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人教版-高中数学必修4-第二章-2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义-课件


平面向量数量积 的物理背景及其 含义

教学目的
1、掌握平面向量数量积的物理 背景;
2、掌握平面向量数量积的定义 及几何意义; 3、理解一个向量在另一个向量

方向上的投影的概念。

教学难点及突破方法
平面向量数量积概念的理解。教师 利用物理常识创设情景引入概念进行 理解,配置典型

性题组,由浅入深, 让学生在练习的过程中掌握基本方法。

一、向量数量积的物理背景
在物理课中,我们学过功的概念, 即如果一个物体在力 F 的作用下产生位 移 S ,那么力 F 所做的功

W ? F ? S ? cos?

F
?
S

我们将功的运算类比到两个向量
的一种运算,得到向量“数量积”的 概念。

W ? F ? S ? cos?

a ? b ? | a | | b | cos ?

二、向量 a 与 b 的数量积的概念
已知两个非零向量 a 与 b ,它们
的夹角为θ,则我们把数量

| a | ? | b | cos? 叫做 a 与 b 的数量积(或
内积),记作:

a ? b ?| a | ? | b | cos?
规定:零向量和任一向量的数量积为0

思考:两非零向量 a 与 b 的数量积 是一个实数,不是一个向量,其值可以

为正,也可以为负,还可以为零,请说
出什么时候为正,什么时候为负,什么 时候为零?

测一测: 前提: a与b是非零向量

(1) a ? b 的结果还是一个向量对 吗? (2) a ? a ?| a | 对吗?
2

(3) | a ? b |?| a || b | 对吗? (4) a ? b ? 0 ? a ? b对吗? (5) a ? b ? a ? b ? 0对吗? (6)a // b ? a ? b ?| a || b | 对吗?

结论: 前提: a与b是非零向量

(1) a ? b ? 0 ? a ? b
(2) 当a与b同向时, a ? b ?| a || b | ; 当a与b反向时, a ? b ? ? | a || b |
(3) a ? a ?| a | 或 | a |? a ? a
2

(4) a ? b ?| a || b |

算一算:

1、 | a |? 5, | b |? 4, a与b的夹角 为120 ,求a ? b.
?

答案:-10

2、 | a |? 6, | b |? 8, a与b平行, 求a ? b.
同向时,48

反向时,-48

算一算:

3、 | a |? 4, | b |? 4, a ? b ? 8 2, 求a与b的夹角
8 2 2 解:由cos? ? ? ? 2 | a || b | 4 ? 4 可得?=45
0

a ?b

三、向量的投影 几何画板展示
设θ是向量 a 与 b 间的夹角,

| b | cos ? 叫做向量 a在向量b方向上的投 影;而 | a | cos ? 称为 b在向量 a 方向上
的投影。

说明:一个向量在另一个向量方向 上的投影是一个数,当0°≤θ<90°

时,它为正值;当θ=90°时,它为0;
当90°<θ≤180°时,它为负值.特 别地,当θ=0°,它就等于 | b | ;而当

θ=180°时,它等于 ? | b | 。

你能根据投影的定义解释

a ? b ?| a | ?| b | cos?

的几何意义?

练一练:
若 | a |? 4 , | b |? 8 , a与b夹角为 ? (1)当 ? ? 30 时a在b上的投影为 2 3
0

(2)当 ? ? 90 时a在b上的投影为
0 0

0

(3)当 ? ? 120 时a在b上的投影为 ? 2 (4)当 ? ? 120 时b在a上的投影为 ? 4
0

四、向量数量积的运算律
已知向量

a, b, c与实数λ,则向量

的数量积满足下列运算律:

? (1)a ? b ? b ? a(交换律)
(2)(? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (? b)

? (3)a ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c (分配律)

说明:向量数量积不满足消去律,

也就是说:

当a ? 0, a ? b ? a ? c时,不一定有b ? c.

巩固训练
题1、求证:

(1)(a ? b) ? a ? 2a ? b ? b
2

2

2

(2)(a ? b)(a ? b) ? a ? b

2

2

题2、 已知 a ? 6, b ? 4, a与b的夹角为60 ,
0

求(a+2b) ? (a-3b)

题3、 已知 a ? 3, b ? 4,且a与b不共线.k为 何值时,向量 a ? k b与a ? k b互相垂直.

提高练习:
1、三角形ABC为正三角形,问:
(1) AB与 AC 夹角为 600 (2) AB与 BC 夹角为 1200
1 (3) AB在 AC 上的投影为 2 | AB | 1 (4) AB在 BC 上的投影为 ? 2 | AB |

2、判断下列说法的正误,并说明理由
(1)在?ABC中,若AB ? BC <0,则?ABC是锐角?。


(2)在?ABC中,若AB ? BC ? 0,则?ABC是钝角?。


(3)在?ABC中,若AB ? BC ? 0,则?ABC是直角?。



3、 已知 a ? 2, b ? 3, a与b的夹角为 120 (1)a ? b =-3 (5) a ? b
(2) a ? b =-5
2 2

0

(3)(2a ? b) ? (a ? 3b) =-34 (4) a ? b ? 7

? 19

5 133 (6)(a ? b)与(a ? b)夹角的余弦值为? 133

五、归纳小结: 1、平面向量 a, b 的数量积。
2、一个向量在另一向量方向上

的投影。

六、作业
课本P119A组第1,2,6,7


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