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2014届上海市虹口区高三4月高三二模数学理试题及答案


虹口区 2013 学年高三年级二模数学答案(理科)

一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、 (?1, 6、3; 11、 3 ? 1 ;

2) ;
7、

2、4;

3、

? ; 3

3? ; 4 7 8、 ; 10

/>13、 0 ? m ?

4、 f ( x) ? log2 x ; 9、 1 ;

5、 5 ;

10、 ?1 , ?3 ; 14、26 ;

12、2;

3 ; 4

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、 A ; 16、 C ; 17、 B ; 18、 C ;

三、解答题(满分 74 分) 19、(12 分) 解:(1) 连 MO ,过 M 作 MD ? AO 交 AO 于点 D ,连 DC . 又 PO ? 62 ? 42 ? 2 5 ,? MD ? 5 .又 OC ? 4,OM ? 3 .

P

? MD / / PO ,? ?DMC 等于异面直线 MC 与 PO 所成的角或其补角.

? MO / / PB ,? ?MOC ? 60? 或 120? .?????5 分
当 ?MOC ? 60? 时,? MC ? 13 .
M

? cos ?DMC ?

MD 65 65 ,? ?DMC ? arccos ? MC 13 13

A

D C

O

B

MD 185 当 ?MOC ? 120? 时,? MC ? 37 .? cos ?DMC ? , ? MC 37

? ?DMC ? arccos

185 37

综上异面直线 MC 与 PO 所成的角等于 arccos

65 185 或 arccos .??????8 分 13 37

(2)? 三棱锥 M ? ACO 的高为 MD 且长为 5 ,要使得三棱锥 M ? ACO 的体积最大只要底面积

?OCA 的面积最大.而当 OC ? OA 时, ?OCA 的面积最大.????10 分
又 OC ? OP ,此时 OC ? 平面PAB ,? OC ? PB , ? ? 90? ??????12 分 20、(14 分)解(1) y ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? a ? 2sin(2 x ?

?
6

) ? a ? 1 .????4 分

T ? ? .????????6 分
(2) f ( x) 的最小值为 0 ,所以 ?2 ? a ? 1 ? 0 故 a ? 1 ????8 分

所以函数 y ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? 2 .最大值等于 4????????10 分

k? ? ? ? k ? Z ? 时函数有最大值或最小值, 6 2 2 6 k? ? ? 故函数 f ( x) 的图象的对称轴方程为 x ? ? k ? Z ? .??????14 分 2 6 2x ? ? k? ?

?

?

? k ? Z ? ,即 x ?

21、(14 分)解:(1)

a1 ? 10 b1 ? 2

a2 ? 9.5 b2 ? 3

a3 ? b3 ?

9 4.5

a4 ? b4 ?

8.5 6.75

???? ????

????????????2 分
? 当 1 ? n ? 20 且 n ? N , an ? 10 ? ( n ? 1) ? (?0.5) ? ?

n 21 ? ; 2 2

当 n ? 21 且 n ? N , an ? 0 .

?

? n 21 ? ?? ? , 1 ? n ? 20且n ? N ????????5 分 ? an ? ? 2 2 ?0, n ? 21且n ? N ? ? ? 3 n ?1 ? ?2 ? ( ) , 1 ? n ? 4且n ? N 而 a4 ? b4 ? 15.25 ? 15 ,? bn ? ? ??????8 分 2 ? ?6.75, n ? 5且n ? N ?
(2)当 n ? 4 时, Sn ? (a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? (b1 ? b2 ? b3 ? b4 ) ? 53.25 . 当 5 ? n ? 21 时, Sn ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? (b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ? ? ? bn )

3 2[1 ? ( )4 ] n(n ? 1) 1 2 ? 6.75(n ? 4) ? 10n ? ? (? ) ? 3 2 2 1? 2 1 2 68 43 ?? n ? n? 4 4 4
????????????11 分 由

Sn ? 200 3? 1



1 68 43 ? n2 ? n ? ? 200 4 4 4





n2 ? 6 n 8 ?

?8

4 , 3得

0

3 ?4

???????? n 3 ? 1 ? 6 . 3 0 13 分

2

1

? 到 2029 年累积发放汽车牌照超过 200 万张.??????????14 分
22、 (16 分) 解: (1) . ? 2x ?2 x ? 2x , 即对于一切实数 x 使得 f ( x) ? 2 x 成立, ? f ( x) ? 2 x

“圆锥托底型” 函数.??????????2 分 对于 g ( x) ? x ,如果存在 M ? 0 满足 x ? M x ,而当 x ?
3
3

M 时,由 2

M 2

3

?M

M , 2

?

M ? M ,得 M ? 0 ,矛盾,? g ( x) ? x3 不是“圆锥托底型” 函数.?????4 分 2

2 (2)? f ( x) ? x 2 ? 1 是“圆锥托底型” 函数,故存在 M ? 0 ,使得 f ( x) ? x ? 1 ? M x 对于

任意实数恒成立.

? 当 x ? 0 时 , M ? x?

1 1 1 , 此 时 当 x ? ?1 时 , x ? 取得最小值 2, ? x? x x x

? M ? 2 .??????????7 分
而当 x ? 0 时, f (0) ? 1 ? M 0 ? 0 也成立.

? M 的最大值等于 2 .????????8 分
(3)①当 b ? 0 , k ? 0 时, f ( x) ? 0 ,无论 M 取何正数,取 x0 ? 0 ,则有 f ( x0 ) ? 0 ? M x0 ,

f ( x) ? 0 不是“圆锥托底型” 函数.??????10 分
② 当 b ? 0 , k ? 0 时 , f ( x) ? kx , 对 于 任 意 x 有 f ( x) ? kx ? k x , 此 时 可 取

0 ? M ? k ? f ( x) ? kx 是“圆锥托底型” 函数.??????12 分
③当 b ? 0 , k ? 0 时, f ( x) ? b ,无论 M 取何正数,取 x0 ? 是“圆锥托底型” 函数.??????14 分 ④ 当 b ? 0 , k ? 0 时 , f ( x) ? kx ? b , 无 论 M 取 何 正 数 , 取 x0 ? ?

b M

.有 b ? M x 0 ,? f ( x) ? b 不

b k

? 0 ,有

f ( x0 ) ? 0<M ?

b ? M x0 ,? f ( x) ? kx ? b 不是“圆锥托底型” 函数. k

由上可得,仅当 b ? 0, k ? 0 时, f ( x) ? kx ? b 是“圆锥托底型” 函数.????16 分

23、 (18 分)解: (1)由 ? 点 D( pk ,

? y ? kx ?b ? x ? 2 py
2

? x 2 ? 2 pkx ? 2pb ? 0 ,得 x1 ? x2 ? 2 pk , x1 ? x2 ? ?2 pb

pk 2 ? b) ??????????2 分





线







y ? kx ? m





y

k x 2 m ?y ? ? ? x ?2 ? 2 ?x ? 2 p y

p? k 2 ? x

0 p ,m


D

B

? ? 4 p2k 2 ? 8 pm ? 0 , m ? ?

pk 2 ,切点的横坐标为 2

A C x

pk ,得 C ( pk ,

pk 2 ) ????4 分 2

O

由于 C 、 D 的横坐标相同,? CD 垂直于 x 轴.????????6 分
2 (x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4 p 2k 2 ? 8 pb ,? b ? (2)? h ? x2 ? x1 ? 2

h2 ? 4 p 2 k 2 .???8 分 8p

S ?ABC ?

1 1 pk 2 h3 CD ? x2 ? x1 ? h pk 2 ? b ? ? .????????11 分 2 2 2 16 p

?ABC 的面积与 k 、 b 无关,只与 h 有关.??????12 分

(本小题也可以求 AB ? 1 ? k ? h ,切点到直线 l 的距离 d ?
2

pk 2 pk ? ?b 2
2

1? k2

?

h2 8p 1? k2

,相

应给分) (3)由(1)知 CD 垂直于 x 轴, xC ? x A ? xB ? xC ? 与

h ,由(2)可得 ?ACE 、 ?BCF 的面积只 2

h h h3 1 h3 有关,将 S?ABC ? 中的 h 换成 ,可得 S?ACE ? S?BCF ? ? .??14 分 2 2 16 p 8 16 p
记 a1 ? S?ABC ?

h3 1 h3 , a2 ? S?ACE ? S?BCF ? ? ,按上面构造三角形的方法,无限的进行 16 p 4 16 p
1 . 4

下去,可以将抛物线 C 与线段 AB 所围成的封闭图形的面积,看成无穷多个三角形的面积的和,即 数列 ?an ? 的无穷项和,此数列公比为 所以封闭图形的面积 S ?

a1 1? 1 4

?

4 h3 a1 ? ??????????18 分 3 12 p


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