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河南省郑州市第四十七中学2014届高三第一次月考数学(理)试题


灌涨高 2015—2016 学年上期高三年级周考试题(理科一) 数 学

A.[- ,3]

3 2

3 B.[ ,6] 2

C.[3,12] D.[- ,12]

3 2

9.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R,都有 f(x+

2)=f(x).当 0≤x≤1 时,f(x) =x2.若直线 y=x+a 与函数 y=f(x)的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数 a 的值是 A.0 1 B.0 或- 2 1 1 C.- 或- 4 2 1 D.0 或- 4 图

温馨提醒:请将答案写在答题卡上
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)
1.已知 a ? log 2 0.3, b ? 20.1, c ? 0.21.3 ,则 a, b, c 的大小关系是( )

1 10.已知函数 f(x)= ,则 y=f(x)的 ln?x+1?-x 象大致为( ) )

A. a ? b ? c B. c ? a ? b C. a ? c ? b D. b ? c ? a 2. 已知全集 U=R, 设集合 A={x|y=ln(2x-1)}, 集合 B={y|y=sin(x-1)}, 则(?UA)∩B 为 ( 1 A.( ,+∞) 2 1 B.(0, ] 2 1 C.[-1, ] 2 D. ?

3.已知 A={0,1},B={-1,0,1},f 是从 A 到 B 的映射,则满足 f(0)>f(1)的映射有 A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.2 个 )

(

)

4.命题“若 a2+b2=0,a,b∈R,则 a=b=0”的逆否命题是 ( A.若 a≠b≠0,a,b∈R,则 a2+b2=0 C.若 a≠0 且 b≠0,a,b∈R,则 a2+b2≠0

B.若 a=b≠0,a,b∈R,则 a2+b2≠0 D.若 a≠0 或 b≠0,a,b∈R,则 a2+b2≠0 ( )

3f?-x?-2f?x? 5.设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数,且 f(2)=0,则不等式 ≤0 的解集为 5x A.(-∞,-2]∪(0,2] C.(-∞,-2]∪[2,+∞)
x

B.[-2,0]∪[2,+∞) D.[-2,0)∪(0,2] ( π D. 2 )

2 ? x ≥1, ?x , 11. 设 f ( x) ? ? g ( x) 是二次函数,若 f ( g ( x)) 的值域是 ?0,∞ ? ? ,则 g ( x) 的值域是 x ? 1, ? ? x,

6.函数 f(x)=e cosx 的图像在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为 A.0 π B. 4 C.1



) B. ? ?∞, ?1? ? ?0,∞ ? ? C. ?0,∞ ? ? D. ?1 ,∞ ? ?

A. ? ?∞, ?1? ? ?1 ,∞ ? ?

7.已知函数 f(x)=9x-m·3x+m+1 对 x∈(0,+∞)的图像恒在 x 轴上方,则 m 的取 值范围是 A.2-2 2<m<2+2 2 C.m<2+2 2
3 2

12.奇函数 f(x)、偶函数 g(x)的图像分别如图 1、2 所示,方程 f(g(x))=0,g(f(x))=0 的实根个数分 别为 a、b,则 a+b= A. 14 B. 10 ( )

( B.m<2 D.m≥2+2 2

)

8.已知函数 f(x)=x +2bx +cx+1 有两个极值点 x1、x2,且 x1∈[-2,-1],x2∈[1,2], 则 f(-1)的取值范围是 ( )
1

C. 7

D. 3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)
13.若函数 y ? loga (kx2 ? 4kx ? 3) 的定义域是 R, 则 k 的取值范围是 14.设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(1-m)<f(m),则实数 m 的取值范 围是________. 15.如图,函数 y=x 与 y=kx(k>0)的图 =________.
2

e 2 20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=-x +2ex+m-1,g(x)=x+ (x>0).

2

x

9 像所围成的阴影部分的面积为 ,则 k 2

(1)若 g(x)=m 有实根,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.

16.函数 f(x)=3x-x 在区间(a -12,a) ________.

3

2

上有最小值,则实数 a 的取值范围是

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
2 2 17.(本小题满分 10 分) 设命题 p :实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 ,其中 a ? 0 ;命题 q :实数 x

2ax+a -1 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= ,其中 a∈R. x2+1 (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在原点处的切线方程; (2)求 f(x)的单调区间.

2

满足 x ? 2 x ? 8 ? 0, 且 ?p是?q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.
2

18.(本题满分 12 分)设函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)为奇函数,其图像在点(1,f(1))处的切线与 直线 x-6y-7=0 垂直,导函数 f′(x)的最小值为-12. (1)求 a,b,c 的值; (2)求函数 f(x)的单调递增区间,并求函数 f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值. 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=-x +2lnx. (1)求函数 f(x)的最大值; (2)若函数 f(x)与 g(x)=x+ 有相同极值点, ①求实数 a 的值; 19.(本小题满分 12 分)设集合 A 为函数 y =ln(-x -2x+8)的定义域,集合 B 为函数 1 1 y=x+ 的值域,集合 C 为不等式(ax- )(x+4)≤0 的解集. a x+1 (1) 求 A∩B; (2) 若 C ? C R ? A? ,求 a 的取值范围.
2
2

3

a x

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ?1 ? ②若对于? x1,x2∈? ,3?,不等式 ≤1 恒成立,求实数 k 的取值范围. ?e ? k ?1

2

高三第一次月考数学试题(理科)答案
一、选择题:

(2)因为?RA=(-∞,-4]∪[2,+∞). 1? ? 由?ax- ?(x+4)≤0,知 a≠0.

?

a?

CCADD

BCCDB CB

1? ? 1? ? ①当 a>0 时,由?x- 2?(x+4)≤0,得 C=?-4, 2?,不满足 C??RA;

?

a?

?

a?

二、填空题: 13.

? 3? ?0, 4 ? ? ?

? 1? 14. ?? 1, ? ? 2?

? 1? ?1 ? ②当 a<0 时,由?x- 2?(x+4)≥0,得 C=(-∞,-4)∪? 2,+∞?, a a ? ? ? ?
15. k=3 16.(-1,2] 1 欲使 C??RA,则 2≥2,

a

三、解答题: 17.解:设 A ? x x ? 4ax ? 3a ? 0(a ? 0) ? x 3a ? x ? a(a ? 0)
2 2
2

解得-

? B ? ?x x

? ?

? ?????2 分

2 2 2 ≤a<0 或 0<a≤ .又 a<0,所以- ≤a<0. 2 2 2

? 2 x ? 8 ? 0 ? ?x x ? ?4或x ? 2????????????.4 分

?

2 ? 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 ,0?.。 2 ? 2 e 2 20 解 (第一问 4 分,第二问 8 分 )(1)方法一 ∵g(x)=x+ ≥2 e =2e, 综上所述,所求 a 的取值范围是?-

? ?

x

? ? p 是 ? q 的必要不充分条件,? q是p 必要不充分条件,??????6 分

等号成立的条件是 x=e. 故 g(x)的值域是[2e,+∞). 因而只需 m≥2e,则 g(x)=m 就有实根.

? A? B ,
?

所以 3a ? 2或a ? ?4 ,又 a ? 0 ,?????????????????8 分 所以实数 a 的取值范围是-∞,-4]. ????????????????10 分 18 解 (1)∵f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x),即-ax -bx+c=-ax -bx-c. ∴c=0,∵f′(x)=3ax +b 的最小值为-12,∴b=-12. 1 又直线 x-6y-7=0 的斜率为 , 6 因此,f′(1)=3a+b=-6. ∴a=2,b=-12,c=0. 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分
2 3 3

e 方法二 作出 g(x)=x+ 的图像如图.

2

x

可知若使 g(x)=m 有实根,则只需 m≥2e. 方法三 解方程由 g(x)=m,得 x -mx+e =0.
2 2

(2)单调递增区间是(-∞,- 2)和( 2,+∞).

m ? ? >0, 此方程有大于零的根,故?2 ? ?Δ =m2-4e2≥0,

f(x)在[-1,3]上的最大值是 18,最小值是-8 2.。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分
1 1

19、解:(1)由-x -2x+8>0,解得 A=(-4,2),又 y=x+

2

x+1

=(x+1)+

x+1

-1,

所以 B=(-∞,-3]∪ [1,+∞).所以 A∩B=(-4,-3]∪[1,2)..。 。 。 。6 分
3

等价于?

?m>0, ? ?m≥2e或m≤-2e, ?

故 m≥2e. 分

1 1 故 f(x)的单调减区间是(-∞,-a),( ,+∞);单调增区间是(-a, ). 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。8

a

a

(2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异的实根,即 g(x)=f(x)中函数 g(x)与 f(x)的图像有两个不 同的交点. e 作出 g(x)=x+ (x>0)的图像.
2

③当 a<0 时,f(x)与 f′(x)的情况如下:

x

x
2 2

(-∞,x2)

x2

(x2,x1)

x1

(x1,+∞)

∵f(x)=-x +2ex+m-1=-(x-e) +m-1+e , 其对称轴为 x=e,开口向下,最大值为 m-1+e . 故当 m-1+e >2e,即 m>-e +2e+1 时,
2 2 2

2

f′(x)



0



0



g(x)与 f(x)有两个交点,
即 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. ∴m 的取值范围是(-e +2e+1,+∞). 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 分 21.解析 2x ( x ? 1)( x ? 1) (1)当 a=1 时,f(x)= 2 ,f′(x)= ?2 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。2 分 x +1 ( x 2 ? 1) 2
2

f(x)

?

f(x2)

?

f(x1)

?

1 1 所以 f(x)的单调增区间是(-∞, ),(-a,+∞);单调减区间是( ,-a). 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10

a

a

1 1 综上,a>0 时,f(x)在(-∞,-a),( ,+∞)单调递减;在(-a, )单调递增.

a

a

由 f′(0)=2,得曲线 y=f(x)在原点处的切线方程是 2x-y=0.。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分

a=0 时,f(x)在(0,+∞)单调递增;在(-∞,0)单调递减. a<0 时,f(x)在(-∞, ),(-a,+∞)单调递增;在( ,-a)单调递减. 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 a a
1 1

( x ? a)(ax ? 1) (2)f′(x)= ?2 . ( x 2 ? 1) 2
①当 a=0 时,f′(x)=

2x . 2 ( x ? 1) 2

( x ? 1)( x ? 1) 2 22 解 (1)f′(x)=-2x+ =-2 (x>0),
x

x

所以 f(x)在(0,+∞)单调递增,在(-∞,0)单调递减. 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分 当 a≠0,f′(x)= ?2a

由?

? f ' ( x) ? 0 ?x ? 0

得 0<x<1;由 ?

? f ' ( x) ? 0 ?x ? 0

得 x>1.

( x ? a)( x ? 1 a) . 2 2 ( x ? 1)
a

∴f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数. ∴函数 f(x)的最大值为 f(1)=-1.。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分 (2)∵g(x)=x+ ,∴g′(x)=1- 2. ①由(1)知,x=1 是函数 f(x)的极值点. 又∵函数 f(x)与 g(x)=x+ 有相同极值点, ∴x=1 是函数 g(x)的极值点. ? ∴g′(1)=1-a=0,解得 a=1.
4

1 ②当 a>0 时,令 f′(x)=0,得 x1=-a,x2= ,f(x)与 f′(x)的情况如下:

a x

a x

x f′(x) f(x)

(-∞,x1) - ?

x1
0

(x1,x2) + ?

x2
0

(x2,+∞) -

a x

f(x1)

f(x2)

经检验,当 a=1 时,函数 g(x)取到极小值,符合题意. 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分 1 1 ②∵f( )=- 2-2,f(1)=-1,f(3)=-9+2ln3, e e 1 1 ∵-9+2ln3<- 2-2<-1,即 f(3)<f( )<f(1), e e

34 又∵k<1,∴k≤- +2ln3. 3 34 ? ? 综上,所求的实数 k 的取值范围为?-∞,- +2ln3?∪(1,+∞). 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 3 ? ?

?1 ? ∴? x1∈? ,3?, f(x1)min=f(3)=-9+2ln3,f(x1)max=f(1)=-1. ?e ?
1 1 由①知 g(x)=x+ ,∴g′(x)=1- 2.

x

x

?1 ? 故 g(x)在? ,1?时,g′(x)<0;当 x∈(1,3]时,g′(x)>0. ?e ? ?1 ? 故 g(x)在? ,1?上为减函数,在(1,3]上为增函数. ?e ?
1 1 1 10 ∵g( )=e+ ,g(1)=2,g(3)=3+ = , e e 3 3 1 10 1 而 2<e+ < ,∴g(1)<g( )<g(3). e 3 e 10 ?1 ? ∴? x2∈? ,e?,g(x2)min=g(1)=2,g(x2)max=g(3)= . 3 ?e ? ?当 k-1>0,即 k>1 时,

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ?1 ? 对于? x1,x2∈? ,e?,不等式 ≤1 恒成立 ?e ? k ?1
?k-1≥[f(x1)-g(x2)]max?k≥[f(x1)-g(x2)]max+1. ∵f(x1)-g(x2)≤f(1)-g(1)=-1-2=-3, ∴k≥-3+1=-2,又∵k>1,∴k>1. ?当 k-1<0,即 k<1 时,

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ?1 ? 对于? x1,x2∈? ,e?,不等式 ≤1 恒成立 ?e ? k ?1
?k-1≤[f(x1)-g(x2)]min?k≤[f(x1)-g(x2)]min+1. 10 37 ∵f(x1)-g(x2)≥f(3)-g(3)=-9+2ln3- =- +2ln3, 3 3 34 ∴k≤- +2ln3. 3
5


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