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(新课标)高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练7 新人教A版


圆锥曲线(7)
x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,弦 AB 过 F1 ,若 ?ABF2 的内切圆周长为 ? , A, B 两点的坐 25 16 标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 值为(A )
1、椭圆 A.

5 3

B.

10 3

C.

20 3

D.

5 3

2 、 已 知 点 P 是 椭 圆 上 一 点 , F1 , F2 分 别 为 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 , M 为 ?PF1 F2 的 内 心 , 若

S?MPF1 ? ? S?MF1F2 ? S?MPF2 成立,则 ? 的值为 ( A )
A.

a a 2 ? b2

B.

2a a 2 ? b2

C.

a 2 ? b2 a

D.

a 2 ? b2 2a

3、已知点 F、A 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 的左焦点、右顶点,点 B(0,b)满足 FB ? AB ? 0 , a 2 b2

则双曲线的离心率为(D)A、 2 B.

3 C、

1? 3 1? 5 D、 2 2

4、设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 C 上存在点 P 满 PF 1 : F 1F 2 : PF 2 =4:3:2,则曲线 C 的 离心率等于( A )A. 或

1 2

3 2

B.

2 或2 3

C. 或 2
2

1 2

D. 或
2

2 3

3 2
a2 c

5、设 F1、F2 分别为椭圆 2+ 2=1 的左、右焦点,c= a -b ,若直线 x= 上存在点 P,使线段 PF1 的中垂 线过点 F2,则椭圆离心率的取值范围是(D ) 2? 3? ? ? ? 2 ? A.?0, ? B. ?0, ? C.? ,1? 2? 3? ? ? ?2 ? 6、 已知 P 是以 F1、 F2 为焦点的椭圆

x2 y2 a b

D. ?

? 3 ? ,1? ?3 ?
tan ?PF1 F2 ? 1 , 2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0)上一点, 且PF1 ? PF2 ? 0, a2 b2
1 2
B.

则该椭圆的离心率为( D )A.

2 3

C.

1 5 D. 3 3

2 FA ? 2 FB 7、已知直线 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 与抛物线 C : y ? 8x 相交于 A, B 两点, F 为 C 的焦点,若 .

1 则 k ? ( D )A. 3
8、已知双曲线

2 B. 3

2 C. 3

2 2 D. 3

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线的右支 a 2 b2
D. (2,+ ? )
1

有两个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(A ) A. (1,2) B. (1,2] C.[2,+∞)

9、若圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 2 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线相切,则双曲线的离心率是 a 2 b2

.

2

3 y?? x 4 ,则双曲线的离心率是 10、双曲线的渐近线方程为
11、 P 是双曲线

5 5 。3或4

x2 y2 ? ? 1 的右支上一点,点 M , N 分别是圆 ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 4 和 ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 1 上的 9 16

动点,则 PM ? PN 的最小值为 ( C ) A. 1 B. 2 C. 3 D.4

12、若椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,线段 F1F2 被抛物线 a 2 b2
y A C O B x

y2 ? 2bx 的焦点 F 内分成了 3 :1 的两段.
(1)求椭圆的离心率; (2)过点 C (?1, 0) 的直线 l 交椭圆于不同两点 A 、 B ,且 AC ? 2CB , 当 ?AOB 的面积最大时,求直线 l 和椭圆的方程. 【答案】 : (1)由题意知, c ?

????

??? ?

b b ? 3(c ? ) ………………………………………………2 分 2 2

2 2 ∴ b ? c , a ? 2b ……………………………………………………………………3 分

∴e ?

c b 2 ? 1 ? ( )2 ? ………………………………………5 分 a a 2

(2)设直线 l : x ? ky ? 1 , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , ∵ AC ? 2CB ∴ (?1 ? x1 , ? y1 ) ? 2( x2 ? 1, y2 ) ,即 2 y2 ? y1 ? 0 ①…………7 分

????

??? ?

2

由(1)知, a 2 ? 2b2 ,∴椭圆方程为 x 2 ? 2 y 2 ? 2b2 由?

? x ? ky ? 1 ? x ? 2 y ? 2b
2 2
2

2

,消去 x 得 (k 2 ? 2) y 2 ? 2ky ? 1 ? 2b2 ? 0

∴ y1 ? y2 ?

2k ……② k ?2

y1 y2 ?

1 ? 2b 2 ……③ k2 ? 2
2k 4k , y1 ? 2 …………………………………………………9 分 k ?2 k ?2 1 1 1 ? | y1 | ? | y2 |? | y1 ? y2 | 2 2 2
2

由①②知, y2 ? ? ∵ S ?AOB

∴ S ? 3?

|k| 1 1 3 2 …………………………11 分 ? 3? ? 3? ? 2 2 k ?2 4 2 ?|k | 2 ?| k | |k| |k|
2

当且仅当 | k | ? 2 ,即 k ? ? 2 时取等号, 此时直线的方程为 x= 2 y ?1 或 x ? 2 y ?1 ………12 分 又当 k
2

? 2 时, y1 y2 ?

?2k 4k 2k 2 ? ? ? ? ?1 k2 ? 2 k2 ? 2 (k 2 ? 2)2

1 ? 2b 2 5 2 ∴由 y1 y2 ? 2 得b ? 2 k ?2
∴椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 ………………………………………………………14 分 5 5 2

13、设椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,上顶点为 A ,过点 A 作垂直于 AF 直线交椭圆 C 于 a2 b2 8 PQ 5

另外一点 P ,交 x 轴正半轴于点 Q ,且 AP ? ⑴求椭圆 C 的离心率; (6 分)

⑵若过 A, Q, F 三点的圆恰好与直线 l x ? 3 y ? 5 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程. (6 分)

3

y A P F O Q x

【答案】 :⑴设 Q( x0 ,0) ,由 F( ? c ,0) (0, b )知 FA ? (c, b), AQ ? ( x0 ,?b)

? FA ? AQ,? cx0 ? b 2 ? 0, x0 ?
设 P( x1 , y1 ),由AP ?

b2 c

8b 2 5 8 , y1 ? b PQ ,得 x1 ? 13c 13 5

8b 2 2 5 ( ) ( b) 2 13c ? 13 ?1 因为点 P 在椭圆上,所以 a2 b2
整理得 2b 2 ? 3ac ,即 2( a 2 ? c 2 )=3 ac , 2e2 ? 3e ? 2 ? 0 ,故椭圆的离心率 e = ⑵由⑴知 2b 2 ? 3ac,得

1 2

b2 3 ? a; c 2

1 3 c 1 1 , Q ( a ,0 ) 又 ? ,得c ? a ,于是 F(- a ,0) 2 2 a 2 2

1 | a ?5| 1 1 △AQF 的外接圆圆心为( a, 0) ,半径 r= |FQ|= a 所以 2 ? a ,得 a =2,∴c=1,b= 3 , 2 2 2
所求椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 3
x2 y2 3 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 M (1, ) ,其离心率为 . 2 2 2 a b

14、已知椭圆 C :

(1) 求椭圆 C 的方程; (4 分) (2)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,以线段 OA, OB 为邻边作平行四边形 OAPB ,其中顶点 P 在椭圆 C 上, O 为坐标原点.求 O 到直线 l 的距离的最小值. (8 分)

x2 y2 ? ? 1 --------(4 分) 【答案】 :(1) 4 3
(2)当直线 l 有斜率时,设 l : y ? kx ? m ,由 ? x 2

? y ? kx ? m ? 消去 y ,得 y2 ? ?1 ? 3 ?4

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0 ,

4

? ? 64k 2 m 2 ? 4(3 ? 4k 2 )( 4m 2 ? 12) ? 48(3 ? 4k 2 ? m 2 ) ? 0 ㈠ 设 A, B , P 三 点 的 坐 标 分 别 为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ), ( x0 , y0 ) , 则 以 线 段 OA, OB 为 邻 边 作 平 行 四 边 形
OAPB , OA ? OB ? OP ,----------------------------------(6 分) 8km 6m ? x0 ? x1 ? x 2 ? ? , y 0 ? y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2m ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2
2 x0 y2 16k 2 m 2 12m 2 ? 0 ?1 由于点 P 在椭圆上,所以 4 ,从而 ? ? 1 ,化简得 3 (3 ? 4k 2 ) 2 (3 ? 4k 2 )

4m 2 ? 3 ? 4k 2 ,经检验满足㈠式
又点 O 到直线 l 的距离为 d ?

m 1? k 2

?

3 ? k2 1 1 3 4 ? 1? ? 1? ? 2 2 4 2 4(1 ? k ) 1? k

当且仅当 k ? 0 时等号成立.-------------------------------(10 分) 当直线 l 无斜率时,由对称性知,点 P 一定在 x 轴上,从而点 P 为 (?2,0) 或 (2,0) ,直线

l 为 x ? ?1 ,所以点 O 到直线 l 的距离为 1.
综上,点 O 到直线 l 的距离的最小值为

3 .--------------------------(12 分) 2

15、 在△ABC 中, 顶点 A ?? 1,0? , B ?1,0? , 动点 D, E 满足: ① DA ? DB ? DC ? 0 ; ② EC ? 3 EA ? 3 EB , ③ DE与AB 共线. (Ⅰ)求△ABC 顶点 C 的轨迹方程; (Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,只要该圆的切线与顶点 C 的轨迹有两个不同交点 M , N ,就一定有

OM ? ON ? 0 ,若存在,求该圆的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】 :(I)设 C(x,y),由 DA ? DB ? DC ? 0 得,动点 D 的坐标为 ?

??? ? ??? ? ????

?

?x y? , ?; ?3 3? ? ? y? ?; 3?

由 EA ? EB 得,动点 E 在 y 轴上,再结合 DE 与 AB 共线,得,动点 E 的坐标为 ? 0,

??? ?

??? ?

????

??? ?

由 EC ? 3 EA 的, x 2 ? ( y ?

??? ?

??? ?

y 2 x2 y 2 y2 ? ? 1. ,整理得, ) ? 3 ? 1? 27 3 3 9

因为 ?ABC 的三个顶点不共线,所以 y ? 0 , 故 ?ABC 顶点 C 的轨迹方程为

y 2 x2 ? ? 1( y ? 0) .…………5 分 27 3
2 2 2

(II)假设存在这样的圆,其方程为 x ? y ? r (r ? 0) , 当直线 MN 的斜率存在时,设其方程为 y ? kx ? m ,代入椭圆的方程,

5

得 (k 2 ? 9) x2 ? 2kmx ? m2 ? 27 ? 0 , 设 M ? x1 , y1 ? ,N ? x2 , y2 ? , 则 x1 ?

?2km ? 4k 2 m2 ? 4(k 2 ? 9)(m2 ? 27) ?2km ? 4k 2 m2 ? 4(k 2 ? 9)(m2 ? 27) , , x ? 2 2(k 2 ? 9) 2(k 2 ? 9)

2km ? x1 ? x2 ? ? 2 , ? ? k ?9 所以 ? (*)…………7 分 2 ? x x ? m ? 27 , 1 2 ? k2 ? 9 ?
由 OM ? ON ? 0 ,得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0, 即 x1x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ? 0 ,
2 将式子(*)代入上式,得 m ?

???? ? ????

27 2 ( k ? 1) .…………9 分 10

又直线 MN: y ? kx ? m 与圆 x2 ? y 2 ? r 2 相切知: r ?
2 所以 r ?

m 1? k 2

.

27 27 2 2 ,即存在圆 x ? y ? 满足题意; 10 10

当直线 MN 的斜率不存在时,可得 x1 ? x2 ?
2 2 综上所述:存在圆 x ? y ?

???? ? ???? 27 27 , y1 ? ? y2 ? 满足 OM ? ON ? 0 . 10 10

27 满足题意. …………12 分 10

15、已知双曲线 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 与圆 O : x2 ? y 2 ? 3 相切,过 C 的左焦点且斜率为 3 的直 2 a b

线也与圆 O 相切. (1)求双曲线 C 的方程; (2) P 是圆 O 上在第一象限内的点,过 P 且与圆 O 相切的直线 l 与 C 的右支交于 A 、 B 两点, ?AOB 的 面积为 3 2 ,求直线 l 的方程. (1)∵双曲线 C 与圆 O 相切,∴ a ? 3 ,……………2 分 由过 C 的左焦点且斜率为 3 的直线也与圆 O 相切,得 c ? 2 ,进而 b ? 1 故双曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ………………………5 分 3

(2)设直线 l : y ? kx ? m , (k ? 0 , m ? 0) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )
6

圆心 O 到直线 l 的距离 d ?

m k ?1
2

,由 d ? 3 得 m2 ? 3k 2 ? 3 ………7 分

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 得 (3k 2 ?1) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0 2 ? ? y ?1 ?3
则 x1 ? x2 ? ?

* ○

3m2 ? 3 6km x x ? , 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

……………9 分

AB ? k 2 ? 1 ? x 2 ? x1 ? k 2 ? 1 ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? 4 x1 x 2

? k 2 ?1 ?

36k 2 m2 12(m2 ? 1) 36k 2 (3k 2 ? 3) 12(3k 2 ? 4) 2 ? ? k ? 1 ? ? (3k 2 ? 1)2 3k 2 ? 1 (3k 2 ? 1)2 3k 2 ? 1
1 3 OP ? AB ? AB ? 3 2 ,∴ AB ? 2 6 …………11 分 2 2
* 式? ? 0 得 k ? ?1 , m ? 6 ,此时○

又 ?AOB 的面积 S ?



4 3 k 2 ?1 ?2 6, 3k 2 ? 1

∴直线 l 的方程为 y ? ? x ? 6 .

…………………13 分

2 y0 (? x03 ? 3x02 ? 4) y ?1 即x? 4 x0 ? 4 x03 ? 2 x02 ? 8x0 ? 8
从而直线 PN 恒过定点 G (1, 0) …………15 分

16、已知椭圆

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,两焦点之间的距离为 4。 2 2 a b

(I)求椭圆的标准方程; (II)过椭圆的右顶点作直线交抛物线 y ? 4 x 于 A、B 两点,
2

(1)求证:OA⊥OB; (2)设 OA、OB 分别与椭圆相交于点 D、E,过原点 O 作直线 DE 的垂线 OM,垂足为 M,证明|OM|为定值。

?2c ? 4, ?a ? 4 ? 2 【答案】解: (Ⅰ)由 ? c 1 得 ? ,故 b ? 12 . ? , ?c ? 2 ? ?a 2
所以,所求椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 12

……………………(4 分)

(Ⅱ) (1)设过椭圆的右顶点 ?4,0? 的直线 AB 的方程为 x ? m y ? 4 .
7

代入抛物线方程 y 2 ? 4 x ,得 y 2 ? 4my ? 16 ? 0 . 设 A?x1 , y1 ? 、 B? x2 , y 2 ?,则 ?

? y1 ? y2 ? 4m, ? y1 y2 ? ?16.

2 ∴ x1x2 ? y1 y2 ? ? my1 ? 4?? my2 ? 4? ? y1 y2 = 1 ? m y1 y2 ? 4m ? y1 ? y2 ? ? 16 =0.

?

?

∴ OA ? OB .……………(8 分) (2)设 D?x3 , y3 ? 、 E?x4 , y4 ? ,直线 DE 的方程为 x ? ty ? ? ,代入

x2 y 2 ? ? 1 ,得 16 12

?3t

2

? 4 y 2 ? 6t?y ? 3?2 ? 48 ? 0 .于是 y3 ? y4 ? ?

?

6t? 3?2 ? 48 , y y ? . 3 4 3t 2 ? 4 3t 2 ? 4

从而 x3 x4 ? ?ty3 ? ? ??ty 4 ? ? ? ?
2

4?2 ? 48t 2 ? OD ? OE ,? x3 x4 ? y3 y4 ? 0 . 3t 2 ? 4

代入,整理得 7? ? 48 t ? 1 .
2

?

?

∴原点到直线 DE 的距离 d ?

?
1? t
2

?

4 21 为定值.………(13 分) 7

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的右顶点为 A ,上顶点为 B ,直线 y ? t 与椭圆交于不同的两点 E , F , 2 a 若 D( x, y) 是以 EF 为直径的圆上的点,当 t 变化时, D 点的纵坐标 y 的最大值为 2 .
17、已知椭圆 C : (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 过点 (0, 2 ) 且斜率 k 为的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 P, Q , 是否存在 k , 使得向量 OP ? OQ 与

??? ? ??? ?

??? ? AB 共线?若存在,试求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

(1)由 ?

?y ? t ?x ? a y ? a
2 2 2 2

? x 2 ? a 2 (1 ? t 2 ) , ? 1 ? t ? 1

r?

EF 2

? a 1 ? t 2 ,圆心为 (0, t ) 以 EF 为直径的圆的方程为: x 2 ? y 2 ? a 2 (1 ? t 2 )

? y ? t ? a 1 ? t 2 (当 x ? 0 时取等)
令 t ? cos? (? ? (0, ? )) 则 ? y ? cos? ? a sin ? ?
2 2

a 2 ? 1 sin(? ? ? )

x2 ? y 2 ? 1 ……6 分 依题 a ? 1 ? 2 ? a ? 3 椭圆 C 的方程为: 3
(2) l : y ? kx ? 2 ,由 ?

? ? y ? kx ? 2 消去 y: (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 3 ? 0 2 2 ? ?x ? 3 y ? 3
8

? ? 72k 2 ? 12(1 ? 3k 2 ) ? 0 ? k ?

3 3

设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,PQ 的中点 M ( x0 , y0 ) 由点差法: x1 ? x2 ? ?3( y1 ? y 2 ) ?
2 2 2 2

y1 ? y 2 x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 3( y1 ? y 2 )

即k ?

x0 ? x0 ? ?3ky0 ① ? 3 y0
?

M 在直线 l 上 ? y0 ? kx0 ? 2 ②

又 A( 3,0), B(0,1) ? AB ? (? 3,1) ,而 OP ?OQ 与 AB 共线,可得 OM // AB

?

?

?

?

?

? x0 ? ? 3 y0
由①②③得 k ? 18、设椭圆 C1:

③,

3 ,……12 分 3

这与 k ?

3 矛盾,故不存在 ……13 分 3

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的一个顶点与抛物线 C2: x2 ? 4 3 y 的焦点重合,F1,F2 分别是 a2 b 2 1 椭圆的左、右焦点,离心率 e ? ,过椭圆右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点. 2 (I)求椭圆 C 的方程; ???? ? ???? (II)是否存在直线 l ,使得 OM ? ON ? ?2 ,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由; | AB |2 (III)若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦,MN//AB,求证: 为定值. | MN |
解: (1)椭圆的顶点为 (0, 3) ,即 b ? 3

x2 y2 c b2 1 ? 1 …… 3 分 ? 1 ? 2 ? ,解得 a ? 2 , ?椭圆的标准方程为 ? 4 3 a a 2 (2)由题可知,直线 l 与椭圆必相交. ①当直线斜率不存在时,经检验不合题意.

e?

②设存在直线 l 为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,且 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) .

? x2 y 2 8k 2 4k 2 ? 12 ?1 ? ? x ? x ? 由? 4 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 , x1 ? x2 ? , , 3 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ? y ? k ( x ? 1) ?

???? ? ???? OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? k 2 [ x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1]
2 4k 2 ? 12 8k 2 ?5k 2 ? 12 2 4k ? 12 ? k ( ? ? 1) ? ? ?2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 所以 k ? ? 2 ,故直线 l 的方程为 y ? 2( x ? 1) 或 y ? ? 2( x ? 1) ………9 分 (3)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , A( x3 , y3 ), B( x4 , y4 )

=

由(2)可得:|MN|= 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ]
9

= (1 ? k 2 )[(

8k 2 2 4k 2 ? 12 12(k 2 ? 1) . ) ? 4( )] ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? x2 y 2 ?1 12 ? ? 由? 4 消去 y,并整理得: x2 ? , 3 3 ? 4k 2 ? y ? kx ?

48(1 ? k 2 ) | AB | 3(1 ? k ) 4k 2 ? 4 |AB|= 1 ? k 2 | x3 ? x4 |? 4 ,∴ ? 3?2 2 | MN | 12(k ? 1) 3 ? 4k 3 ? 4k 2
2
2

为定值 … 15 分

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) (1, ) 2 b 2 在椭圆上. 19、已知椭圆 a 的长轴长为 4 ,且点
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过椭圆右焦点的直线 l 交椭圆于 A, B 两点,若以 AB 为直径的圆过原点, 求直线 l 方程.

x2 y 2 ? 2 ?1 (Ⅰ)由题意: 2a ? 4 , a ? 2 .所求椭圆方程为 4 b .
(1,

又点

x2 3 ? y2 ? 1 ) 2 在椭圆上,可得 b ? 1 .所求椭圆方程为 4 . …4 分
2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? 4, b ? 1 ,所以 c ? 3 ,椭圆右焦点为 ( 3,0) . 因为以 AB 为直径的圆过原点,所以 OA ? OB ? 0 . 若直线 AB 的斜率不存在,则直线 AB 的方程为 x ? 3 .

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? 1 1 1 ( 3, ), ( 3, ? ) OA ? OB ? 3 ? ? 0 2 2 两点, 4 直线 AB 交椭圆于 ,不合题意.
若直线 AB 的斜率存在,设斜率为 k ,则直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 3) .

? ? y ? k ( x ? 3), ? 2 2 2 2 2 2 ? x ? 4 y ? 4 ? 0, 可得 (1 ? 4k ) x ? 8 3k x ?12k ? 4 ? 0 . 由?
由于直线 AB 过椭圆右焦点,可知 ? ? 0 .

8 3k 2 12k 2 ? 4 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 1 ? 4k 2 , x1 x2 ? 1 ? 4k 2 , 设

y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? k 2 [ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 3] ?

?k 2 1 ? 4k 2 .

??? ? ??? ? 12k 2 ? 4 ?k 2 11k 2 ? 4 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? ( ) ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 . 所以
10

11k 2 ? 4 4 2 11 ??? ? ??? ? ?0 k2 ? ,k ? ? 2 11 11 . 由 OA ? OB ? 0 ,即 1 ? 4k ,可得
y?? 2 11 ( x ? 3) 11 .

所以直线 l 方程为 20、 已知椭圆

………………12 分

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,两焦点之间的距离为 4。 2 2 a b

(I)求椭圆的标准方程; (II)过椭圆的右顶点作直线交抛物线 y 2 ? 4 x 于 A、B 两点, (1)求证:OA⊥OB; (2)设 OA、OB 分别与椭圆相交于点 D、E,过原点 O 作直线 DE 的垂线 OM,垂足为 M,证明|OM|为定值。

?2c ? 4, ?a ? 4 ? 2 (Ⅰ)由 ? c 1 得 ? ,故 b ? 12 . ? , ?c ? 2 ? ?a 2
x2 y 2 ? ? 1 .………(4 分) 所以,所求椭圆的标准方程为 16 12
(Ⅱ) (1)设过椭圆的右顶点 ?4,0? 的直线 AB 的方程为 x ? m y ? 4 . 代入抛物线方程 y 2 ? 4 x ,得 y 2 ? 4my ? 16 ? 0 . 设 A?x1 , y1 ? 、 B? x2 , y 2 ?,则 ?

? y1 ? y2 ? 4m, ? y1 y2 ? ?16.

2 ∴ x1x2 ? y1 y2 ? ? my1 ? 4?? my2 ? 4? ? y1 y2 = 1 ? m y1 y2 ? 4m ? y1 ? y2 ? ? 16 =0.

?

?

∴ OA ? OB . ……(8 分) (2)设 D?x3 , y3 ? 、 E?x4 , y4 ? ,直线 DE 的方程为 x ? ty ? ? ,代入

x2 y 2 ? ? 1 ,得 16 12

?3t

2

? 4 y 2 ? 6t?y ? 3?2 ? 48 ? 0 .于是 y3 ? y4 ? ?

?

6t? 3?2 ? 48 , y y ? . 3 4 3t 2 ? 4 3t 2 ? 4

4?2 ? 48t 2 从而 x3 x4 ? ?ty3 ? ? ??ty 4 ? ? ? ? 3t 2 ? 4
? OD ? OE ,? x3 x4 ? y3 y4 ? 0 .代入,整理得 7?2 ? 48 t 2 ? 1 .
∴原点到直线 DE 的距离 d ?

?

?

?
1? t
2

?

4 21 为定值.…………(13 分) 7
11


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