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学生版限时规范特训 第7章立体几何


第九单元 立体几何初步与空间向量 第44讲 空间几何体的结构及三视图、直观图

1.(2012· 湖北省黄冈中学高三五月模拟 )下列关于斜二测画法下的直观图的说法正确 的是( D ) A.互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线 B.梯形的直观图可能是平行四边形 C.矩形的直观图可能是梯形 D.正方形的直观图可能是平行四边形 2.(2012· 山东省

济宁第三次质检)在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球,钢球恰 与棱锥的四个面都接触,过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是( )

3.(2013· 昌平二模)已知空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的各侧面图形中, 是直角三角形的有( )

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 4.已知正三角形 ABC 的边长为 a,那么△ABC 的平面直观图△A′B′C′的面积 为 . 5.(2012· 福建省泉州市 3 月质量检查)一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所 示,则该三棱锥俯视图的面积为 .

6.(2013· 广东佛山市质检)一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图不 可能为①长方形;②正方形;③圆;④椭圆.其中满足条件的序号是

7.如图,四边形 ABCD 在斜二测画法下的直观图是下底角为 45° 的等腰梯形,其下底 长为 5,一腰长为 2,则原四边形的面积是
1

8.如图是一个几何体的正视图和俯视图.

(1)试判断该几何体是什么几何体; (2)画出其侧视图,并求该平面图形的面积.

9.某几何体的一条棱长为 7,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 6的线 段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,求 a+b 的 最大值.

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第45讲 空间几何体的表面积和体积

1.已知某球的体积大小等于其表面积大小,则此球的半径是( ) A. 3 B.3 C.4 D.5 2.(2013· 重庆卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

360 580 A. B. 3 3 C.200 D.240 3.(2012· 山东省日照市高三 12 月)一个正方体的八个顶点都在同一个球面上,已知这 个球的表面积是 12π,那么这个正方体的体积是( ) A. 3 B.4 3 C.8 D.24

4.如图,一个简单组合体的正(主)视图和侧(左)视图都是由一个正方形与一个正三角 形构成的相同的图形,俯视图是一个半径为 3的圆(包括圆心).则该组合体的表面积等于 ( ) A.15π B.18π C.21π D.24π 5.(2012· 南通市教研室全真模拟)某圆锥的侧面展开图是半径为 1 m 的半圆,则该圆锥 3 的体积是 m . 6.若正方体的棱长为 2,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 7.(2013· 上海市高三下七校联考)已知 S、 A、 B、 C 是球 O 表面上的点, SA⊥平面 ABC, AB⊥BC,SA=1,AB=BC=2,则球 O 的表面积为.

8.下图是一个几何体的三视图(单位:cm),试画出它的直观图,并计算这个几何体的体 积与表面积.

3

9.正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6,内有一个球与四个面都相切, 求棱锥的表面 积和球的半径.

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第46讲 空间点、线、面的位置关系

1.(2013· 山东省青岛市上期期末检测)已知 a、b、c 为三条不重合的直线,下面有三个 结论:①若 a⊥b,a⊥c,则 b∥c;②若 a⊥b,a⊥c,则 b⊥c;③若 a∥b,b⊥c,则 a⊥c. 其中正确的个数为( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 2.若直线 l 与平面 α 不平行,则下列结论正确的是( ) A.α 内的所有直线都与直线 l 异面 B.α 内不存在与 l 平行的直线 C.α 内的直线与 l 都相交 D.直线 l 与平面 α 有公共点 3.正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别是线段 C1D,BC 的中点,则直线 A1B 与直 线 EF 的位置关系是( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直 4.(2012· 唐山市高三上期期末统考)四棱锥 PABCD 的所有侧棱长都为 5, 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,则 CD 与 PA 所成角的余弦值为( ) 5 2 5 A. B. 5 5 4 3 C. D. 5 5 5.(2013· 浙江瑞安期末质检)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M、N、P、Q 分别是 AB、 AA1、C1D1、CC1 的中点,给出以下四个结论:①AC1⊥MN;②AC1∥平面 MNPQ;③AC1 与 PM 相交;④NC1 与 PM 异面.其中正确结论的序号是 .

6.如图,ABCDA1B1C1D1 是长方体,其中 AA1=a,∠BAB1=∠B1A1C1=30° ,则 AB 与 A1C1 所成的角为 30° ,AA1 与 B1C 所成的角为 7.(2012· 泉州四校二次联考)四棱锥 PABCD 的顶点 P 在底面 ABCD 上的投影恰好是 A, 其正视图与侧视图都是腰长为 a 的等腰直角三角形,则在四棱锥 PABCD 的任意两个顶点 的连线中,互相垂直的异面直线共有 对.

8.在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,M、N 分别是 AD、AB 的中点.求证:直线 D1M、 A1A、B1N 三线共点.

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9.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M,N,P 分别为 A1B1,BB1,CC1 的中点. (1)求异面直线 D1P 与 AM 所成的角; (2)求异面直线 CN 与 AM 所成角的余弦值.

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第47讲 空间中的平行关系

1.(2013· 山东省高考冲刺预测)设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线,l1,l2 是平面 β 内 的两条相交直线,则 α∥β 的一个充分而不必要条件是( ) A.m∥β 且 l1∥α B.m∥l1 且 n∥l2 C.m∥β 且 n∥β D.m∥β 且 n∥l2 2.已知两个不重合的平面 α 和 β,下面给出四个条件: ①α 内有无穷多条直线均与平面 β 平行; ②平面 α,β 均与平面 γ 平行; ③平面 α,β 与平面 γ 都相交,且其交线平行; ④平面 α,β 与直线 l 所成的角相等. 其中能推出 α∥β 的是( ) A.① B.② C.①和③ D.③和④ 3.已知 m、n 是两条不重合的直线,α、β、γ 是三个两两不重合的平面,则下列四个 命题中真命题的是( C ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m∥α,m∥n,则 n∥α C.若 α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则 m∥n D.若 m?α,n?β,m∥n,则 α∥β

4.如图,正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AB,CC1 的中点,在平面 ADD1A1 内且与平面 D1EF 平行的直线( ) A.有无数条 B.有 2 条 C.有 1 条 D.不存在 5.若三个平面把空间分成 6 个部分,那么这三个平面的位置关系是 (写出一种可能的情形即可) 6.已知 m、n 是不重合的直线,α、β 是不重合的平面,有下列命题: ①若 m?α,n∥α,则 m∥n; ②m∥α,m∥β,则 α∥β; ③若 α∩β=n,m∥n,则 m∥α 且 m∥β; ④若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β. 其中正确命题的序号有 . 7.考察下列三个命题,请在“________”处添加一个条件,构成真命题(其中 l,m 为直 线,α、β 为平面),则: l?α } ? l ∥ α ; ② l∥m m∥α l?α } ? l ∥ α ; ③ ① m?α l∥m a?α,b?α a∥β,b∥β a∩b=A }?α∥β. 解析:①②根据直线与平面平行的判定定理知均需要强调直线 l 在平面外,均添加 l?α; ③根据两个平面平行的判定定理知须强调两条直线相交,故添加 a∩b=A.

7

8.如图所示,已知四边形 ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外一点,M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G,过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH. 求证:AP∥GH.

证明:

9.(原创)如图,ABCD 与 ADEF 为平行四边形,M,N,G 分别是 AB,AD,EF 的中 点. (1)求证:BE∥平面 DMF; (2)求证:平面 BDE∥平面 MNG.

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第九单元 立体几何初步与空间向量 第48讲 空间中的垂直关系

1.设 l、m、n 均为直线,其中 m、n 在平面 α 内,则“l⊥α”是“l⊥m 且 l⊥n”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若 l 为一条直线,α,β,γ 为三个互不重合的平面,给出下面三个命题: ①α⊥γ,β⊥γ?α⊥β; ②α⊥γ,β∥γ?α⊥β; ③l∥α,l⊥β?α⊥β. 其中正确的命题有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 3.(2013· 辽宁鞍山五模)已知 m 是平面 α 的一条斜线,点 A?α,l 为过点 A 的一条动直 线,那么下列情形可能出现的是( ) A.l∥m,l⊥α B.l⊥m,l⊥α C.l⊥m,l∥α D.l∥m,l∥α 4.(2012· 浙江省高考 5 月份押题)已知直线 l,m 与平面 α,β,γ 满足 β∩γ=l,l∥α, m?α,m⊥γ,则有( ) A.α⊥γ 且 m∥β B.α⊥γ 且 l⊥m C.m∥β 且 l⊥m D.α∥β 且 α⊥γ

5.如图所示,定点 A 和 B 都在平面 α 内,定点 P?α,PB⊥α,C 是 α 内异于 A 和 B 的 动点,且 PC⊥AC,则 BC 与 AC 的位置关系是 . 6.已知 α,β 是两个不同的平面,m,n 是平面 α 及 β 之外的两条不同直线,给出四个 论断: ①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α. 以其中三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题: 7.(2012· 皖南八校第二次联考)已知 α,β,γ 是三个不同的平面,命题“α∥β,且 α⊥γ ?β⊥γ”是真命题,如果把 α,β,γ 中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所 有新命题中,真命题有 个.

8.如图,四边形 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,M、N 分别为 AB、PC 的中点. (1)证明:AB⊥MN; (2)若平面 PDC 与平面 ABCD 成 45° 角,连接 AC,取 AC 的中点 O,证明平面 MNO⊥ 平面 PDC. 证明:

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9.(2012· 黑龙江省绥棱县上期期末)棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中, E 为棱 C1D1 的中点,F 为棱 BC 的中点. (1)求证:AE⊥DA1; (2)求在线段 AA1 上找一点 G,使 AE⊥平面 DFG.

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第九单元 立体几何初步与空间向量 第49讲 空间向量的概念及运算

1.(改编)如图所示,已知四面体 ABCD,E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、AC 的中 1 → → → → 点,则 (AB+BC+CE+ED)化简的结果为( ) 2 → → A.BF B.EH → → C.HG D.FG 2.以下四个命题中正确的是( ) → 1→ 1→ A.若OP= OA+ OB,则 P、A、B 三点共线 2 3 B.若{a,b,c}为空间的一个基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底 C.|(a· b)· c|=|a||b||c| → → D.△ABC 为等腰直角三角形的充要条件是AB· AC=0 3.若 a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且 a∥b,则( ) 1 1 A.x=1,y=1 B.x= ,y=- 2 2 1 3 1 3 C.x= ,y=- D.x=- ,y= 6 2 6 2 → → → 4.(2013· 舟山月考)平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中,向量AB、AD、AA1两两的夹角均 → → → → 为 60° ,且|AB|=1,|AD|=2,|AA1|=3,则|AC1|等于( ) A.5 B.6 C.4 D.8 → → 5.已知 A(-1,-2,6),B(1,2,-6),O 为坐标原点,则向量OA与OB夹角是 6.(2012· 吉林省油田高中上期期末)已知向量 F1=(1,2,-3),F2=(-2,3,-1),F3 =(3, -4,5), 若 F1, F2, F3 共同作用在一个物体上, 使物体从点 M1(1, -2,1)移到点 M2(3,1,2), 则合力所做的功为 7.(2012· 海南部分重点中学联考)已知向量 a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|= 29且 λ>0,则 λ= . 8.(2013· 河北省保定模拟)已知 a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b, b⊥c,求: (1)a,b,c; (2)(a+c)与(b+c)所成角的余弦值.

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9.已知向量 a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点 A(-3,-1,4),B(-2,-2,2). (1)求|2a+b|; → (2)在直线 AB 上,是否存在一点 E,使得OE⊥b?(O 为原点).

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第50讲 用向量方法证明空间中的平行与垂直

1.已知直线 a 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,下列结论成立的是( ) A.若 a∥n,则 a∥α B.若 a· n=0,则 a⊥α C.若 a∥n,则 a⊥α D.若 a· n=0,则 a∥α 2.已知 α,β 是两个不重合的平面,其法向量分别为 n1,n2,给出下列结论: ①若 n1∥n2,则 α∥β; ②若 n1∥n2,则 α⊥β; ③若 n1· n2=0,则 α⊥β; ④若 n1· n2=0,则 α∥β. 其中正确的是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ → 3.(原创)已知 A(3,-2,1),B(4,-5,3),则与向量AB平行的一个向量的坐标是( ) 1 A.( ,1,1) B.(-1,-3,2) 3 1 3 C.(- , ,-1) D.( 2,-3,-2 2) 2 2 4.设 l1 的方向向量为 a=(1,2,-2),l2 的方向向量为 b=(-2,3,m),若 l1⊥l2,则 m 等于 . 5.设平面 α 的法向量为(1,2,-2),平面 β 的法向量为(-2,-4,k),若 α∥β,则 k = . → → → → → 6.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z).若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且 BP⊥平 面 ABC,则实数 x= ,y= ,z= . 7.(原创)若 a=(2,1,- 3),b=(-1,5, 3),则以 a,b 为邻边的平行四边形的面积 为 8.如图,平面 PAC⊥平面 ABC,△ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形,E,F,O 分别为 PA,PB,AC 的中点,AC=16,PA=PC=10.设 G 是 OC 的中点,证明:FG∥平面 BOE.

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9.(2012· 陕西省西安市名校第一次质检改编)如图,四棱锥 PABCD 的底面为正方形, 侧棱 PA⊥底面 ABCD,且 PA=AD=2,E,F,H 分别是线段 PA,PD,AB 的中点. (1)求证:PB∥平面 EFH; (2)求证:PD⊥平面 AHF.

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第51讲 空间角及其计算

1.已知二面角 αlβ 的大小为 60° ,m,n 为异面直线,且 m⊥α,n⊥β,则 m,n 所成 的角是( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 2.(2012· 东北三省四市教研协作体第二次调研测)已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中, AA1=2AB,E 为 AA1 的中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成的角的余弦值为( ) 10 1 A. B. 10 5 3 10 3 C. D. 10 5 3.如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是 a=(0,2,1),b= ( 2, 5, 5),那么这条斜线与平面的夹角是( ) A.90° B.60° C.45° D.30° 4.(2013· 河北省普通高中质量检测)三棱锥 PABC 的两侧面 PAB、PBC 都是边长为 2a 的正三角形,AC= 3a,则二面角 APBC 的大小为( ) A.90° B.30° C.45° D.60° 3 5.(2012· 江西省吉安市二模)已知正六棱锥的底面边长为 1,体积为 ,其侧棱与底面所 2 成的角等于 . 6.(2012· 福建省福州市 3 月质检)已知三棱锥底面是边长为 1 的等边三角形,侧棱长均 为 2,则侧棱与底面所成角的余弦值为( ) 3 1 A. B. 2 2 3 3 C. D. 3 6

7.(2012· 海南海口 4 月检测)正方体 ABCDA1B1C1D1 中, 二面角 ABD1B1 的大小为

.

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8.如图所示,正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E、F 分别是正方形 ADD1A1 和 ABCD 的中 心,G 是 CC1 的中点.设 GF、C1E 与 AB 所成的角分别为 α,β,求 α+β.

9.(2013· 广东省高州市二模)已知△ABC 和△DBC 所在的平面互相垂直, 且 AB=BC= BD,∠CBA=∠DBC=120° ,求: (1)直线 AD 与平面 BCD 所成角的大小; (2)二面角 ABDC 的余弦值.

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