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黑龙江省双鸭山一中2010届高三上学期期中考试(数学理)


高三数学(理科)试题
第Ⅰ卷(选择题:共 60 分)
一、选择题(包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.已知集合 P ? ?log2 x 4,3? , Q ? {x, y}, 若P ? Q ? {2}, 则P ? Q 等于( A.{2,3} B.{1,2,3}C.{1,-1,2,3}D.{2,3,x,y} 2.已知 ? 是第二象限角, sin ? ? (A) ? 1 7 (B) 1 7 )

4 ?? ? , tan? ? ? ? 的值为 5 ?4 ?
(C) ? 7 (D)7



) 。

3.已知三角形 ABC 是边长为 1 的等边三角形,则 | AB ? AC | 的值为( (A)1 (B)2 (C) 3 (D) 2 3

) 。

4.为得到函数 y ? 3cos(2 x ?

?
2

) 的图像,只需将函数 y ? 3sin(2 x ? 2) 的图像( )
B.向右平移 2 个长度单位 D.向右平移 1 个长度单位
2 2

A.向左平移 2 个长度单位 C.向左平移 1 个长度单位

5.已知直线 l : y ? k ?x ? 1? ? 3 与圆 x ? y ? 1 相切,则直线 l 的倾斜角为( (A)

) 。

? 6

(B)

? 2

(C)

2? 3

(D)

5? 6
S S1 S 2 , ,? , 19 中最大的项是 a1 a2 a19

6.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S19 ? 0,S 20 ? 0,则 ( ) A.
S19 a19

B.

S11 a11

C.

S10 a10

D.

S1 a1

2 7.设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ,如果 f ( x1 ) ? f ( x2 )(x1 ? x2 ) ,

则 f ( x1 ? x2 ) 等于 (A) ?
b 2a


b a



(B) ?

(C) c

(D)

4ac ? b 2 4a

8.已知函数 f ? x ? ? A. 0 ? a ?
1 e

ln a ? ln x 在?1, ?? ? 上为减函数,则实数 a 的取值范围是( x



B. 0 ? a ? e

C. a ? e

D. a ? e

9、如图一个空间几何体的正视图,侧视图,俯视图是全等的等腰直角三角形, 且直角边的 边长为 1,那么这个几何体的体积等于 ( )

A.

1 24

B.

1 12

C.

1 6

D.

1 3

正视图

侧视图
? ?

俯视图
1? ? ? 0 的解集是 a?
B. ? x ( )

10、若 0 ? a ? 1 ,则不等式 ?a ? x ?? x ?

A. ? x a ? x ?

? ?

1? ? a?

? 1 ? ? x ? a? ? a ? ? ? 1 ? 或x ? a ? a ?

C. ? x x ?

? ?

1 ? 或x ? a ? a ?
2

D. ? x x ?

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 11、已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦点 F 恰好是椭圆 a 的右焦点,
且两条曲线交点的连线过点 F ,则该椭圆的离心率为 ( )

A. 2 ? 1

B. 2( 2 ? 1)

5 ?1 C. 2

2 D. 2

?(3a ? 1) x ? 4a, ( x ? 1) 12、 已知函数 f ( x) ? ? 则实数 a 的取值范 , 在(??, ??) 内是减函数, ?log a x, ( x ? 1)
围是 A. (0, )

1 3

B. ? , ?

?1 1 ? ?7 3 ?

C. ? ,1?

?1 ? ?7 ?

D. (0,1)





第Ⅱ卷(非选择题:共 90 分)
二、填空题(包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.已知:x、y 满足约束条件:?
?x ? 0 ,则 ?y ? 0 ?x ? y ? 1 ?

f ( x, y) ? x ? 2 y 的最小值为__________

14.在平面直角坐标系 xoy 中,已知 ?ABC 顶点 A(?1,0) 和 C (1,0) ,

sin A ? sin C x2 y 2 ? ?1 s i n B 的值是__________ 3 顶点 B 在椭圆 4 上,则
15.已知在一个 60 的二面角的棱上,有两个点 A、B,AC、BD 分别是在这个二面 角
0

的两个面内垂直于 AB 的线段,且 AB=4,AC=6,BD=8 则 CD 的长为 16.设函数 f ? x ? 的定义域为 D,如果对于任意的 x1 ? D ,存在唯一的 x2 ? D , 使
f ? x1 ? ? f ? x2 ? 2 ? C (C 为常数)成立,则称函数 f ? x ? 在 D 上的均值为 C。

x ② y ? x3 ; ③ y ? lg x; ④ y ? 2 x ; 下列五个函数:① y ? 4 s i n ;

⑤ y ? 2x ?1 ,

则满足在其定义域上均值为 2 的所有函数的序号是



三、解答题(本大题共 6 小题共 70 分,解答题应写出文字说明,证明过程或演 算步骤)
17. (本题 10 分)已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2cos2 x ? 1 , (1)求 f ( x) 的最大值及相应的 x 的值; (2)若 f (? ) ?

3 π ? ,求 cos 2 ? ? ? 2? ? 的值. 5 ?4 ?

18、 (本题 12 分)下面的一组图形为某一四棱锥 S-ABCD 的侧面与底面 (1) 请画出四棱锥 S-ABCD 的示意图,是否存在一条侧棱垂直于底面?如果存在, 请给出证明;如果不存在,请说明理由; (2)若 SA 面 ABCD,E 为 AB 中点,求二面角 E-SC-D 的大小;

a a a a a a a a a 2a a 2a

19、 (本题 12 分)矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M(2,0),AB 边所在直线的方程为

x ? 3 y ? 6 ? 0 ,点 T(-1,1)在 AD 边所在直线上
(2)求 AD 边所在直线的方程; (2)求矩形 ABCD 外接圆的方程; (3)若动圆 P 过点 N(-2,0) ,且与矩形 ABCD 的外接圆外切,求动圆 P 的圆心的方 程

y T D N o A C M B X

20、 (本小题满分 12 分) 如图所示,校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器.已知喷水器的 喷水区域是半径为 5m 的圆. 问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置, 才能使花坛的面 积最大且能全部喷到水?

21. (本题 12 分)观察下列三角形数表假设第 n 行的第二个数为

an (n ? 2, n ? N? ) ,

(1)依次写出第六行的所有 6 个数字; (2)归纳出 (3)设

an?1与an 的关系式并求出 an 的通项公式;

anbn ? 1, 求证: b2 ? b3 ? ? ? bn ? 2

22、 (本题 12 分)已知函数 f ? x ? ? x | x 2 ? a |,a ? R. (1)当 a ? 0 时,求证函数 f ? x ? 在? ??,??? 上是增函数; (2)当 a=3 时,求函数 f ? x ? 在区间[0,b]上的最大值。

高三理科数学期中考试答案
一、选择题: 1 B 2 A 3 C 4 C 5 D 6 C 7 C 8 D 9 C 10 A 11 A 12 B

二、填空:13.___1_____

14.____2___

15.____ 2 17 _____ 16.__(2)(3)(5)___

三、解答题 17、 (本小题满分 10 分) 解: (1) f ( x) ? sin 2 x ? (2 cos x ? 1) ? sin 2 x ? cos 2 x ?
2

2 sin(2 x ? ) , (…4 分) 4

?

∴当 2 x ?

π π 3 ? 2kπ ? ,即 x ? kπ ? π ( k ? Z )时, f ( x) 取得最大值 2 ; 4 2 8
(…………6 分)

(2)由 f (? ) ? sin 2? ? cos2? ,及 f (? ) ? 两边平方得 1 ? sin 4? ?

3 3 得: sin 2? ? cos 2? ? , 5 5
(…………8 分)

9 16 ,即 sin 4? ? ; 25 25

16 ?π ? ?π ? ∴ cos 2 ? ? 2? ? ? cos ? ? 4? ? ? sin 4? ? . 25 ?4 ? ?2 ?
18.(本小题满分 12 分) 解(1)存在一条侧棱垂直于底面(如图)…… 4 分 证明:

(…………10 分)

且 AB、AD 是面 ABCD 内的交线

SA

底面 ABCD…6 分

(2)分别取 SC、SD 的中点 G、F ,连 GE 、GF 、FA ,则 GF // EA , GF ? EA ,所以 AF // EG . 而 由 SA ? 面 ABCD , 得 SA ? CD . 又 AD ? CD , 故 CD ? 面 SAD , ? CD ? AF , 又 SA ? AD , F 是中点,? AF ? SD ,? AF ? 面 SCD 、 EG ? 面 SCD , 。 。 。 。 。 。12 分 ? 面 SEC ? 面 SCD , 所以二面角 E ? SC ? D 的大小为 90? . 。 19. (Ⅰ)因为 AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,且 AD 与 AB 垂直,所以直线 AD 的 斜 率 为 ? 3 . 又 因 为 点 T (?1,1) 在 直 线 AD 上 , 所 以 AD 边 所 在 直 线 的 方 程 为

y ? 1 ? ?3( x ? 1) ,即 3x ? y ? 2 ? 0 .

(Ⅱ) 由?

?x ? 3y ? 6 ? 0 , 解得点 A 的坐标为 (0,?2) . 因为矩形 ABCD 两条对角线的交点 ?3x ? y ? 2 ? 0
(2 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 2 ,

为 M (2,0) , 所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心.又 AM ? 从而矩形 ABCD 外接圆的方程为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 8 .

(Ⅲ)因为动圆 P 过点 N ,所以 PN 是该圆的半径,又因为动圆 P 与圆 M 外切,所以

PM ? PN ? 2 2 ,即 PM ? PN ? 2 2 ,故点 P 的轨迹是以 M , N 为焦点,实轴长为
2 2 的双曲线的左支.因为实半轴长 a? 2 ,半焦距 c ? 2 ,所以虚半轴长

b ? c 2 ? a 2 ? 2 ,从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1 (x ? ? 2) . 2 2

20. (本小题满分 12 分) 解:设花坛的长、宽分别为 xm,ym,根据要求,矩形花坛应在喷水区域内,顶点应恰好

x y ( ) 2 ? ( ) 2 ? 25 2 位于喷水区域的边界.依题意得: 4 , ( x ? 0, y ? 0 )

x2 ? y 2 ? 100 x ? 0 , y ? 0 4 问题转化为在 , 的条件下,求 S ? xy 的最大值. x2 x x x 2 2 ?y ? S ? xy ? 2 ? ? y ? ( ) ? y ? 100 ? y 2 ? 100 2 2 法一: , 由2 和 4 及 x ? 0, y ? 0 得:

x ? 10 2, y ? 5 2

? Smax ? 100
x2 ? y 2 ? 100 x ? 0 , y ? 0 4 法二:∵ , ,

? S ? xy ? x 100?

x2 x2 1 x 2 ? (100? ) ? ? ( x 2 ? 200) 2 ? 10000 4 = 4 4
x2 ? y 2 ? 100 ? 100由 4 可解得: y ? 5 2 .

2 S ∴当 x ? 200,即 x ? 10 2 , max

答:花坛的长为 10 2m ,宽为 5 2m ,两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心,则符 合要求.

21、 (本小题满分 12 分) (1)第六行的所有 6 个数字分别是 6,16,25,25,16,6; …………2 分 (2)依题意

an?1 ? an ? n (n ? 2) , a2 ? 2

…………………4 分 ……………………6 分

an ? a2 ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ......? (an ? an?1 )
? 2 ? 2 ? 3 ? ...... ? (n ? 1) ? 2 ? (n ? 2)(n ? 1) 2 ,

所以

an ?

1 2 1 n ? n ? 1 ( n ? 2) 2 2 ;
2

…………………8 分

a b ? 1, 所以 bn ? n 2 ? n ? 2 ? n 2 ? n ? 2( n ? 1 ? n ) ………………10 分 (3)因为 n n
1 1 1 1 1 1 b2 ? b3 ? b4 ? ......? bn ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )] 1 2 2 3 n ?1 n

2

1

1

1 ? 2(1 ? ) ? 2 n …12 分
22、 (本小题满分 12 分) .解:(1) a ? 0 时, f ? x ? ? x ? x2 ? a ? ? x3 ? ax,因f ? ? x ? ? 3x2 ? a ? 0 故 f ? x ? 在 R 上是增函数。(4 分)
? x3 ? 3x x ? 3 ? (2) a ? 3 时, f ? x ? ? x | x ? 3 |? ? ?3x ? x3 0 ? x ? 3 ?
2

? ?

?

?

①若 0 ? b ? 3 时, f ? x ? ? 3x ? x3 ,由f ? ? x ? ? 3 ? 3x2 ? 0 得: x ? 1 (Ⅰ)若 0 ? b ? 1 时, f ? ? x ? ? 0, f ? x ? 在[0,b]上单增,故 f ? x ?max ? f ?b ? ? 3b ? b3 , (Ⅱ)若 1 ? b ? 3 时,因 0 ? x ? 1, f ? ? x ? ? 0;1 ? x ? b, f ? ? x ? ? 0. 故 f ? x ?max ? f ?1? ? 2 .
? 上的最大值为 2,下求 f ? x ? 在 ②若 b ? 3 时,由①知 f ? x ? 在 ? ?0, 3 ?

?

上的最大值,因 3 ,b? ?

3 ? 2 ?b ? 3b ? b ? 2 ? 2 3 3 ? f ? x ? ? 3x ? 3 ? 0 ,故 f ? x ?max ? f ?b ? ? b ? 3b. 又 b ? 3b ? 2 ? ? b ? 1? ? b ? 2 ? ? ? ? 0 ? b ? 2? ? ?2

综合①、② 知: f ? x ?max

?b3 ? 3b ? b ? 2 ? ? ? ?2 ?1 ? b ? 2 ? ? 3 ?3b ? b ? 0 ? b ? 1?

(12 分)


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