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黄冈中学高考数学典型例题24---直线与圆锥曲线


黄冈中学
高考数学典型例题详解

直线与圆锥曲线
每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释; 每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释; 大事 静气 神明 冰释 积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁? 积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁? 准备 面对 发挥 其谁

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直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现, 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现, 主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出 主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出 考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法, 考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考 生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次” , 生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次” 有利 于选拔的功能. 于选拔的功能

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●难点磁场 (★★★★★)已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭圆交于 P 和 Q,且 OP⊥OQ,|PQ|=
10 ,求椭圆方程. 2

●案例探究 [例 1]如图所示,抛物线 y2=4x 的顶点为 O,点 A 的坐 ] 标为(5, 倾斜角为 0),
π
4

的直线 l 与线段 OA 相交(不经过点 O

或点 A)且交抛物线于 M、N 两点,求△AMN 面积最大时直线 l 的方程,并求△AMN 的最大面积. 命题意图:直线与圆锥曲线相交,一个重要的问题就是有关弦长的问题.本 题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法”.属★★ ★★★级题目. 知识依托:弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的 思想. 错解分析:将直线方程代入抛物线方程后,没有确定 m 的取值范围.不等式 法求最值忽略了适用的条件. 技巧与方法:涉及弦长问题,应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长,涉 及垂直关系往往也是利用韦达定理,设而不求简化运算. 解:由题意,可设 l 的方程为 y=x+m,-5<m<0. 由方程组 ① ∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N, ∴方程①的判别式Δ=(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0, 解得 m<1,又-5<m<0,∴m 的范围为(-5,0) 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=4-2m,x1x2=m2, ∴|MN|=4 2(1 m) . 点 A 到直线 l 的距离为 d=
5+ m 2

y = x + m
2 y = 4x

,消去 y,得 x2+(2m-4)x+m2=0

.

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∴S△=2(5+m) 1 m ,从而 S△2=4(1-m)(5+m)2 =2(2-2m)(5+m)(5+m)≤2(
2 2m + 5 + m + 5 + m 3 ) =128. 3

∴S△≤8 2 ,当且仅当 2-2m=5+m,即 m=-1 时取等号. 故直线 l 的方程为 y=x-1,△AMN 的最大面积为 8 2 .

[例 2]已知双曲线 C:2x2-y2=2 与点 P(1,2) ] (1)求过 P(1,2)点的直线 l 的斜率取值范围,使 l 与 C 分别有一个交点,两 个交点,没有交点. (2)若 Q(1,1),试判断以 Q 为中点的弦是否存在. 命题意图: 第一问考查直线与双曲线交点个数问题, 归结为方程组解的问题. 第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法——“差分法” ,属★★★★ ★级题目. 知识依托: 二次方程根的个数的判定、 两点连线的斜率公式、 中点坐标公式. 错解分析:第一问,求二次方程根的个数,忽略了二次项系数的讨论.第二 问,算得以 Q 为中点弦的斜率为 2,就认为所求直线存在了. 技巧与方法:涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直 线的斜率,弦的中点坐标联系起来,相互转化. 解:(1)当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=1,与曲线 C 有一个交点.当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1),代入 C 的方程,并整理得 (2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0 (*) (ⅰ)当 2-k2=0,即 k=± 2 时,方程(*)有一个根,l 与 C 有一个交点 (ⅱ)当 2-k2≠0,即 k≠± 2 时

Δ=[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k)
①当Δ=0,即 3-2k=0,k= 时,方程(*)有一个实根,l 与 C 有一个交点. ②当Δ>0,即 k< ,又 k≠± 2 ,故当 k<- 2 或- 2 <k< 2 或 2 <k<
3 2 3 2

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3 时,方程(*)有两不等实根,l 与 C 有两个交点. 2 3 ③当Δ<0,即 k> 时,方程(*)无解,l 与 C 无交点. 2 3 综上知:当 k=± 2 ,或 k= ,或 k 不存在时,l 与 C 只有一个交点; 2 3 当 2 <k< ,或- 2 <k< 2 ,或 k<- 2 时,l 与 C 有两个交点; 2 3 当 k> 时,l 与 C 没有交点. 2

(2)假设以 Q 为中点的弦存在, 设为 AB, A(x1,y1),B(x2,y2), 2x12-y12=2,2x22 且 则 -y22=2 两式相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1-x2)=y1-y1 即 kAB=
y1 y 2 =2 x1 x 2

但渐近线斜率为± 2 ,结合图形知直线 AB 与 C 无交点,所以假设不正确, 即以 Q 为中点的弦不存在.

[例 3]如图,已知某椭圆的焦点是 F1(-4,0)、F2(4,0),过点 F2 并垂直 ] 于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为 B,且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.

(1)求该弦椭圆的方程; (2)求弦 AC 中点的横坐标; (3)设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m,求 m 的取值范围. 命题意图:本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识,一、二问较简单, 第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围,设计新颖,综合性,灵活性强,属★ ★★★★级题目. 知识依托:椭圆的定义、等差数列的定义,处理直线与圆锥曲线的方法.
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错解分析:第三问在表达出“k= 清题目中变量间的关系.

25 y0”时,忽略了“k=0”时的情况,理不 36

技巧与方法:第一问利用椭圆的第一定义写方程;第二问利用椭圆的第二定 义(即焦半径公式)求解,第三问利用 m 表示出弦 AC 的中点 P 的纵坐标 y0,利用 y0 的范围求 m 的范围. 解 : (1) 由 椭 圆 定 义 及 条 件 知 , 2a=|F1B|+|F2B|=10, 得 a=5, 又 c=4, 所 以 b= a 2 c 2 =3. 故椭圆方程为
x2 y2 + =1. 25 9

(2)由点 B(4,yB)在椭圆上,得|F2B|=|yB|= .因为椭圆右准线方程为 x= 率为 ,根据椭圆定义,有|F2A|= (
4 5 4 25 4 25 -x1),|F2C|= ( -x2), 5 4 5 4

9 5

25 ,离心 4

由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得
4 25 4 25 9 ( -x1)+ ( -x2)=2× ,由此得出:x1+x2=8. 5 4 5 4 5 x +x 设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),则 x0= 1 2 =4. 2

(3)解法一:由 A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.
9 x12 + 25 y12 = 9 × 25 得 2 9 x 2 + 25 y 2 2 = 9 × 25
① ②

①-②得 9(x12-x22)+25(y12-y22)=0, 即 9× (
x1 + x 2 y + y2 y y2 ) + 25( 1 )( 1 ) =0(x1≠x2) 2 2 x1 x 2


1 )=0 k

x1 + x 2 y + y2 y y2 1 (k≠0)代入上式,得 9×4+25y0(- = x0 = 4, 1 = y0 , 1 = 2 2 x1 x 2 k

(k≠0) 即 k=
25 y0(当 k=0 时也成立). 36 25 y0= 9

由点 P(4,0)在弦 AC 的垂直平分线上, y0=4k+m,所以 m=y0-4k=y0- y 得 -
16 y0. 9
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由点 P(4,y0)在线段 BB′(B′与 B 关于 x 轴对称)的内部,得- <y0< , 所以-
16 16 <m< . 5 5

9 5

9 5

解法二:因为弦 AC 的中点为 P(4,y0),所以直线 AC 的方程为 y-y0=-
1 (x-4)(k≠0) k
x2 y2 + =1,得 25 9



将③代入椭圆方程

(9k2+25)x2-50(ky0+4)x+25(ky0+4)2-25×9k2=0 所以 x1+x2=
50( k 0 + 4) 25 =8,解得 k= y0.(当 k=0 时也成立) 2 36 9k + 25

(以下同解法一).

●锦囊妙计 1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题, 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题, 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题 实际上是研究它们的 方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题,此时要注意用好分类讨论 方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题, 和数形结合的思想方法. 和数形结合的思想方法

2.当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而不求 当直线与圆锥曲线相交时: 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题,常用“韦达定理法” 计算弦长(即应用弦长公式 ;涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求, 计算弦长 即应用弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求, 即应用弦长公式 将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题 将弦所在直线的斜率、 弦的中点坐标联系起来, 相互转化 同时还应充分挖掘题 目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍 目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍. 间的关系灵活转化

●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)斜率为 1 的直线 l 与椭圆 最大值为( A.2 ) B.
4 5 5

x2 2 +y =1 相交于 A、B 两点,则|AB|的 4

C.

4 10 5

D.

8 10 5

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2.(★★★★)抛物线 y=ax2 与直线 y=kx+b(k≠0)交于 A、B 两点,且此两点的 横坐标分别为 x1,x2,直线与 x 轴交点的横坐标是 x3,则恒有( A.x3=x1+x2 C.x1+x2+x3=0 B.x1x2=x1x3+x2x3 D.x1x2+x2x3+x3x1=0 )

二、填空题 3.(★★★★)已知两点 M(1, )、 N(-4, - ), 给出下列曲线方程: ①4x+2y -1=0, ②x2+y2=3,③
x2 2 x2 +y =1,④ -y2=1,在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲 2 2

5 4

5 4

线方程是_________.

4.(★★★★★)正方形 ABCD 的边 AB 在直线 y=x+4 上,C、D 两点在抛物线 y2=x 上,则正方形 ABCD 的面积为_________.

5.(★★★★★)在抛物线 y2=16x 内,通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在 直线的方程是_________.

三、解答题 6.(★★★★★)已知抛物线 y2=2px(p>0),过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两点 A、B,且|AB|≤2p. (1)求 a 的取值范围.

(2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求△NAB 面积的最大值.

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7.(★★★★★)已知中心在原点,顶点 A1、A2 在 x 轴上,离心率 e= 曲线过点 P(6,6). (1)求双曲线方程.

21 的双 3

(2)动直线 l 经过△A1PA2 的重心 G,与双曲线交于不同的两点 M、N,问: 是否存在直线 l,使 G 平分线段 MN,证明你的结论.

8.(★★★★★)已知双曲线 C 的两条渐近线都过原点,且都以点 A( 2 ,0) 为圆心,1 为半径的圆相切,双曲线的一个顶点 A1 与 A 点关于直线 y=x 对称. (1)求双曲线 C 的方程. (2)设直线 l 过点 A,斜率为 k,当 0<k<1 时,双曲线 C 的上支上有且仅有一 点 B 到直线 l 的距离为 2 ,试求 k 的值及此时 B 点的坐标.

参考答案 难点磁场 解:设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0), P(x1,y1),Q(x2,y2) 由
y = x +1 mx + ny = 1
2 2

得(m+n)x2+2nx+n-1=0,

Δ=4n2-4(m+n)(n-1)>0,即 m+n-mn>0,
由 OP⊥OQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0, ∴
2(n 1) 2n +1=0,∴m+n=2 m+n mn



4(m + n mn) 10 2 =( ) , m+n 2 3 将 m+n=2,代入得 mn= 4

又2

② 由①、②式得 m= ,n= 或 m= ,n= 故椭圆方程为
1 2 3 2 3 2 1 2

x2 3 2 3 1 + y =1 或 x2+ y2=1. 2 2 2 2

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歼灭难点训练 一、1.解析:弦长|AB|= 2 答案:C 2.解析:解方程组
b ,代入验证即可. k
y = ax 2 y = kx + b 4 5 t2 4 10 ≤ . 5 5

,得 ax2-kx-b=0,可知 x1+x2= ,x1x2=-

k a

b ,x3=- a

答案:B

二、3.解析:点 P 在线段 MN 的垂直平分线上,判断 MN 的垂直平分线于所 给曲线是否存在交点. 答案:②③④ 4.解析:设 C、D 所在直线方程为 y=x+b,代入 y2=x,利用弦长公式可求出|CD| 的长,利用|CD|的长等于两平行直线 y=x+4 与 y=x+b 间的距离,求出 b 的值,再 代入求出|CD|的长. 答案:18 或 50 5.解析:设所求直线与 y2=16x 相交于点 A、B,且 A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物 线方程得 y12=16x1,y22=16x2,两式相减得,(y1+y2)(y1-y2)=16(x1-x2). 即
y1 y2 16 = kAB=8. x1 x2 y1 + y 2

故所求直线方程为 y=8x-15. 答案:8x-y-15=0

三、6.解:(1)设直线 l 的方程为:y=x-a,代入抛物线方程得(x-a)2=2px,即 x2-2(a+p)x+a2=0 ∴|AB|= 2 4(a + p ) 2 4a 2 ≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即 4ap≤-p2 又∵p>0,∴a≤-
p . 4

(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点 C(x,y),

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由(1)知,y1=x1-a,y2=x2-a,x1+x2=2a+2p, 则有 x=
x1 + x2 y + y 2 x1 + x2 2a = a + p, y = 1 = =p. 2 2 2

∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y-p=-(x-a-p),从而 N 点坐标为 (a+2p,0) 点 N 到 AB 的距离为
1 2 | a + 2p a | = 2p 2

从而 S△NAB= 2 4(a + p ) 2 4a 2 2 p = 2 p 2ap + p 2 当 a 有最大值-
p 时,S 有最大值为 2 p2. 4

7. 解 : (1) 如 图 , 设 双 曲 线 方 程 为
62 62 a 2 + b 2 21 2 2 2 = 1, e 2 = = ,解得 a =9,b =12. 2 2 3 a b a

x2 y 2 a2 b2

=1. 由 已 知 得

所以所求双曲线方程为

x2 y2 =1. 9 12

, (2)P、A1、A2 的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0) ∴其重心 G 的坐标为(2,2) 假设存在直线 l,使 G(2,2)平分线段 MN,设 M(x1,y1),N(x2,y2).则有
12 x12 9 y12 = 108 y y 2 12 4 4 12 x2 2 9 y 2 2 = 108 1 = = ,∴kl= x1 x2 9 3 3 x1 + x2 = 4 y + y = 4 2 1

∴l 的方程为 y=

4 (x-2)+2, 3

12 x 2 9 y 2 = 108 由 ,消去 y,整理得 x2-4x+28=0. 4 y = ( x 2) 3

∵Δ=16-4×28<0,∴所求直线 l 不存在.

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8.解:(1)设双曲线的渐近线为 y=kx,由 d=

| 2k | k2 +1

=1,解得 k=±1.

即渐近线为 y=±x,又点 A 关于 y=x 对称点的坐标为(0, 2 ). ∴a= 2 =b,所求双曲线 C 的方程为 x2-y2=2. (2)设直线 l:y=k(x- 2 )(0<k<1 ) ,依题意 B 点在平行的直线 l′上,且 l 与 l′间的距离为 2 . 设直线 l′:y=kx+m,应有 ② 把 l′代入双曲线方程得(k2-1)x2+2mkx+m2-2=0, 由Δ=4m2k2-4(k2-1)(m2-2)=0.可得 m2+2k2=2 ③ ②、③两式相减得 k= 2 m,代入③得 m2= x=
mk = 2 2 ,y= 10 .故 B(2 2 , 10 ). k2 1 | 2k + m |

k +1
2

= 2 ,化简得 m +2 2 km=2.
2

2 10 2 5 ,解设 m= ,k= ,此时 5 5 5

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