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数学百大经典例题


借助于标准正态分布表求值
例 设 ? 服从 N ( 0 ,1) ,求下列各式的值: (2) P (? ? ? 1 . 24 ); (3) P ( ? ? 1 . 54 ).

(1) P (? ? 2 . 35 );

分析:因为 ? 用从标准正态分布,所以可以借助于标准正态分布表,查出其值.但由于表 中只列出 x 0 ? 0 ,

P (? ? x 0 ) ? ? ( x 0 ) 的情形,故需要转化成小于非负值 x 0 的概率,公式:
? ( ? x ) ? 1 ? ? ( x ); P ( a ? ? ? b ) ? ? ( b ) ? ? ( a ); 和 P (? ? x 0 ) ? 1 ? P (? ? x 0 ) 有其用武之地.

解: (1) P (? ? 2 . 35 ) ? 1 ? P (? ? 2 . 35 ) ? 1 ? ? ( 2 . 35 ) ? 1 ? 0 . 9906 ? 0 . 0094 ; (2) P (? ? ? 1 . 24 ) ? ? ( ? 1 . 24 ) ? 1 ? ? (1 . 24 ) ? 1 ? 0 . 8925 ? 0 . 1075 ; (3) P ( ? ? 1 . 54 ) ? P ( ? 1 . 54 ? ? 1 . 54 ) ? ? (1 . 54 ) ? ? ( ? 1 . 54 )
? ? (1 . 54 ) ? [1 ? ? (1 . 54 )] ? 2 ? (1 . 54 ) ? 1 ? 0 . 8764 .

说明:要制表提供查阅是为了方便得出结果,但标准正态分布表如此简练的目的,并没 有给查阅造成不便.相反其简捷的效果更突出了核心内容.左边的几个公式都应在理解的基 础上记住它,并学会灵活应用.

求服从一般正态分布的概率
例 设 ? 服从 N (1 . 5 , 2 ) 试求:
2

(1) P (? ? 3 . 5 ); (3) P (? ? 2 );

(2) P (? ? ? 4 ); (4) P ( ? ? 3 ).

分 析 : 首 先 , 应 将 一 般 正 态 分 布 N (1 . 5 , 2 ) 转 化 成 标 准 正 态 分 布 , 利 用 结 论 : 若
? ?? ?
? x?? ? ~ N ( 0 ,1) 知: P (? ? x ) ? ? ? ? , 其后再转化为非负标准 ? ? ?

? ~ N ( ? , ? ) ,则由 ? ?
2

正态分布情况的表达式,通过查表获得结果. 解: (1) P (? ? 3 . 5 ) ? ? ?
? 3 .5 ? 1 .5 ? ? ? ? (1) ? 0 . 8413 ; 2 ? ?

(2) P (? ? ? 4 ) ? ? ?

? ? 4 ? 1 .5 ? ? ? ? ( ? 2 . 75 ) ? 1 ? ? ( 2 . 75 ) ? 0 . 0030 ; 2 ? ?

(3) P (? ? 2 ) ? 1 ? P (? ? 2 ) ? 1 ? ? ?

? 2 ? 1 .5 ? ? ? 1 ? ? ( 0 . 25 ) ? 0 . 4013 ; 2 ? ?

(4) P ( ? ? 3 ) ? P (? ? 2 ) ? 1 ? ? ?

? 3 ? 1 .5 ? ? ? 3 ? 1 .5 ? ? ? ?? ? 2 2 ? ? ? ?

? ? ( 0 . 75 ) ? ? ( ? 2 . 25 ) ? 0 . 7734 ? [1 ? ? ( 2 . 25 )] ? 0 . 7734 ? (1 ? 0 . 9878 ) ? 0 . 7612 .

说明:这里,一般正态分布 ? ~ N ( ? , ? ) ,总体小于 x 的概率值 F ( x ) 与 P (? ? x ) 和
2

? x?? ? ? x?? ? ?? ? 是一样的表述,即: P (? ? x ) ? F ( x ) ? ? ? ?. ? ? ? ? ? ?

服从正态分布的材料强度的概率
例 已知:从某批材料中任取一件时,取得的这件材料强度 ? 服从 N ( 200 ,18 ).
2

(1)计算取得的这件材料的强度不低于 180 的概率. (2)如果所用的材料要求以 99%的概率保证强度不低于 150,问这批材料是否符合这个 要求. 分析:这是一个实问题,只要通过数学建模,就可以知道其本质就是一个“正态分布下 求随机变量在某一范围内取值的概率”的问题;本题的第二问是一个逆向式问法,只要把握 实质反向求值即可. 解: (1) P (? ? 180 ) ? 1 ? P (? ? 180 ) ? 1 ? ? ?
? 180 ? 120 ? ? ? 1? 18 ? ?

? ( ? 1 . 11 ) ? 1 ? [1 ? ? (1 . 11 )] ? ? (1 . 11 ) ? 0 . 8665 ;

(2)可以先求出:这批材料中任取一件时强度都不低于 150 的概率为多少,拿这个结果 与 99%进行比较大小,从而得出结论.
? 150 ? 200 ? P (? ? 150 ) ? 1 ? P (? ? 150 ) ? 1 ? ? ? ? ? 1 ? ? ( ? 2 . 78 ) ? 1 ? [1 ? ? ( 2 . 78 )] ? ? ( 2 . 78 ) ? 0 . 9973 ; 18 ? ?

即从这批材料中任取一件时,强度保证不低于 150 的概率为 99.73%>99%,所以这批材 料符合所提要求. 说明: “不低于”的含义即在表达式中为“大于或等于” .转化“小于”后,仍须再转化 为非负值的标准正态分布表达式,从而才可查表.

公共汽车门的高度
例 若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在 1%以下设计

的,如果某地成年男子的身高 ? ~ N (175 , 36 ) (单位:㎝) ,则该地公共汽车门的高度应设计

为多高? 分析:实际应用问题,分析可知:求的是门的最低高度,可设其为 x ( cm ) ,使其总体在 不低于 x 的概率值小于 1%,即: P (? ? x ) ? 0 . 01 ? 1 % ,从中解出 x 的范围. 解:设该地公共汽车门的高度应设计高为 x cm,则根据题意可知: P (? ? x ) ? 1 % ,由于
? ~ N (175 , 36 ) ,
? x ? 175 ? ? ? 0 . 01 ; 6 ? ?

所以, P (? ? x ) ? 1 ? P (? ? x ) ? 1 ? ? ?

也即: ? ?

? x ? 175 ? ? ? 0 . 99 ; 6 ? ?

通过查表可知:

x ? 175 6

? 2 . 33 ;

解得: x ? 188 . 98 ; 即该地公共汽车门至少应设计为 189cm 高. 说明:逆向思维和逆向查表,体现解决问题的灵活性.关键是理解题意和找出正确的数 学表达式.

学生成绩的正态分布
例 某班有 48 名同学,一次考试后数学成绩服从正态分布.平均分为 80,标准差为 10, 问从理论上讲在 80 分至 90 分之间有多少人? 分析:要求 80 分至 90 分之间的人数,只要算出分数落在这个范围内的概率,然后乘以 总人数即可,而计算这个概率,需要查标准正态分布表,所以应首先把这个正态总体化成标 准正态总体. 解:设 x 表示这个班的数学成绩,则 x 服从 N ( 80 ,10 ) 设Z ?
x ? 80 10
2

则 z 服从标准正态分布 N ( 0 ,1) .

查标准正态分布表,得:
? (1) ? 0 . 8413 , ? ( 0 ) ? 0 . 5000


p ( 80 ? x ? 90 ) ? p ( 80 ? 80 10 ? x ? 80 10 ? 90 ? 80 10


) ? p ( 0 ? z ? 1) ? ? (1) ? ? ( 0 ) ? 0 . 8 ? 0 .5 ? 0 .3


4

∴ 48 ? 0 . 3413 ? 16 . 3824 ? 16 . 说明:这类问题最容易犯的错误是没有转化成标准正态分布就直接求解,一般地,我们 在解决正态总体的有关问题时均要首先转化成标准正态总体.


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