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江苏省南通市2010届高三第一次模拟考试(数学)


南通市 2010 届高三第一次调研考试 数学
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 已知集合 U={1, 2, 3, 4},M={1, 2},N={2, 3},则 ?U (M∪N) = 2.复数
1? i (i 是虚数单位)的虚部为 (1 ? i) 2



. .

/>3.设向量 a,b 满足: | a |? 1, a ? b ? 3 , a ? b ? 2 2 ,则 | b |? 2

4.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x ? (m ? 1) y ? 2 ? m 与直线 mx ? 2 y ? ?8 互相垂直的充要 条件是 m= . .
n

5.函数 f ( x) ? cos x(sin x ? cos x)( x ? R) 的最小正周期是
n

6.在数列{an}中,若对于 n∈N*,总有 ? ak =2n-1,则 ? ak 2 =
k ?1 k ?1



7.抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1,2,3,4 的正四面体,其底面落于桌面, 记所得的数字分别为 x,y,则 x 为整数的概率是 y .

8.为了解高中生用电脑输入汉字的水平,随机抽取了部分学生进行每分钟输入汉字个数测 试,下图是根据抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图,其中每分钟输入汉字个数的 范围是[50,150],样本数据分组为[50,70) ,[70,90) , [90,110) ,[110,130) ,[130, 150],已知样本中每分钟输入汉字个数小于 90 的人数是 36,则样本中每分钟输入汉字 个数大于或等于 70 个并且小于 130 个的人数是 9.运行如图所示程序框图后,输出的结果是
频率 组距 0.015 0.012 0 0.010 5 0.007 0 0.005 5 0 50 70 90 110 130 150字 数 / 分 (第 8 题 钟 图)




开 k始 ?1 S? 0 k≥-3 Y ? S ?S – N 输 出 S结 束

/ 2k

k ? k

-1 (第 9 题 图)

10.关于直线 m, n 和平面 ? , ? ,有以下四个命题: ①若 m // ? , n // ? , ? // ? ,则 m // n ;②若 m // n, m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? ;

③若 ? ? ? ? m, m // n ,则 n // ? 且 n // ? ;④若 m ? n, ? ? ? ? m ,则 n ? ? 或 n ? ? . 其中假命题的序号是 . .

? x 2 ? 2 x,x ? 0, ? 11.已知函数 f ( x) ? ? 若 f (2 ? a2 ) ? f (a) ,则实数 a 的取值范围是 2 2 x ? x , x ? 0 , ? ?

12.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的 四边形是一个面积为 4 的正方形,设 P 为该椭圆上的动点, C 、 D 的坐标分别是

??

2, 0 ,

? ?

2, 0 ,则 PC·PD 的最大值为

?



13.设面积为 S 的平面四边形的第 i 条边的边长记为 ai(i=1,2,3,4) ,P 是该四边形内任 意一点,P 点到第 i 条边的距离记为 hi,若
4 a1 a2 a3 a4 ? ? ? ? k , 则 ? (ihi ) ? 2S .类比 k 1 2 3 4 i ?1

上述结论,体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si(i=1,2,3,4) ,Q 是该三棱 锥 内 的 任 意 一 点 , Q 点 到 第 i 个 面 的 距 离 记 为 Hi , 则 相 应 的 正 确 命 题 是 : 若

S1 S2 S3 S4 ? ? ? ? k ,则 1 2 3 4



14 .在平面直角坐标系 xOy 中,设直线 y ? 3x ? 2m 和圆 x 2 ? y 2 ? n2 相切,其中 m ,
n ? N*, 0 ?| m ? n |? 1 ,若函数 f ( x) ? mx ?1 ? n 的零点 x0 ? (k , k ? 1), k ? Z ,则 k=



二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 所对的边,且 b2=ac,向
,cos B) 满足 m ? n ? 1? 和 n ? (1 量 m ? ? cos( A ? C ),

3 .(1)求 sin A sin C 的值; (2)求证:三 2

角形 ABC 为等边三角形.

16. (本小题满分 14 分)如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,AC=AD, DE=2AB,F 为 CD 的中点. (1) 求证:AF∥平面 BCE; (2) 求证:平面 BCE⊥平面 CDE. C F B A
( 第 16 题图)

E

D

17. (本小题满分 15 分)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn, 且 a5 ? a13 ? 34,S3 ? 9 . (1)求数列 {an } 的通项公式及前 n 项和公式; (2)设数列 {bn } 的通项公式为 bn ?
an ,问: 是否存在正整数 t,使得 b1,b2,bm an ? t

(m ? 3,m ? N) 成等差数列?若存在,求出 t 和 m 的值;若不存在,请说明理由.

18. (本小题满分 15 分)某地有三个村庄,分别位于等腰直角三角 形 ABC 的三个顶点处, 已知 AB=AC=6km,现计划在 BC 边的高 AO 上一点 P 处建造 一个 变电站. 记 P 到三个村庄的距离之和为 y. (1) 设 ?PBO ? ? , 把 y 表示成 ? 的函数关系式; (2)变电站建于何处时,它到三个小区的距离之和最小? B

A

P

O
(第 18 题图)

C

y 2 x2 19. (本小题满分 16 分)已知椭圆 C: 2 + 2 =1? a>b>0? 的离心率为 6 ,过右顶点 A 的直 3 a b
线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,且 B(?1,? 3) . (1)求椭圆 C 和直线 l 的方程; (2)记曲线 C 在直线 l 下方的部分与线段 AB 所围成的平面区域(含边界)为 D.若 曲线 x2 ? 2mx ? y 2 ? 4 y ? m2 ? 4 ? 0 与 D 有公共点,试求实数 m 的最小值.

20. (本小题满分 16 分)
2 已知二次函数 g (x) 对任意实数 x 都满足 g ? x ? 1? ? g ?1 ? x ? ? x ? 2x ? 1 , 且 g ?1? ? ?1 . 令

f ( x) ? g x ? 1 ? m ln x ? 9 (m ? R, x ? 0) . 2 8

? ?

(1)求 g(x)的表达式; (2)若 ?x ? 0 使 f ( x) ? 0 成立,求实数 m 的取值范围;

(3)设 1 ? m ? e , H ( x) ? f ( x) ? (m ? 1) x , 证明:对 ?x1,x2 ?[1,m] ,恒有 | H ( x1 ) ? H ( x2 ) |? 1. 附加题部分 21. 【选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1 几何证明选讲 如图,AB 是⊙O 的直径,C、F 为⊙O 上的点,且 CA 平分∠BAF,过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 的延长线于点 D. 求证:DC 是⊙O 的切线. D D C

F A

O

B

B.选修 4—2 矩阵与变换 变换 T 是绕坐标原点逆时针旋转 π 的旋转变换,求曲线 2 x2 ? 2 xy ? y 2 ? 1 在变换 T 作用 2 下所得的曲线方程.

C.选修 4—4 参数方程与极坐标(本题满分 10 分)

π 已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ? ? 2 , ? 2 ? 2 2? cos(? ? ) ? 2 . 4
(1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.

D.选修 4—5 不等式证明选讲(本题满分 10 分) 已知 m ? 0,a,b ? R ,求证: a ? mb 1? m

?

. ? ? a 1??mb m
2 2 2

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 22.动点 P 在 x 轴与直线 l:y=3 之间的区域(含边界)上运动,且到点 F(0,1)和直线 l 的距离之和为 4. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 Q(0, ?1) 作曲线 C 的切线,求所作的切线与曲线 C 所围成区域的面积.

23.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面是等腰直角三角形, AB=BC= 2 ,BB1=3,D 为 A1C1 的中点,F 在线段 AA1 上. (1)AF 为何值时,CF⊥平面 B1DF? (2)设 AF=1,求平面 B1CF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值. z B1 D C1

.

A1 F B A

C y

x

南通市 2010 届高三第一次调研考试 数学答案
【填空题答案】 1. {4} ; 6. 1 ? 4n ? 1? ; 3
1) ; 11. (?2,

2. ? 1 ; 2 7. 1 ; 2 12.4;

3.2; 8.90;
4

4. ? 2 ; 3 9.10;

5. π ; 10.①③④ ; 14.0.

13. ? (iH i ) ? 3V ; k i ?1

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 所对的边,且 b2=ac,向

,cos B) 满足 m ? n ? 量 m ? ? cos( A ? C ), 1? 和 n ? (1

3 .(1)求 sin A sin C 的值; (2)求证:三 2

角形 ABC 为等边三角形. 【解】 (1)由 m ? n ?

3 3 得, cos( A ? C) ? cos B ? , 2 2 3 , 2

……………………2 分 ……………………4 分

又 B=π ? (A+C),得 cos(A ? C) ? cos(A+C)= 即 cosAcosC+sinAsinC ? (cosAcosC ? sinAsinC)=

3 3 ,所以 sinAsinC= . …………6 分 2 4 3 .……………8 分 4

【证明】 (2)由 b2=ac 及正弦定理得 sin 2 B ? sin A sin C ,故 sin 2 B ? 于是 cos2 B ? 1 ?

3 3 1 1 1 ? ,所以 cos B ? 或 ? . 因为 cosB = ? cos(A ? C)>0 , 所以 4 4 2 2 2 1 π cos B ? ,故 B ? . ………………… 11 分 3 2
c 又 b2=ac , 所 以 由 余 弦 定 理 得 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , 即 b2 ? a 2 ? c 2 ? a ,
ac ? a 2 ? c 2 ? ac, 得 a=c.

因为 B ?

π ,所以三角形 ABC 为等边三角形. 3
4分

………………… 1

16. (本小题满分 14 分)如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,AC=AD, B DE=2AB,F 为 CD 的中点. (1) 求证:AF∥平面 BCE; (2) 求证:平面 BCE⊥平面 CDE. 【证明】 (1)因为 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,所以 AB∥DE. C
( 第 16

E

A F D

题图 取 CE 的中点 G, 连结 BG、 GF, 因为 F 为 CD 的中点, 所以 GF∥ED∥BA ,) GF=

1 ED 2

=BA, 从而 ABGF 是平行四边形, 于是 AF∥BG. ……………………4 分

因为 AF ? 平面 BCE,BG ? 平面 BCE,所以 AF∥平面 BCE. ……………………7 分 (2)因为 AB⊥平面 ACD,AF ? 平面 ACD, 所以 AB⊥AF,即 ABGF 是矩形,所以 AF⊥GF. 又 AC=AD,所以 AF⊥CD. 分 而 CD∩GF=F,所以 AF⊥平面 GCD,即 AF⊥平面 CDE. 因为 AF∥BG,所以 BG⊥平 面 CDE. ……………………9 分 ………………… 11

因为 BG ? 平面 BCE,所以平面 BCE⊥平面 CDE. 14 分

…………………

17. (本小题满分 15 分)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn, 且 a5 ? a13 ? 34,S3 ? 9 . (1)求数列 {an } 的通项公式及前 n 项和公式; (2)设数列 {bn } 的通项公式为 bn ?
an ,问: 是否存在正整数 t,使得 b1,b2,bm an ? t

(m ? 3,m ? N) 成等差数列?若存在,求出 t 和 m 的值;若不存在,请说明理由.

? a ? a13 ? 34, 【解】 (1)设等差数列 {an } 的公差为 d. 由已知得 ? 5 ……………………2 分 ?3a2 ? 9, ?a ? 8d ? 17, ? a ? 1, 即? 1 解得 ? 1 ……………………4 分.故 an ? 2n ? 1,Sn ? n2 . ? d ? 2. ? a1 ? d ? 3,

………6 分

( 2 ) 由( 1 ) 知 bn ?

2n ? 1 . 要 使 b1 ,b2,bm 成 等 差 数 列, 必 须 2b2 ? b1 ? bm , 即 2n ? 1 ? t
…………… 11 分

2?

3 1 2 m? 1 4 ,……8 分.整理得 m ? 3 ? , ? ? 3 ? t 1 ? t 2m ? 1 ? t t ?1

因为 m,t 为正整数,所以 t 只能取 2,3,5.当 t ? 2 时, m ? 7 ;当 t ? 3 时, m ? 5 ;当
t ? 5 时, m ? 4 .

故存在正整数 t,使得 b1 ,b2,bm 成等差数列. 18. (本小题满分 15 分)某地有三个村庄,分别位于等腰直角三角 形 ABC 的三个顶点处, 已知 AB=AC=6km,现计划在 BC 边的高 AO 上一点 P 处建造 一个 变电站. 记 P 到三个村庄的距离之和为 y. (1) 设 ?PBO ? ? , 把 y 表示成 ? 的函数关系式; (2)变电站建于何处时,它到三个小区的距离之和最小?

………………… 15 分

A

P

B

O
(第 18 题图)

C

【解】 (1)在 Rt?AOB 中, AB ? 6,所以 OB =OA= 3 2 .所以 ?ABC ? π 4 由题意知 0 ? ? ? π . 4 所以点 P 到 A、B、C 的距离之和为
y ? 2 PB ? PA ? 2 ? 3 2 2 ? sin ? ? (3 2 ? 3 2 tan ? ) ? 3 2 ? 3 2 ? . cos ? cos ?

……………………2 分

……………………6 分

故所求函数关系式为 y ? 3 2 ? 3 2 ? 2 ? sin ? 0 ? ? ? π . cos ? 4 ( 2 ) 由 ( 1 ) 得 y? ? 3 2 ?

?

?

……………………7 分

2 sin ?? 1 1 , 令 y ? ? 0 即 sin ? ? , 又 0 ? ? ? π , 从 而 2 4 cos ? 2

??

π . 6

……………………9 分.

当0 ?? ? 所以当 ? ?

π π π 时, y ? ? 0 ;当 ? ? ? 时, y ? ? 0 . 6 6 4
………………… 13 分

π 2 ? sin ? 时, y ? 4 ? 3 2 ? 取得最小值, 6 cos ?

此时 OP ? 3 2 tan

π ,即点 P 在 OA 上距 O 点 6 km 处. ? 6 (km) 6

【答】变电站建于距 O 点 6 km 处时,它到三个小区的距离之和最小. ………… 15 分

y 2 x2 19. (本小题满分 16 分)已知椭圆 C: 2 + 2 =1? a>b>0? 的离心率为 6 ,过右顶点 A 的直 3 a b
线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,且 B(?1,? 3) . (1)求椭圆 C 和直线 l 的方程; (2)记曲线 C 在直线 l 下方的部分与线段 AB 所围成的平面区域(含边界)为 D.若 曲线 x2 ? 2mx ? y 2 ? 4 y ? m2 ? 4 ? 0 与 D 有公共点,试求实数 m 的最小值.
6 a 2 ? b2 6 ? ,得 ,即 a2 ? 3b2 . 3 a 3

【解】 (1)由离心率 e ?

① ………………2 分 ② ………………4 分

又点 B(?1,? 3) 在椭圆 C :

y 2 x2 (?3)2 (?1)2 上,即 + ? 1 + 2 ?1 . a 2 b2 a2 b

解 ①②得 a 2 ? 12,b2 ? 4 , 故所求椭圆方程为

y 2 x2 ? ?1. 12 4

…………………6 分

0),B(?1, ? 3) 得直线 l 的方程为 y ? x ? 2 . ………8 分 由 A(2,

(2)曲线 x2 ? 2mx ? y 2 ? 4 y ? m2 ? 4 ? 0 , 即圆 ( x ? m)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 ,其圆心坐标为 G(m,? 2) ,半径
r ? 2 2 ,表示圆心在直线
y ? ?2 上,半径为 2 2 的动圆.

………………… 10 分

由于要求实数 m 的最小值,由图可知,只须考虑 m ? 0 的情形. 设 ? G 与直线 l 相切于点 T,则由

| a ? 2?2| 2

? 2 2 ,得 m ? ?4 ,………………… 12 分

当 m ? ?4 时,过点 G(?4,? 2) 与直线 l 垂直的直线 l ? 的方程为 x ? y ? 6 ? 0 ,
? x ? y ? 6 ? 0, 解方程组 ? 得 T (?2,? 4) . ?x ? y ? 2 ? 0

………………… 14 分

因为区域 D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为 ?1,2 , 所以切点 T ? D , 由图可知当 ? G 过点 B 时, m 取得最小值, 即 (?1 ? m)2 ? (?3 ? 2)2 ? 8 , 解得 mmin ? ? 7 ? 1 . ………………… 16 分

(说明:若不说理由,直接由圆过点 B 时,求得 m 的最小值,扣 4 分) 20. (本小题满分 16 分)
2 已知二次函数 g (x) 对任意实数 x 都满足 g ? x ? 1? ? g ?1 ? x ? ? x ? 2x ? 1 , 且 g ?1? ? ?1 . 令

f ( x) ? g x ? 1 ? m ln x ? 9 (m ? R, x ? 0) . 2 8

? ?

(1)求 g(x)的表达式; (2)若 ?x ? 0 使 f ( x) ? 0 成立,求实数 m 的取值范围; (3)设 1 ? m ? e , H ( x) ? f ( x) ? (m ? 1) x , 证明:对 ?x1,x2 ?[1,m] ,恒有 | H ( x1 ) ? H ( x2 ) |? 1. 【解】 (1)设 g ? x ? ? ax 2 ? bx ? c ,于是
?a ? 1, 2 2 ? 2 g ? x ? 1? ? g ?1 ? x ? ? 2a ? x ? 1? ? 2c ? 2 ? x ? 1? ? 2, 所以 ? ? ?c ? ?1.

又 g ?1? ? ?1 ,则 b ? ? 1 .所以 g ? x ? ? 1 x 2 ? 1 x ? 1 . 2 2 2 (2) f ( x) ? g x ? 1 ? m ln x ? 9 ? 1 x2 ? m ln x(m ? R,x ? 0). 2 8 2 当 m>0 时,由对数函数性质,f(x)的值域为 R;

……………………4 分

? ?

x2 ? 0 对 ?x ? 0 , f ( x) ? 0 恒成立; 2 m 当 m<0 时,由 f ?( x) ? x ? ? 0 ? x ? ?m ,列表: x
当 m=0 时, f ( x) ? x
f ?( x) f ( x)

……………………6 分

(0, ?m )
- 减

?m

( ?m, ? ?)
+ 增

0 极小

这时, ? m ln ?m. ? f ( x)?min ? f ( ?m ) ? ? m 2

? f ( x)?min

? m ?? ? m ln ?m ? 0, ?0?? 2 ? ?e<m ? 0. ? m ? 0 ?

……………………8 分

所以若 ?x ? 0 , f ( x) ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 (?e,0] .
? ? ? ……………… 10 分 故 ?x ? 0 使 f ( x) ? 0 成立,实数 m 的取值范围 (??, ?e] ? ? 0, .

(3)因为对 ?x ? [1,m] , H ?( x) ?

( x ? 1)( x ? m) ? 0,所以 H ( x) 在 [1, m] 内单调递减. x

1 1 于是 | H ( x1 ) ? H ( x2 ) |? H (1) ? H (m) ? m2 ? m ln m ? . 2 2 1 1 1 3 | H ( x1 ) ? H ( x2 ) |? 1 ? m2 ? m ln m ? ? 1 ? m ? ln m ? ? 0. ………………… 12 分 2 2 2 2m 1 3 记 h(m) ? m ? ln m ? (1 ? m ? e) , 2 2m
则 h' (m) ? 1 ? 1 ? 3 2 ? 3 1 ? 1 ? 1 ? 0, 2 m 2m 2 m 3 3

?

?

2

1 3 所以函数 h(m) ? m ? ln m ? 在 ?1,e] 是单调增函数, 2 2m
所以 h(m) ? h(e) ?
e 3 ? e ? 3?? e ? 1? ?1? ? ? 0 ,故命题成立. 2 2e 2e

………………… 14 分 ………………… 16 分

附加题部分 21. 【选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1 几何证明选讲 如图,AB 是⊙O 的直径,C、F 为⊙O 上的点,且 CA 平分∠BAF,过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 的延长线于点 D. 求证:DC 是⊙O 的切线. 【证明】连结 OC,所以∠OAC=∠OCA. 又因为 CA 平分∠BAF,所以∠OAC=∠FAC, 于是∠FAC=∠OCA,所以 OC//AD. 又因为 CD⊥AF,所以 CD⊥OC, 故 DC 是⊙O 的切线. ………………… 10 分 A F D D C

O

B

B.选修 4—2 矩阵与变换

变换 T 是绕坐标原点逆时针旋转 π 的旋转变换,求曲线 2 x2 ? 2 xy ? y 2 ? 1 在变换 T 作用 2 下所得的曲线方程.
?0 ?1? ?x? 【解】变换 T 所对应变换矩阵为 M ? ? ,设 ? ? 是变换后图像上任一点,与之 ? ?1 0 ? ? y? ?x ? ? x? ? y ? ? x, ?x ? 对应的变换前的点是 ? 0 ? ,则 M ? 0 ? ? ? ? ,即 ? 0 ,代入 2 x02 ? 2 x0 y0 ? y02 ? 1 , y x ? y , y y ? 0? ? ? ? 0 ? 0?

即 x2 ? 2 xy ? 2 y 2 ? 1, 所以变换后的曲线方程为 x2 ? 2 xy ? 2 y 2 ? 1 . ………………… 10 分

C.选修 4—4 参数方程与极坐标(本题满分 10 分)

π 已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ? ? 2 , ? 2 ? 2 2? cos(? ? ) ? 2 . 4
(1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 【解】 (1) ? ? 2 ? ? 2 ? 4 ,所以 x2 ? y 2 ? 4 ;因为 ? 2 ? 2 2? cos ? ? π ? 2 , 4 所以 ? 2 ? 2 2? cos? cos π ? sin ? sin π ? 2 ,所以 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 . ………5 分 4 4 (2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为 x ? y ? 1 . 化为极坐标方程为 ? cos? ? ? sin ? ? 1 ,即 ? sin ? ? π ? 2 . ………………… 10 分 4 2

?

?

?

?

?

?

D.选修 4—5 不等式证明选讲(本题满分 10 分) . ? ? a 1??mb m 【解】因为 m ? 0 ,所以 1 ? m ? 0 ,所以要证 ? a ? mb ? ? a ? mb , 1? m 1? m 已知 m ? 0,a,b ? R ,求证: a ? mb 1? m

?

2

2

2

2

2

2

即证 (a ? mb)2 ? (1 ? m)(a2 ? mb2 ) , 即证 m(a2 ? 2ab ? b2 ) ? 0 , 即证 (a ? b)2 ? 0 ,而 (a ? b) 2 ? 0 显然成立,故 a ? mb 1? m

?

.…………… 10 分 ? ? a 1??mb m
2 2 2

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.

22.动点 P 在 x 轴与直线 l:y=3 之间的区域(含边界)上运动,且到点 F(0,1)和直线 l 的距离之和为 4. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 Q(0, ?1) 作曲线 C 的切线,求所作的切线与曲线 C 所围成区域的面积. 【解】 (1) 设P (x, y) , 根据题意, 得 x2 ? ( y ? 1)2 +3-y=4, 化简, 得 y=

1 2 x (y≤3) . 4

…………………4 分 (2)设过 Q 的直线方程为 y=kx-1,代入抛物线方程,整理得 x2-4kx+4=0. 由△ =16k2-16=0.解得 k=± 1. 于是所求切线方程为 y=± x-1(亦可用导数求得切线方程). 切点的坐标为(2,1) , (-2,1) .
2 由对称性知所求的区域的面积为 S= 2? ? 1 x2 ? ( x ? 1) ?dx ? 3 . ?4 ? 0 ? 4 ?

………………… 10 分 B1 C1 D

23.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面是等腰直角三角形, AB=BC= 2 ,BB1=3,D 为 A1C1 的中点,F 在线段 AA1 上. (1)AF 为何值时,CF⊥平面 B1DF? (2)设 AF=1,求平面 B1CF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值. 【解】 (1)因为直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, BB1⊥面 ABC,∠ABC= π . 2 A A1 F B

C

(第 23 题图)

以 B 点为原点,BA、BC、BB1 分别为 x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系. 因为 AC=2,∠ABC=90? ,所以 AB=BC= 2, 从而 B(0, 0, 0), A

?

2,0,0 , C 0, 2,0 , B1(0, 0, 3), A1

?

?

?

?

2,0,3 , C1 0, 2,3 ,

?

?

?

? ? ? ? D ? 2 , 2 ,3 ? ,E ? 0, 2 ,3 ? . 2 2 2 2 ? ? ? ? ???? 所以 CA 2, ? 2, 3 , 1 ?

?

?

z B1 D C1

设 AF=x,则 F( 2,0,x), A1 ??? ? ???? ? ???? ? ? ? CF ? ? 2,? 2,x ?,B1 F ? ? 2,0,x ? 3?,B1 D ? ? 2 , 2 ,0 ? . 2 ? 2 ? F ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? CF ? B1 D ? 2 ? 2 ? (? 2) ? 2 ? x ? 0 ? 0 ,所以 CF ? B1D. 2 2 B A

C y

x

要使 CF⊥平面 B1DF,只需 CF⊥B1F.

??? ? ???? ? 由 CF ? B1F =2+x(x-3)=0,得 x=1 或 x=2,
故当 AF=1 或 2 时,CF⊥平面 B1DF.……………… 5 分 (2)由(1)知平面 ABC 的法向量为 n1=(0,0,1).

??? ? ? ?n ? CF ? 0, ? ? 2 x ? 2 y ? z ? 0, 设平面 B1CF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则由 ? ???? 得? ? ? ?n ? B1 F ? 0, ? ? 2 x ? 2 z ? 0,
令 z=1 得 n ?

?

2,3 2, 1 , 2
1 1? 2 ? 9 ? 1 2 ? 30 . 15

?

所以平面 B1CF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值 cos? n,n1 ? ?

………………… 10 分


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