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2018版高中数学第一章集合与函数概念1.1.2集合间的基本关系学案新人教A版必修1


1.1.2

集合间的基本关系

1.理解集合之间的包含与相等的含义.(重点) 2.能识别给定集合的子集、真子集,会判断集合间的关系. (难点、易混点) 3.在具体情境中,了解空集的含义.(难点)

[基础·初探] 教材整理 1 子集与真子集 阅读教材 P6~P7 第一段,完成下列问题. 1.子集与真子集 概念 真子集 2.Venn 图 用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为 Venn 图. 3.集合的相等 (1)条件:A? B 且 B? A; (2)表示:A=B; (3)Venn 图: . 定义 如果集合 A? B,但存在元素 x∈B,且 x? 符号表示 图形表示

A ? B(或 B ? A)

A,则称集合 A 是集合 B 的真子集.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)0? {x|x<5,x∈N}.( )
1

(2)设 A 是一个集合,则 A?A.(

) )

(3)若集合 A 中有 3 个元素,则集合 A 共有 7 个真子集.(

【解析】 (1)×.“? ”用来表示集合与集合间的关系,所以(1)错误. (2)×.集合 A 是它本身的子集,但不是真子集,故(2)错误. (3)√.若集合 A 的元素个数为 n,则其真子集的个数为 2 -1,(3)正确. 【答案】 (1)× 教材整理 2 空集 阅读教材 P7 第二段和第三段,完成下列问题. 1.定义:不含任何元素的集合,叫做空集. 2.符号表示为:?. 3.规定:空集是任何集合的子集. (2)× (3)√
n

下列四个集合中,是空集的为( A.{0} B.{x|x>8,且 x<5} C.{x∈N|x -1=0} D.{x|x>4}
2

)

【解析】 满足 x>8 且 x<5 的实数不存在,故{x|x>8,且 x<5}=?. 【答案】 B 教材整理 3 子集的性质 阅读教材 P7“思考”以下部分,完成下列问题. 子集的性质: (1)任何一个集合是它本身的子集,即 A? A; (2)对于集合 A,B,C,如果 A? B,且 B? C,那么 A? C.

对于集合 A,B,C,若 A? B,且 B?C,那么 A 与 C 的关系是________. 【解析】 由子集的性质可知 A ? C.

2

【答案】 A ? C

[小组合作型] 子集、真子集问题

(1)已知集合 A={x|x=3k,k∈Z},B={x|x=6k,k∈Z},则 A 与 B 之间最适合的关系 是( )

A.A? B
C.A ? B

B.A? B
D.A ? B

(2)下列命题中正确的有________.(写出全部正确的序号) ①{2,4,6}? {2,3,4,5,6}; ②{菱形}? {矩形}; ③{x|x =0}? {0}; ④{(0,1)}? {0,1}; ⑤{1}∈{0,1,2};⑥{x|x>1}?{x|x≥2}. 【精彩点拨】 利用子集、真子集的定义逐一进行判断. 【自主解答】 (1)因为 A 中元素是 3 的整数倍,而 B 的元素是 3 的偶数倍,所以集合
2

B 是集合 A 的真子集,故选 D.
(2)根据子集的定义,①正确;②中只有正方形才既是菱形,也是矩形,其他的菱形不 是矩形,故②错误;③{x|x =0}={0},故③正确;④中{(0,1)}的元素是有序实数对,而 {0,1}是数集,元素不同,故④错误;⑤中两个集合之间使用了“∈”符号,这是用来表示 元素与集合的关系时使用的符号,不能用在集合与集合之间;⑥中两集合的关系应该是 {x|x>1}?{x|x≥2},故⑥错误. 因此正确的是①③,错误的是②④⑤⑥. 【答案】 (1)D (2)①③
2

1.判断集合间关系的方法 (1)定义法.判断一个集合 A 中的元素是否全部属于另一个集合 B,若是,则 A? B,否

3

则 A 不是 B 的子集. (2)数形结合法.利用数轴或 Venn 图判断. 2.写有限集合的子集时,要注意两个特殊的子集?和自身,按照元素个数分类写出,避 免重复或遗漏.

[再练一题] 1.写出满足条件?? M ?{0,1,2}的所有集合 M. 【解】 ∵?? M ?{0,1,2},∴M 中元素个数为 1 或 2. 当 M 中只有 1 个元素时,可以是{0},{1},{2}; 当 M 中只有 2 个元素时,可以是{0,1},{0,2},{1,2}. ∴所求集合 M 可以是{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},共有 6 个.

集合的相等
2 2 016 2 015 集合?1,a, ?={0,a ,a+b},则 a +b 的值为(

? ?

b? a?

)

A.0 C.-1

B.1 D.±1

【精彩点拨】 根据集合相等的定义求出字母 a 与 b 的值, 注意集合中元素互异性的应 用.
2 【自主解答】 ∵?1,a, ?={0,a ,a+b},又 a≠0,

? ?

b? a?

∴ =0,∴b=0.∴a =1,∴a=±1. 又 a≠1,∴a=-1,∴a 【答案】 B
2 016

b a

2

+b

2 015

=(-1)

2 016

+0

2 015

=1.

1.本题以“0”为着眼点, 中 a 不为 0 为突破口进行解题. 2.解含字母的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性(如本例中 a=1 舍去).

b a

[再练一题] 2.设 A={4,a},B={2,ab},若 A=B,则 a+b=_____________. 【导学号:97030010】
4

【解析】 因为 A={4,a},B={2,ab},A=B,所以{4=ab,a=2, 解得 a=2,b =2,所以 a+b=4. 【答案】 4 [探究共研型] 由集合间的关系求参数 探究 1 若 A={x|x>1}, B={x|x≥a}, 若 A? B, 则实数 a 满足什么条件?若 B? A 呢? 【提示】 如图(1),若 A? B,则 a≤1;如图(2),若 B? A,则 a>1.

探究 2 设集合 A={x|ax+1=0},B={x|ax +x+1=0},C={x|a+1<x<2a},那么集 合 A,B,C 可能是空集吗?若可能是空集,实数 a 的值或范围分别是什么? 1 【提示】 集合 A,B,C 可能是空集.当 a=0 时,集合 A 是空集,当 a> 时,集合 B 4 是空集,当 a≤1 时,集合 C 是空集. 已知集合 A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1<x<m+1},且 B? A.求实数 m 的取 值范围. 【 精 彩 点 拨 】 → 求m的取值范围 【自主解答】 ∵B? A, (1)当 B=?时,m+1≤2m-1,解得 m≥2. -3≤2m-1 ? ? (2)当 B≠?时,有?m+1≤4 ? ?2m-1<m+1, 综上得 m≥-1. 分B=?和B≠?分别讨论集合B B? A ― ― → 列不等式?组?

2

解得-1≤m<2,

利用子集关系求参数问题 1.利用集合的关系求参数的范围问题,常涉及两个集合,其中一个为动集合(含参数), 另一个为静集合(具体的),解答时常借助数轴来建立变量间的关系,需特别注意端点问题. 2.空集是任何集合的子集,因此在解 A? B(B≠?)的含参数的问题时,要注意讨论 A=? 和 A≠?两种情况,前者常被忽视,造成思考问题不全面.

5

[再练一题] 3.已知集合 P={x|x =1},集合 Q={x|ax=1},若 Q? P,那么 a 的取值是________. 【解析】 由题意得 P={-1,1}, 又因为 Q? P, ①若 Q=?,则 a=0,此时满足 Q? P;
? ? ? 1 ②若 Q≠?,则 Q=?x?x= ? ?
2

?

a

? ? 1 1 ?,由题意知, =1 或 =-1,解得 a=±1. a a ? ?

综上可知,a 的取值是 0 或±1. 【答案】 0 或±1

1.集合 A={-1,0,1},A 的子集中含有元素 0 的子集共有( A.2 个 C.6 个 B.4 个 D.8 个

)

【解析】 根据题意,在集合 A 的子集中,含有元素 0 的子集有{0},{0,1},{0,-1}, {-1,0,1}四个,故选 B. 【答案】 B 2.能正确表示集合 M={x∈R|0≤x≤2}和集合 N={x∈R|x -x=0}关系的 Venn 图是 ( )
2

【解析】 解 x -x=0 得 x=1 或 x=0,故 N={0,1},易得 N ? M,其对应的 Venn 图 如选项 B 所示. 【答案】 B 3.①0∈{0};②??{0};③{0,1}? {(0,1)};④{(a,b)}={(b,a)}.上面关系中正 确的个数为( A.1 C.3 ) B.2 D.4
6

2

【解析】 ①正确,0 是集合{0}的元素;②正确,?是任何非空集合的真子集;③错误, 集合{0,1}含两个元素 0,1,而{(0,1)}含一个元素点(0,1),所以这两个集合没关系;④错 误,集合{(a,b)}含一个元素点(a,b),集合{(b,a)}含一个元素点(b,a),这两个元素不 同,所以集合不相等.故选 B. 【答案】 B 4.设集合 A={x|1<x<2},B={x|x<a},若 A? B,则 a 的取值范围是( )

【导学号:97030011】

A.{a|a≤2}
C.{a|a≥1}

B.{a|a≤1}
D.{a|a≥2}

【解析】 由 A={x|1<x<2},B={x|x<a},A? B,则{a|a≥2}. 【答案】 D 5.已知集合 A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出 A 的所有子集. 【解】 因为 A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N}, 所以 A={(0,2),(1,1),(2,0)}. 所以 A 的子集有:?,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)}, {(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.

7


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