点 (±c+h,k) 焦 线 对称轴 x=h y=k x=h y=k x=h y=k x=h y=k

x ? x'? h y ? y '? k



x' ? x ? h y' ? y ? k

(x - h)2 (y - k)2 + =1 a2 b2
椭圆

a2 x=± +h c a2 y=± +k c
x=±

(x - h)2 (y - k)2 + =1 b2 a2 (x - h)2 (y - k)2 =1 a2 b2
双曲线

(h,±c+k)

(±c+h,k)

a2 +k c a2 +k c

(y - k)2 (x - h)2 =1 a2 b2
(y-k) =2p(x-h)
2

(h,±c+h)

y=±

(

p +h,k) 2 p +h,k) 2 p +k) 2 p +k) 2

x=-

p +h 2

y=k

(y-k) =-2p(x-h) 抛物线 (x-h) =2p(y-k)
2

2

(-

x=

p +h 2 p +k 2

y=k

(h,

y=-

x=h

(x-h) =-2p(y-k)

2

(h,-

y=

p +k 2

x=h

六、椭圆的常用结论: 1. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. 2. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的 两个端点.

3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ? 1. ? 2 ? 1 上,则过 P 0 的椭圆的切线方程是 2 a2 b a b

x2 y 2 6. 若 P 0 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 外,则过 P a b
x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b
7. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 ?F1PF2 ? ? ,则椭圆的焦点 a 2 b2
2

角形的面积为 S ?F1PF2 ? b tan

?
2

.

x2 y 2 8. 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的焦半径公式 a b

| MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ( F1 (?c,0) , F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ).
9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.

x2 y 2 b2 11. AB 是椭圆 2 ? 2 ? 1 的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点,则 kOM ? k AB ? ? 2 ,即 a b a

K AB ? ?

b 2 x0 。 a 2 y0
x0 x y0 y x0 2 y0 2 x2 y 2 ? 2 ? 2 ? 2 ; ? ? 1 内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 a2 b a b a 2 b2

12. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 【推论】 :

x2 y 2 x 2 y 2 x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 。椭圆 2 ? 2 ? 1 1、若 P 0 (x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 2 ? 2 ? a b a2 b a b a b
(a>b>o)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程



x2 y 2 ? ? 1. a 2 b2 x2 y 2 ? ? 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点,则直 a 2 b2

2、过椭圆

线 BC 有定向且 kBC ?

b2 x0 (常数). a 2 y0

3、若 P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点, ?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? , a 2 b2



a?c ? ? ? tan co t . a?c 2 2

4、设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2 中,记 a 2 b2 sin ? c ? ?e. sin ? ? sin ? a

?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F1F2 P ? ? ,则有

5、若椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 0<e≤ 2 ? 1 时,可在椭圆上 a 2 b2

求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6、P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为椭圆内一定点,则 a 2 b2

2a? | AF2 |?| PA | ? | PF1 |? 2a? | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成立.
7、椭圆

( x ? x0 )2 ( y ? y0 )2 ? ? 1 与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 a2 b2

A2a2 ? B2b2 ? ( Ax0 ? By0 ? C)2 .
8、已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0) ,O 为坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点,且 OP ? OQ .(1) a 2 b2

4a 2 b 2 a 2b 2 1 1 1 1 2 2 ? ? ? ; ( 2 ) |OP| +|OQ| 的最大值为 ; ( 3 ) 的最小值是 . S ?OPQ a 2 ? b2 a 2 ? b2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b2
9、过椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P, a 2 b2



| PF | e ? . | MN | 2 x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0) ,A、 B、 是椭圆上的两点, 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , a 2 b2

10、已知椭圆

则?

a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? . a a

11、设 P 点是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 ?F1PF2 ? ? ,则 a 2 b2

(1) | PF1 || PF2 |?

? 2b2 2 .(2) S ?PF1F2 ? b tan . 2 1 ? cos ?

x2 y 2 12、设 A、B 是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点, ?PAB ? ? , a b
?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1) | PA |?

2ab2 | cos ? | .(2) a 2 ? c 2co s2 ?

tan ? tan ? ? 1 ? e2 .(3) S?PAB ?

2a 2 b 2 cot ? . b2 ? a 2

x2 y 2 13、已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A、 a b
B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14、 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线, 与以长轴为直径的圆相交, 则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 七、双曲线的常用结论: 1、点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. 2、PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两 个端点. 3、以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4、以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支) 5、若 P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线

x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ? 1. ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上,则过 P 0 的双曲线的切线方程是 2 a2 b a b

6、若 P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 P1P2 的直线方程是

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 a 2 b2

x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

7、双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意一点 ?F1PF2 ? ? ,则双曲 a 2 b2
2

线的焦点角形的面积为 S ?F1PF2 ? b co t

?
2

.

8、双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 (?c,0) , F2 (c,0) )当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时, a 2 b2

| MF1 |? ex0 ? a , | MF2 |? ex0 ? a ;当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF1 |? ?ex0 ? a , | MF2 |? ?ex0 ? a 。
9、设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于 焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 10、过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11、 AB 是双曲线

b 2 x0 x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 ) 的不平行于对称轴的弦, M 为 AB 的中点, 则 , ( x , y ) K ? K ? 0 0 OM AB a 2 b2 a 2 y0

即 K AB

b 2 x0 ? 2 。 a y0
x0 x y0 y x0 2 y0 2 x2 y 2 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) 内, 则被 Po 所平分的中点弦的方程是 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a b a b a b x2 y 2 x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 2 ? 2 . ? ? 1 ( a > 0,b > 0 )内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 a 2 b2 a b a 2 b2

12、 若P (0 , y0 ) 0x

13、若 P 0 (x0 , y0 ) 在双曲线 【推论】 : 1、双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2 时 a 2 b2

x2 y 2 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b
2、过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>o)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点, a 2 b2

则直线 BC 有定向且 kBC ? ?

b2 x0 (常数). a 2 y0

3、若 P 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点, ?PF1F2 ? ? , a 2 b2
c?a ? ? c?a ? ? ? tan co t (或 ? tan co t ). c?a 2 2 c?a 2 2

?PF2 F1 ? ? ,则
4、设双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF1F2 a 2 b2 sin ? c ? ?e. ?(sin ? ? sin ? ) a

中,记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F 1 F2 P ? ? ,则有

5、若双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 1<e≤ 2 ? 1 时,可在双 a 2 b2

曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6、P 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为双曲线内一定点,则 a 2 b2

| AF2 | ?2a ?| PA | ? | PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧时,等号成立.
7、双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 A2 a 2 ? B 2b2 ? C 2 . 2 a b x2 y 2 ? ? 1 (b>a >0) ,O 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点,且 OP ? OQ . a 2 b2

8、已知双曲线

4a 2b 2 a 2b 2 1 1 1 1 2 2 ? ? ? (1) ;(2)|OP| +|OQ| 的最小值为 2 ;(3) S?OPQ 的最小值是 2 . b ? a2 b ? a2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b 2
9、过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 a 2 b2 | PF | e ? . | MN | 2 x2 y 2 ? ?1 (a>0,b>0) ,A、 B 是双曲线上的两点, 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , a 2 b2

x 轴于 P,则

10、 已知双曲线

a 2 ? b2 a 2 ? b2 则 x0 ? 或 x0 ? ? . a a
11、设 P 点是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 ?F1PF2 ? ? ,则 a 2 b2

(1) | PF1 || PF2 |?

? 2b2 2 .(2) S ?PF1F2 ? b cot . 2 1 ? cos ?

x2 y 2 12、设 A、B 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点, ?PAB ? ? , a b
?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1) | PA |?

2ab2 | cos ? | . | a 2 ? c 2co s2 ? |

2 (2) tan ? tan ? ? 1 ? e .(3) S?PAB ?

2a 2 b 2 cot ? . b2 ? a 2

13、已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右焦点 F 的直线与双曲线相 a 2 b2

交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线 垂直. 15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 八、抛物线的常用结论: ① ay 2 ?by ? c ? x 顶点 (
4ac ?b 2 b ? ). 4a 2a
2 2

② y 2 ? 2 px( p ? 0) 则焦点半径 PF ? x ? P ; x 2 ? 2 py( p ? 0) 则焦点半径为 PF ? y ? P . ③通径为 2p,这是过焦点的所有弦中最短的. ④ y 2 ? 2 px (或 x 2 ? 2 py )的参数方程为 ?
? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(或 ?

? x ? 2 pt ? y ? 2 pt
2

) ( t 为参数).

y 2 ? 2 px


y 2 ? ?2 px


x2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

y

y



y



y

图形
O

x

x O

x O

x O

焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 焦点

F(

p ,0) 2

F (?

p ,0) 2

F (0,

p ) 2

F (0,?
y?

p ) 2

p 2 x ? 0, y ? R x??

p 2 x ? 0, y ? R x?

p 2 x ? R, y ? 0 y??

p 2 x ? R, y ? 0

x轴

y轴

(0,0) e ?1
PF ? p ? x1 2 PF ? p ? x1 2 PF ? p ? y1 2 PF ? p ? y1 2

圆锥曲线的性质对比

圆锥曲 线 标准方 程 范围 对称性 顶点 焦点

椭圆

双曲线

抛物线

(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 a>b>0

(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 a>0,b>0

y^2=2px p>0

x∈[-a,a]

y∈[-b,b]

x∈(-∞,-a]∪[a,+∞) 关于 x 轴,y 轴,原点对称 (a,0),(-a,0) (c,0),(-c,0)

y∈R

x∈[0,+∞) y∈R 关于 x 轴对称 (0,0) (p/2,0)

关于 x 轴,y 轴,原点对称 (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (c,0),(-c,0) 【其中 c^2=a^2-b^2】

【其中 c^2=a^2+b^2】 x=±(a^2)/c y=±(b/a)x e=c/a,e∈(1,+∞) ∣PF1∣=∣ex+a∣∣PF2∣=∣exa∣ p=(b^2)/c (2b^2)/a x=-p/2 ————— e=1 ∣PF∣=x+p/2

准线 渐近线 离心率 焦半径

x=±(a^2)/c —————————— e=c/a,e∈(0,1) ∣PF1∣=a+ex ∣PF2∣=a-ex

焦准距 通径 参数方 程

p=(b^2)/c (2b^2)/a x=a·cosθ 参数 y=b·sinθ ,θ 为

p 2p x=2pt^2 y=2pt,t 为参数

x=a·secθ y=b·tanθ ,θ 为参数 (x0x/a^2)-(y0·y/b^2)=1

过 圆 锥 曲 线 上 一点 斜率为 k 的 切 线 方程

(x0·x/a^2)+(y0·y/b^2)=1 (x0,y0)的切线方程

y0·y=p(x+x0)

y=kx±√[(a^2)·(k^2)+b^2]

y=kx±√[(a^2)·(k^2)-b^2]

y=kx+p/2k


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