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福建省南安一中2013届高三第一次模拟考试数学文试题 Word版含答案


南安一中 2013 届高三毕业班第一次模拟考试

数学科试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷,共 4 页,满分150分,考试时间150分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。 2. 请使用 0. 毫米的黑色中性(签字)笔将答案答在答题纸上, 5 在本试卷上答题无效。

第 I 卷

(选择题
求) 1.复数 1 ? 在复平面上对应的点的坐标是(

共 60 分)

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题(只)有一项符合题目要

1 i



(, ) A. 1 1

( 1) B. ? 1,

( ) C. ? 1,?1

( ) D. 1,?1
) )

x2 y2 x2 y2 ? ? 1和 ? ? 1 有( 2. 已知 k <4,则曲线 9 4 9?k 4?k

A. 相同的短轴 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴 3.已知 m、n 为两条不同的直线, ? 、 ? 为两个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 ? ∥ ? ,m∥ ? ,则 m∥ ? B.若 m⊥ ? ,m⊥ ? ,则 ? ∥ ? C.若 ? ⊥ ? ,m⊥ ? ,则 m⊥ ? D.若 m∥ ? ,m⊥n,则 n⊥ ? 4.已知幂函数 f (x) 的图像经过点(9,3) ,则 f (2) ? f (1) =( A.3 5.已知 f ( x) ? ? B. 1? 2 C. 2 ? 1 D.1 ( ) )

?log 2 (? x), x ? 0 ,则 f (2013) 等于 ? f ( x ? 5), x ? 0

A. ?1 B. 2 C. 0 D. 1 6. 某 算 法 的 程 序 框 图 如 图,执 行 该 算 法 后 输 出 的 结 果i 的值为 ( A .4 B. 5 C. 6 D. 7

)

?x ? y ? a ? 7.设 M ( x, y ) 是区域 ? x ? y ? 8 ? x?6 ?

内的动点,且不等式 x ? 2 y ? 14 恒成立,

则实数 a 的取值范围是 ( ) A.[8,10] B. [8,9]

C.

[6,9]

D. [6,10]

8.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |?

?
2

) 的最小正周期是 ? ,若

将其图象向右平移 A.关于点(

?
3

个单位后得到的曲线关于原点对称, 则函数 f (x) 的图象 (

)

?

12 12 5? 5? C.关于点( ,0)对称 D.关于直线 x= 对称 12 12
9.某四面体三视图如图所示,则该四面体的四个面中,直角三角形的面 积和是( (A) 2 ) Ks5u (B) 4 (C) 2 ? 5 (D) 4 ? 2 5

, 0)对称 B.关于直线 x=

?

对称

C 10. f1 ( x) ? c x , 设 定义 f n?1 ( x) 为 f n (x) 的导数, f n?1 ( x) ? f n?( x) , ? N ? , ?A 即 若 B o s n
的 内 角 A 满 足 f1( A) ? ( A. 1 ) B.
2

f ( A) ? ?

?

2 0 1 3

f

n ( 0? , 则 s i A 的 值 是 A)

1 2 D. 2 2 ??? ??? ? ? ??? ? ? 11.若 P 为 ?ABC 内一点,且 PB ? PC ? 2 PA ? 0 ,在 ?ABC 内随机撒一颗豆子,则此豆 子落在 ?PBC 内的概率为( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 2 3 4 3

3 2

C.

12.如图,矩形 An Bn C n Dn 的一边 An Bn 在 x 轴上,另外两个顶点 C n , Dn 在函数

f ?x ? ? x ?

1 ( x ? 0) 的图象上.若点 Bn 的坐标为 x

y Dn Cn

?n,0?(n ? 2, n ? N ? ) ,记矩形 An Bn C n Dn 的周长
为 a n ,则 a 2 ? a3 ? ? ? a10 ? ( A.208 B. 216 C. 212 ) D.220

O An

Bn

x

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二.填空题(本大题共 4 小题,共 16 分) 13.函数 f ? x ? ? x ? ax ? x 在点 1, f ?1? 处的切线与 x ? 6 y ? 0 垂直, 则实数 a ?
3 2

?

?



14 . 等 比 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 4a1 , 2a2 ,a3成 等 差 数 列 . 若 a1 ? 1 , 则 S4 = .

15. 双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线均与 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 1 ? 0 相切,则该双曲线 2 a b

离心率等于 x y 16.设满足 3 =5 的点 P 为(x,y),下列命题正确的序号是



①(0,0)是一个可能的 P 点;②(lg3,lg5)是一个可能的 P 点; ③点 P(x,y)满足 xy≥0;
.Com]

④所有可能的点 P(x,y)构成的图形为一直线.

三.本大题(共 6 小题,共 74 分。) 17.(本小题满分 12 分) 某市政府为了了解居民的生活用电情况, 以使全市在用电高峰月份的居民生活不受影响, 决 定制 定一个合理的月均用电标准. 为了确定一个较为合理的标准, 必须先了解全市居民日常用电 量的 分布情况.现采用抽样调查的方式,获得了 n 位居民在 2012 年的月均用电量(单位:度)数 据,样本统计结果如下图表: 分组 [0,10] [10,20] [20,30] [30,40] [40,50] [50,60] 合计 频数 频率 0.05 0.20
频率 组距

35

a
0.15 5 n 1

0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005

0

10 20 30 40 50 60 用电量(度)

(Ⅰ) 分别求出 n, a 的值; (Ⅱ) 若月用电紧张指数 y 与月均用电量 x(单位:度)满足如下关系式: y ? 将频率视为概率,求用电紧张指数不小于 70%的概率 18.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a2 ? 5 , S9 ? 99 . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)若数列 ? 成立. 19. 在△ ABC 中 ,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且满足 (2c ? a)cosB ? b cos A ? 0. (Ⅰ)若 b ? 7, a ? c ? 13 ,求此三角形的面积; (Ⅱ)求 3 sin A ? sin(C ? 20(本题满分 12 分) 如图,已知三角形 ABC 内接于圆 O,AB 为圆 O 的直径,四边形 DCBE 为平行四边形,
1 100 x ? 0.3 ,

? 4 ? 1 ? 的前 n 项和 Tn ,试求 Tn 并证明不等式 ? Tn ? 1 2 2 ? an ? 1?

?
6

) 的取值范围。

CD ? 平面 ABC,AB=2, tan ?EAB ?

3 . 2

(Ⅰ)证明:平面 ACD ? 平面 ADE; (Ⅱ)当 AC=x 时,V(x)表示三棱锥 A—CBE 的体积,当 V(x)取最 大值时, 求三角形 ABD 的面积, 并求此时 C 到平面 ABD 的距离。

21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
a 2 x ? 2 x ? (a ? 4) ln x , a ? 0 . 2

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 (1,2) 上有极值,求 a 的取值范围.

22(本题满分 14 分) 如图,已知抛物线 C1 : x 2 ? 2 py 的焦点在抛物线 C 2 : y ? (Ⅰ)求抛物线 C1 的方程及其准线方程; (Ⅱ) 过抛物线 C1 上的动点 P 作抛物线 C 2 的两条切线 PM 、PN , 切点为 M 、N . PM 、 若
PN 的斜率乘积为 m ,且 m ? [2, 4] ,求 | OP | 的取值范围.
C1 C2

1 2 x ? 1 上. 2

y M

N
O

P

x

(第 22 题)

南安一中 2012-2013 年度高三上学期期末文科数学试卷答案
一.选择题 DBB 二.填空题 13. 1 CDC ADC AAB

14. 15

15. 2

16.①③④

三.解答题 17 解: (1)第 3 组的频率= 0.035 ? 10 ? 0.35 样本容量 n ?

………2 分 Ks5u…………4 分

35 ? 100 0.35
5 ) ? 0.20 100

? a ? 1 ? (0.05 ? 0.20 ? 0.35 ? 0.15 ?
(2)由 y ? 70% 得

………………6 分

1 ………………9 分 x ? 0.3 ? 70%,? x ? 40 100 所以,用电紧张指数不小于 70%的概率= 0.15 ? 0.05 ? 0.20 …………12 分

19 解(1)由正弦定理得:

(2 sin C ? sin A) cos B ? sin B cos A ? 0, 即 2 sin C cos B ? sin(A ? B) ? 0 ,
在三角形中,得: sin C (2 cos B ? 1) ? 0 ,? sin C ? 0,? cos B ?
2 2 2 由 b ? a ? c ? 2ac cos B 得 ac ? 40, ? S ?

1 ? ,? B ? 2 3

4分 6分

(2)

? 3 sin A ? sin(C ?

?
6

1 ac sin B ? 10 3 2

) ? 3 sin A ? sin(

?

2

? A) ? 3 sin A ? cos A ? 2 sin( A ?

?
6

)

10 分

? A ? (0,
12 分

2? ? ? 5? ? ) ? A ? ? ( , ) ? 2 sin( A ? ) ? ?1,2? 3 6 6 6 6

20.解:

在直角三角形 ACD 和 BCD 中,易求 AD=BD=

5 ,所以等腰三角形 ABD,面积 S= 1 ? 2 ? 2 ? 2
2

(10 分)

VC ? ABD ? VA? BCD ? VA? BCE ?
分)
设 C 点到面 ABD 的距离为 h ,则

3 3

(11

1 3 Sh ? 3 3

, h? ?

3 2

(12 分)

法二,令 ?ABC

? ? , S ?ABC ?

1 ? 2sin ? ? 2 cos ? ? sin 2? ,?? ? , S?ABC 最大。 2 4
1 2 x ? 2 x ? 3 ln x . 2

21 解: (Ⅰ)若 a ? 1 ,则 f ( x ) ?
f ' ( x) ? x ? 2 ?

( x ? 3)( x ? 1) 3 x 2 ? 2x ? 3 . ? ? x x x

Ks5u

…2 分 Ks5u …3 分 …5 分

当 x ? (0,3) 时, f ' ( x ) ? 0 ;当 x ? ( 3,?? ) 时, f ' ( x ) ? 0 . 所以函数有极小值 f ( 3) ? ? (II) f ' ( x ) ? ax ? 2 ?
3 ? 3 ln 3 ,无极大值. 2

a ? 4 ax 2 ? 2 x ? a ? 4 ? ( x ? 0) . x x

记 h( x ) ? ax 2 ? 2 x ? a ? 4 . 若 f ( x ) 在 (1,2) 上有极值,则 h( x ) ? 0 有两个不等根且在 (1,2) 上有根. …7 分 由 ax 2 ? 2 x ? a ? 4 ? 0 得 a ( x 2 ? 1) ? 2( x ? 2) , 所以 a ?
2( x ? 2) x ?1
2

?

2 5 ( x ? 2) ? ?4 x?2



…9 分

8 因为 x ? 2 ? ( 3,4) ,所以 a ? ( ,3) . 5

…11 分

8 经检验当 a ? ( ,3) 时,方程 h( x ) ? 0 无重根. 5

8 故函数 f ( x ) 在 (1,2) 上有极值时 a 的取值范围为 ( , 3) . 5
p 22 解: (Ⅰ) C 1 的焦点为 F (0, ) , 2

Ks5u …12 分 …2 分 Ks5u …4 分 …6 分

所以

p ? 0?1, p ? 2 . 2
2

故 C 1 的方程为 x ? 4 y ,其准线方程为 y ? ?1 .

(Ⅱ)任取点 P ( 2t , t 2 ) ,设过点 P 的 C 2 的切线方程为 y ? t 2 ? k ( x ? 2t ) .
? y ? t 2 ? k ( x ? 2t ) ? 由? ,得 x 2 ? 2kx ? 4tk ? 2t 2 ? 2 ? 0 . 1 y ? x2 ? 1 ? 2 ?

由 ? ? ?2k ?2 ? 4(4tk ? 2t 2 ? 2) ? 0 ,化简得 k 2 ? 4tk ? 2t 2 ? 2 ? 0 , 记 PM , PN 斜率分别为 k 1 , k 2 ,则 m ? k 1 k 2 ? 2t 2 ? 2 , 因为 m ? [2, 4] ,所以 t 2 ? [2, 3] 所以 OP ? 4t 2 ? t 4 ? ( t 2 ? 2) 2 ? 4 ? [12, 21] , 所以 OP ? [2 3 , 21 ] .
2

…9 分

…12 分

…14 分


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