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江苏省淮安中学高二数学《合情推理(归纳推理)》学案.


教学目标:结合已经学过的数学实例和生活实例,了解合情推理的含义,能利用归纳和类比 等方法进行简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用. 教学重点:了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等方法进行简单的推理 教学难点:利用归纳和类比等方法进行简单的推理 教学过程: 一、问题情境: 1.推理的概念: 2.观察书上三个推理案例: 二、新课讲授 1:蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的

,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、 鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物,所以, 2: 三角形的内角和是 1 8 0 , 凸四边形的内角和是 3 6 0 , 凸五边形的内角和是 5 4 0 0 , …… 由此我们猜想: 3:
2 3 ? 2 ?1 2 2?2 2 2?3 , ? , ? , ? 由此我们猜想: 3?1 3 3?2 3 3?3
0 0

归纳推理的思维过程(流程图)

三、例题讲解 例 1:已知数列 ?a n ? 的每一项均为正数, a 1 ? 1, a n ? 1 ? a n ? 1 ( n ? 1, 2 ? )
2 2

试归纳出数列 ?a n ? 的通项公式

例 2:设数列 { f ( n )} 满足 f ( n ) ? n ? n ? 41, n ? N ,计算其前 10 项,同时作出归纳
2 *

推理,并检验猜想是否正确。

1

例 3:已知 a ? R ,不等式 x ? 猜想 a 的值是什么?

?

1 x

? 2, x ?

4 x
2

? 3, ?

,可推广为 x ?

a x
n

? n ?1,

2 ? 练习:应用归纳推理猜测: 1 1 1 ? 1 ? 2???2 的值。 ??? ? 2 ?
2 n个 n个

例 4:观察圆周上 n 个点之间所连的弦,发现两个点可以连一条弦,3 个点可以连 3 条 弦,4 个点可以连 6 条弦,5 个点可以连 10 条弦,由此可以归纳出什么规律?

【练习】课本第 64 页中练习题 四、课堂总结

作业 班级 1、(1) 2 ? (2) 若
6? 2 3 a b ?6 a b

姓名
3 8 4?
3 8

学号
5? 5 24

等第

2 3

,

3?
2 3 (a, b

,

4 15

,
3 8

, ? ,由此,可猜出此数列的通项公式为
4 15 5 24 5 24

2?

? 2

,

3?

?3

,

4?

4 15

? 4

,

5?

?5

,?

, 。

为实数) ,可推测出 a ?

,b ?

2

2、 已知 n 次多项式 Pn ( x ) ? a 0 x ? a1 x
n

n ?1

? ? ? a n ?1 x ? a n , 如果在一种算法中, 计算 x 0 (k
k

=2,3,4,…,n)的值需要 k-1 次乘法,计算 P3 ( x 0 ) 的值共需要 9 次运算(6 次乘法,3 次加法) ,那么计算 P1 0 ( x 0 ) 的值共需要 次运算.

P 下面给出一种减少运算次数的算法: 0 ( x ) ? a 0 , Pk ? 1 ( x ) ? xPk ( x ) ? a k ?(k=0,1, …, 2, 1

n-1) .利用该算法,计算 P3 ( x 0 ) 的值共需要 6 次运算,计算 P1 0 ( x 0 ) 的值共需 要 次运算.
' ' '

3、 f0(x)=sinx, 1(x)= f 0 ( x ) , 2(x)= f 1 ( x ) , 设 f f …, f n ? 1 ( x ) = f n ( x ) , n∈N, f 2 0 0 7 ( x ) 则 = 4、已知 1=1,1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,…,1+2+3+…+n=
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

n ( n ? 1) 2



观察下面立方和: 1 ,1 ? 2 ,1 ? 2 ? 3 ,1 ? 2 ? 3 ? 4 ,? 两者对比,试归纳出立方和的 求和公式: 5、已知正数 a , b ,有下列命题; ①若 a ? b ? 2, 则 ab ? 1; ②若 a ? b ? 3, 则 a b ?
a ? b ? 9, 则
2

3 2

; ③若 a ? b ? 6, 则

a b ? 3 。猜想若

ab ?
2 2

6、从 1 ? 1 , 2 ? 3 ? 4 ? 3 , 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 5 中,可得一般规律为 7、已知数列通项公式为 a n ? 出 f (n) ? 8、1=1,1-4= -(1+2) ,1-4+9=1+2+3,1-4+9-16= -(1+2+3+4) ? ,概括出第 n 个式子 , 为 9、观察下列等式,从中归纳出一般性法则: (1) 16 ? 4 ,1156 ? 34 ,111556 ? 334 ,11115556 ? 3334 , ?
2 2 2 2

1 ( n ? 1)
2

,记 f ( n ) ? (1 ? a1 )(1 ? a 2 ) ? (1 ? a n ), 猜想

(2) 1 ? 1 , 2 ? 3 ? 4 ? 3 , 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 5 , 4 ? 5 ? ? ? 10 ? 7 , ?
2 2 2 2

10、已知数列如下,试归纳出其通项公式。
3

(1) a1 ? 0, a n ? 1 ? 2 a n ? 3, n ? N

*

(2) a 1 ? 1, a n ? 1 ?

2an an ? 2

(n ? N )
*

(3) ? n ? N , a n ? 0, 2 S n ? a n ? 1 。
*

11、观察① tan 10 ? tan 20 ? tan 20 ? tan 60 ? tan 60 ? tan 10 ? 1;
0 0 0 0 0 0

② tan 5 ? tan 10 ? tan 10 ? tan 75 ? tan 75 ? tan 5 ? 1 。由以上两个结论推广到一般结
0 0 0 0 0 0

论,并证明。

4


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