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数学高二(上)沪教版(等比数列(一))教师版


年 课

级:高二 题

辅导科目: 数学

课时数:3

等比数列
1、 掌握等比数列的定义,会求等比中项; 2、 掌握等比数列的通项公式,前 n 项和的求和公式; 教学内容

教学目的

【知识点回顾】
1.定义:

a n ?1 ? q (常数 q 为公比) (n ? N ? ) an

(注意隐含条件: an ? 0, q ? 0 )

2.通项公式: an ? a1q n?1 推广:

an ? am q n?m

3. 等 比 中 项 : 如 果 在 a 与 b 间 插 入 一 个 数 G , 使 a, G, b 成 等 比 数 列 , 那 么 G 叫 做 a 与 b 的 等 比 中 项 ,

G ? ? ab . (ab ? 0) .
(q ? 1) ?na1 ? 4.前 n 项和公式: S n ? ? a1 (1 ? q n ) (q ? 1, 且q ? 0) ? 1? q ?

(易错点:不分类讨论)

注意:应用前 n 项和公式时,一定要区分 q ? 1与q ? 1的两种不同情况,必要的时候要分类讨论. 5.等比数列 ?an ? 的一些常用性质 (1)对于任意正整数 p, q, r , s ,如果 p ? q ? r ? s ,则有 a p ?aq ? ar ? as ;如果 p ? r ? 2q ,则有 a p ? a r ? a q (2)对于任意正整数 n ? 1, 有 an ? an?1 ? an?1 (3)对于任意非零实数 b ,数列 ?ban ?是等比数列,则数列 ?an ? 是等比数列 (4)已知数列 ?bn ? 是等比数列,则 ?an ? bn ?也是等比数列。 ⑸下标成等差数列的项构成等比数列 ⑹连续若干项的和也构成等比数列. 6.证明数列为等比数列的方法: (1)定义法:若
2

2

an?1 ? q(n ? N ? ) ? 数列?an ?为等比数列 an
2 ?

(2)等比中项法:若 an?1 ? an ? an?2 (n ? N 且an an?1an?2 ? 0) ? 数列 ?an ?为等比数列 (3)通项法:若 an ? cq (c, q均是不为 0的常数,n ? N ) ? 数列?an ? 为等比数列
n ?

(4)前 n 项和法:若 S n ? Aqn ? A( A, q为常数, 且q ? 0, q ? 1) ? 数列 ?an ?为等比数列 7.解决等比数列有关问题的常见思维方法 (1)方程的思想(“知三求二”问题) (2)分类的思想 ①运用等比数列的求和公式时,需要对 q ? 1和q ? 1讨论 ② a1 ? 0, q ? 1或a1 ? 0,0 ? q ? 1 ?an ?为递增数列 时, 等比数列 ( an?1 ? an ? a1q n?1 (q ? 1) )

?an ?为递减数列 a1 ? 0, q ? 1或a1 ? 0,0 ? q ? 1时, 等比数列 【基础训练】
1、在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3 ,前三项和为 21,则 a3+ a4+ a5= ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 2、已知等比数列 {an } 中, a3 ? 3 , a10 ? 384 ,则该数列的通项公式 an ? ( C )

3 ? 2 n ?3
必要不充分 条件。

3、命题甲: ( ) x ,21? x ,2x 成等比数列,命题乙: lg x,lg( x ? 1),lg( x ? 3) 成等差数列,则甲是乙的

1 2

2

(填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要”或“既不充分也不必要” ) 4、若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为 q 的无穷等比数列,下列{an}的四组量中, 一定能成为该数列“基本量”的是 第 ①④ 组.(写出所有符合要求的组号) ①S1 与 S2; ②a2 与 S3; ③a1 与 an; ④q 与 an. 其中 n 为大于 1 的整数, Sn 为{an}的前 n 项和. 5、有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下 层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为 2,且该塔形的表面积(含最底层正方体的 底面面积)超过 39,则该塔形中正方体的个数至少是( C ) (A) 4; (B) 5; (C) 6; (D) 7. 6、设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ( n ? N* ) ,关于数列 ?an ? 有下列三个命题: (1)若 {an } 既是等差数列又是等比数列,则 an ? an ?1 (3)若 Sn ? 1 ? ? ? 1 ? ,则 {an } 是等比数列. 这些命题中,真命题的序号是 ⑴⑵⑶
n

(n ? N*) ;

(2)若 Sn ? a n2 ? bn ? a、 b ? R ? ,则 {an } 是等差数列; .

【例题讲练】
题型Ⅰ 等比数列中基本量的计算 例 1、数列 ?an ? 为等比数列,求下列各值, (1)已知 a3 ? a 6 ? 36 a 4 ? a 7 ? 18 a n ?

1 , 求n. 2

(2) 已知a2 a8 ? 36 a3 ? a7 ? 15, 求公比q. (3) 已知q ? ? 2,S8 ? 15(1 ? 2 ),求a1. 思维分析:运用等比数列的基本公式和基本性质”知三求二”问题

解(1) a 4 ? a 7 ? a3 q ? a 6 q ? q(a3 ? a 6 ) ? 18, a3 ? a 6 ? 36,? q ?

1 2
(2)

1 1 ? a3 ? a6 ? a3 ? a3 q 3 ? a3 (1 ? q 3 ) ? 36,? a3 ? 32 ? a n ? a3 q n ?3 ? 32( ) n ?3 ? 2 8? n ? ? n ? 9 2 2

a3 a7 ? a2 a8 ? 36 a3 ? a7 ? 15,? a3 , a7是方程x 2 ? 15x ? 36 ? 0两根,
? a3 ? 3, a7 ? 12或a3 ? 12, a7 ? 3,? q 4 ? 4或q 4 ?
(3) S 8 ?

1 2 ? q ? ? 2或q ? ? 4 2

a1[1 ? (? 2 ) 8 ] 1? 2

?

a1 (?15) 1? 2

? 15(1 ? 2 ) ? a1 ? ?(1 ? 2 ) ? (1 ? 2 ) ? 1

变式 1.设一个等比数列的首项为 a(a>0),公比为 q(q>0),其前 n 项和为 80,而其中最大的一项为 54,又其前 2n 项和是 6560,求 a 和 q. 思维分析:运算等比数列的求和公式及整体代换思想和分类讨论思想, 解:若 q=1,则 na=80,∴2na=160 矛盾,? q ? 1

? a1 (1 ? q n ) ? 80 (1) ? (2) ? 1? q 于是 ? 得q n ? 81又q ? 0,? q ? 1? a n ? a1 q n ?1 ? 54 (3) 2n ? a1 (1 ? q ) ? 6560 (2) (1) ? ? 1? q
q n ? 81代入(1)(3)得 a ? ?1及a81 ? 54q ? a ? 2, q ? 3 1? q

变式 2.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,若 S3+S6=2S9,求数列的公比 q. 答案: q ? ?
3

4 2

变式 3.已知等比数列{an}中,a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求 an. 剖析:利用等比数列的基本量 a1,q,根据条件求出 a1 和 q. 解:设{an}的公比为 q,由题意知
2 ? ?a1 ? a1 q ? a1 q ? 7, ? 2 ? ?a1 ? a1 q ? a1 q ? 8,

?a ? 4, ?a1 ? 1, ? 1 n-1 3-n 解得 ? 或? 1 ∴an=2 或 an=2 . q? . ?q ? 2 ? 2 ?
评述:转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法. 例 2.已知等比数列 ?an ? 的公比为 q, 前 n 项和为 Sn ,且 S3 , S9 , S6 成等差数列. ⑴ 求 q 的值; ⑵ 求证: a2 , a8 , a5 成等差数列. (答案: q = ?
3 3

1 ) 2

题型Ⅱ 等比数列的判定和证明

例 3、数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn,已知 a1 ? 1, a n ?1 ? 证明: (Ⅰ)数列 {

n?2 S n (n ? 1,2,3?). n

Sn } 是等比数列; n

(Ⅱ) S n?1 ? 4an .

证明: (Ⅰ)∵ a n ?1 ? S n ?1 ? S n , a n ?1 ? ∴ (n ? 2)S n ? n(S n?1 ? S n ), 所以

n?2 Sn , n

整理得

nSn?1 ? 2(n ? 1)S n ,

S n ?1 S ?2 n. n ?1 n

故{

Sn } 是以 2 为公比 的等比数列. n
S n ?1 ? 4(n ? 1) ? S n ?1 ? 4a n (n ? 2). n ?1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

S n ?1 S ? 4 ? n ?1 (n ? 2). 于是 n ?1 n ?1




a2 ? 3S1 ? 3,

S 2 ? a1 ? a2 ? 4,
都有 S n?1 ? 4an .

因此对于任意正整数

n ? 1,

评注:换元法体会肤浅,函数观点应用不当均会造成失误. 例 4、已知数列 ?an ? ,Sn 是它的前 n 项和,且 S n?1 ? 4an ? 2(n ? N ? ), a1 ? 1 (1)设 bn ? an?1 ? 2an (n ? N ? ) ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列 (2)设 c n

?

an 2n

,,求证:数列 ?cn ? 是等差数列

思维分析:证明数列是等差数列还是等比数列.应紧扣定义式;而数列的前 n 项和 Sn 已知可求 an 解:(1) Sn?1 ? 4an ? 2, Sn?2 ? 4an?1 ? 2 ? Sn?2 ? Sn?1 ? 4a n?1 ?4an

即an?2 ? 4an?1 ? 4an ? an?2 ? 2an?1 ? 2(an?1 ? 2an ),而bn ? an?1 ? 2an ?bn?1 ? 2bn ,
由此可得 ?bn ? 是等比数列 且首项 b1 ? a2 ? 2a1 ? 3, 公比q ? 2,?bn ? 3 ? 2 n?1

bn a n ?1 a n bn 3 ? 2 n ?1 3 ? (2) c n ? n ,? c n ?1 ? c n ? n ?1 ? n ? n ?1 ? 4 2 2 2 2 2 n?1
可知 ?cn ? 是首项 c1 ?

a1 1 3 1 3 ? , 公差d ? 的等差数列,? c n ? n ? 4 4 2 2 4

变式 1:数列 ?an ?, ?bn ?的通项公式分别是 an ? 2 n , bn ? 3n ? 2, 它们公共项由小到大排列的数列是 ?cn ? , ①写出 ?cn ? 的前 5 项 ②证明 ?cn ? 是等比数列

思维分析:容易证明 ?cn ? 是等比数列,由定义式,只需找出 ?cn ? 中任意相邻两项关系即可. 解(1) ?cn ? 的前 5 项为:8、32、128、512、2048 (2)设 am ? bp ? cn ,?cn ? 2m ? 3 p ? 2, 而am?1 ? 2 ? 2m ? 2(3 p ? 2) ? 3 ? (2 p ? 1) ? 1

? am?1不在?b n ? 中, 又am?2 ? 4 ? 2m ? 4 ? (3 p ? 2) ? 3 ? (4 p ? 2) ? 2,? am?2在?bn? 中
? am?2是?cn ? 中的项即cn?1项,? cn?1 ? 4cn , 故?cn ?是等比数列
变式 2.已知数列{an}为等差数列,公差 d≠0, {an}的部分项组成下列数列:a k1 ,a k 2 ,?,a k n ,恰为等比数列, 其中 k1=1,k2=5,k3=17,求 k1+k2+k3+?+kn. 剖析:运用等差(比)数列的定义分别求得 a k n ,然后列方程求得 kn. 解:设{an}的首项为 a1,∵a k1 、a k 2 、a k 3 成等比数列,∴(a1+4d)2=a1(a1+16d). 得 a1=2d,q=

a k2 a k1

=3.

∵a k n =a1+(kn-1)d,又 a k n =a1·3n 1,


∴kn=2·3n 1-1. - ∴k1+k2+?+kn=2(1+3+?+3n 1)-n


=2×

1 ? 3n -n=3n-n-1. 1? 3

评述:运用等差(比)数列的定义转化为关于 kn 的方程是解题的关键,转化时要注意:a k n 是等差数列中的第 kn 项,而又是等比数列中的第 n 项(双重身份). 变式 3.设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足 5 a n ,5 bn ,5 an ?1 成等比数列,lgbn,lgan+1,lgbn+1 成等差数列,且 a1=1, b1=2,a2=3,求通项 an、bn. 剖析:由等比中项、等差中项的性质得 an+1= bn ? bn?1 递推出 an= bn?1 ? bn (n≥2). 解:∵5 a n ,5 bn ,5 an ?1 成等比数列, ∴(5 bn )2=5 a n ·5 an ?1 ,即 2bn=an+an+1. 又∵lgbn,lgan+1,lgbn+1 成等差数列, ∴2lgan+1=lgbn+lgbn+1,即 an+12=bn·bn+1. 由②及 ai>0,bj>0(i、j∈N*)可得 an+1= bn ? bn?1 . ∴an= bn?1bn (n≥2). ①



③ ④

将③④代入①可得 2bn= bn?1 ? bn + bn ? bn?1 (n≥2) , ∴2 bn = bn?1 + bn?1 (n≥2). ∴数列{ bn }为等差数列. ∵b1=2,a2=3,a22=b1·b2,∴b2= ∴ bn = 2 +(n-1) (

9 . 2

9 1 - 2 )= (n+1) (n=1 也成立). 2 2

∴bn=

(n ? 1) 2 . 2

∴an= bn?1 ? bn = ∴an=

n 2 (n ? 1) 2 n(n ? 1) = (n≥2). ? 2 2 2

又当 n=1 时,a1=1 也成立.

n(n ? 1) . 2

变式 4. 设二次方程 an x 2 ? an?1 x ? 1 ? 0(n ? N ? ) 有两根 ? , ? ,且满足 6? ? 2?? ? 6? ? 3 ①试用 an 表示 a n ?1 ; ②求证: ?an ? ? 是等比数列;③当 a1 ?

? ?

2? 3?

7 时,求数列 ?an ? 的通项 6

总结:要证一个数列是等比数列,可求得其通项公式,从而判定其是等比数列.,但要证明不是等比(等差)数列只要举 出反例。 题型Ⅲ 等比数列的性质应用题型 例 5、解下列各题: (1){an}是等比数列,且 an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则 a3+a5= A、5 B、10 C、15 D、20 20 . . A .

(2)若{an}是由正数组成的等比数列,且 a5a6=81,则 log3a1+log3a2+?+log3a10= (3)等比数列{an}的前 10 项和为 32,前 20 项和为 56,则它的前 30 项和为 A、72 B、73 C、74 D、88 C

(4)已知正项等比数列{an},前 n 项的和为 Sn,若 S3=6,a7+a8+a9=24,那么 S99=6(233-1) .

题型Ⅳ 等比数列的实际应用 例 6、甲、乙两人拿两颗骰子做抛掷游戏,规则如下:若掷出的点数之和为 3 的倍数时,原掷骰子的人继续掷;若掷出 的点数不是 3 的倍数时,由对方接着掷.第一次由甲开始掷. ⑴若第 n 次由甲掷的概率为 P n ,求 P n ;⑵求前 4 次抛掷中甲恰好掷 3 次的概率.

1 1 ? 1? (答案:⑴ P ? ?? ? ? n= 2 2 ? 3?

n ?1



28 .关键是找出相邻两项之间的关系) 81

【方法总结】
1.涉及等差比数列的基本概念的问题,常用基本量 a1 , q 来处理; 2.使用等比数列前 n 项和公式时,必须弄清公比 q 是否可能等于 1 还是必不等于 1,如果不能确定则需要讨论; 3.若干个数个成等比数列且积为定值时,设元方法与等差数列类似. 4.在求解数列问题时要注意运用函数思想,方程思想和整体消元思想,设而不求.

【课后作业】
1、设等比数列 {an } 的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q 的值为 -2 .

8 27 2、 在 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为_______216 __. 3 2

3、在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3 ,前三项和为 21,则 a3+ a4+ a5=(C ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 4、在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 ?an ?1 ? 也是等比数列,则 Sn 等于 (A) 2
n ?1





?2

(B)

3n

(C) 2 n

(D) 3 ? 1
n

【解析】因数列 ?an ? 为等比,则 an ? 2qn?1 ,因数列 ?an ?1 ? 也是等比数列, 则

(an?1 ? 1)2 ? (an ? 1)(an?2 ? 1) ? an?12 ? 2an?1 ? an an?2 ? an ? an?2 ? an ? an?2 ? 2an?1

? an (1 ? q 2 ? 2q) ? 0 ? q ? 1 即 an ? 2 ,所以 Sn ? 2n ,故选择答案 C。
5、设 f (n) ? 2 ? 24 ? 27 ? 210 ? ? ? 23n?10 (n ? N ) ,则 f ( n) 等于 ( D)

2 n (8 ? 1) 7 2 n ?3 (C) (8 ? 1) 7
(A)

(B) (D)

2 n ?1 (8 ? 1) 7

2 n?4 (8 ? 1) 7

6、已知正项数列 ?an ? ,其前 n 项和 Sn 满足 10Sn ? an 2 ? 5an ? 6, 且 a1 , a2 , a15 成等比数列,求数列 ?an ? 的通项 an . 解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3. 又 10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),② 由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2). 当 a1=3 时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15 不成等比数列∴a1≠3; 当 a1=2 时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3. 7、数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, an ?1 ?

1 S n ,n=1,2,3,??,求 3

(I)a2,a3,a4 的值及数列{an}的通项公式; (II) a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n 的值. 解: (I)由 a1=1, an ?1 ?

1 S n ,n=1,2,3,??,得 3 1 1 1 1 1 4 1 1 16 a2 ? S1 ? a1 ? , a3 ? S2 ? (a1 ? a2 ) ? , a4 ? S3 ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? , 3 3 3 3 3 9 3 3 27

1 1 4 ( Sn ? Sn ?1 ) ? an (n≥2) ,得 an ?1 ? an (n≥2) , 3 3 3 1 4 n?2 1 又 a2= ,所以 an= ( ) (n≥2), 3 3 3
由 an ?1 ? an ? ∴ 数列{an}的通项公式为 an ? ? 1 4

? ?

1

n ?1 n≥ 2


( )n?2 ? ?3 3

( II ) 由 ( I ) 可 知 a2 , a4 ,?, a2 n 是 首 项 为

4 2 1 , 公 比 为 ( ) 项 数 为 n 的 等 比 数 列 , ∴ 3 3

4 1 ? ( )2n 1 3 ? 3 [( 4 )2 n ? 1] a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n = ? 3 1 ? ( 4 )2 7 3 3 1 8、设正项等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? ,前 n 项和为 S n ,且 210 S30 ? (210 ? 1)S20 ? S10 ? 0 。 2
(Ⅰ)求 ?an ? 的通项; (Ⅱ)求 ?nSn ?的前 n 项和 Tn 。

解: (Ⅰ)由 210 S30 ? (210 ? 1)S 20 ? S10 ? 0 得 210 (S30 ? S 20 ) ? S 20 ? S10 , 即 210 (a21 ? a22 ? ? ? a30 ) ? a11 ? a12 ? ? ? a20 , 可得 210 ? q10 (a11 ? a12 ? ?? a20 ) ? a11 ? a12 ? ?? a20 .

1 1 n ?1 ? n , n ? 1,2, ?. ,因而 a n ? a1 q 2 2 1 1 (Ⅱ)因为 {an } 是首项 a1 ? 、公比 q ? 的等比数列,故 2 2 1 1 (1 ? n ) 2 ? 1 ? 1 , nS ? n ? n . Sn ? 2 n 1 2n 2n 1? 2 1 2 n 则数列 {nSn } 的前 n 项和 Tn ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ? 2 ? ? ? n ), 2 2 2 Tn 1 1 2 n ?1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ). 2 2 2 2 2 2 Tn 1 1 1 1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ? 2 ? ? ? n ) ? n ?1 前两式相减,得 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) n(n ? 1) 1 n n(n ? 1) 2 2 ? n ? n ?1 ? n ? 2. 即 Tn ? ? ? n ?1 1 2 2 2 4 2 1? 2
因为 an ? 0 ,所以 2 q
10 10

? 1, 解得 q ?


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