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甘肃省嘉峪关市一中2016届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题


嘉峪关市一中 2015-2016 学年高三第一次模拟考试 数学(理科)
2015.9

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U ? ?1 ,,,,, 2 3 4 5 6? , A ? ?1 , 2? , B ? ?2,, 3 4? ,则 A ? (CU

B) = A.?1 ,,, 2 5 6? B. ?1? C. ?2? D.?1 ,,, 2 3 4?

2.已知 a ? b ? 0 ,则下列不等关系式中正确的是 A.sin a ? sin b B.log2 a ? log 2 b C.a 2 ? b 2
1 1

D.? ? ? ? ?

?1? ? 3?

a

?1? ? 3?

b

3.复数 z 满足 z(1 ? i 2013 ) ? i 2014 (i 是虚数单位) ,则复数 z 在复平面内位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

?? x , x ? 0, ? 4.已知函数 f ? x ? ? ? 则f ? 1 4 ? f ? 2 ?? ?? ( x ? ) , x ? 0, ? x ?
A.

1 4

B.

1 2

C. 2

D. 4

5.函数 y ? Asin ??x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ?? 的图象的一部分如图 1 所示,则此函 数的解析式为 A. y ? 3sin ? y

?? ?? x? ? ?? ??

B. y ? 3sin ?

?? ? ?? x? ? ? ? ?? ?? ? ?? x? ? ? ? ??

3 5 O 1 -3 图1 x

C. y ? 3sin ?

?? ?? x? ? ?? ??

D. y ? 3sin ?

6.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ?

1 1 ,若 { } 等差数列,则数列 ?an ? 的第 10 项为 4 an

A.

1 22

B.

1 25

C.

1 28

D.

1 31

7.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是 A. y ? cos x B. y ? sin x C. y ? ln x D. y ? x ? 1
2
[来

? x? y ?0 ? 8.已知 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z=-2x+y 的最大值是 ? y ?1 ?

A.-1

B.-2

C.-5

D.1

9.直线 3x+4y=b 与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 相切,则 b= A.-2 或 12 B. 2 或-12 C. -2 或-12 D. 2 或 12
1 2 正(主)视图 1 1 侧(左)视图

10.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是 A. 2 ? 5 C. 2 ? 2 5 B. 4 ? 5 D.5

俯视图

11.设 f(x)=lnx,0<a<b,若 p=f( ab ),q=f( 中正确的是 A.q=r<p B.q=r>p

a?b 1 ),r= [f(a)+f(b)],则下列关系式 2 2

C.p=r<q

D.p=r>q
5

12.设 P ? x, y ? 是函数 y ? f ? x? 的图象上一点,向量 a ? 1, ? x ? 2 ?

?

? , b ? ?1, y ? 2x? ,

且 a / / b .数列 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列,且 f ? a1 ? ? f ? a2 ? ????? f ? a9 ? ? 36 ,则

a1 ? a2 ? ??? ? a9 ?
A.0 B.9 C.18 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. D.36

13.直线 x sin ? ? y cos ? ? c ? 0 的一个法向量(直线的法向量是指和直线的方向向量相垂 直的非零向量)为 n ? (2,1) ,则 tan ? ?

?



14.在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 y ? 2a 与函数 y ?| x ? a | ?1 的图像只有一个交点, 则 a 的值为 . . 是

15.执行如图 3 所示的程序框图,则输出的 z 的值是

开始

x=1, y=2

z=xy

z<20? 否

x=y

y =z

图3

输出 z

结束

16.已知命题 p : 不等式 | x ? 1 |? m 的解集是 R,命题 q : f ( x) ?

2?m 在区间 (0,??) 上是 x

减函数,若命题“ p 或 q ”为真,命题“ p 且 q ”为假,则实数 m 的取值范围 是 . 三、解答题:解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.已知△ ABC 的三边 a , b , c 所对的角分别为 A , B , C ,且 a : b : c ? 7 : 5 : 3 . (1)求 cos A 的值; (2)若△ ABC 的面积为 45 3 ,求△ ABC 外接圆半径的大小. 18. 某市为了宣传环保知识, 举办了一次 “环保知识知多少” 的问卷调查活动 (一人答一份) . 现 从回收的年龄在20~60岁的问卷中随机抽取了 n 份,统计结果如下面的图表所示. 组号 1 2 3 4 年龄 分组 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 答对全卷 的人数 28 27 5 答对全卷的人数 占本组的概率 频率/组距 0.035 c 0.025 0.010 0
20 30 40 50 60

b
0.9 0.5 0.4

a

(1)分别求出 a , b , c , n 的值;

年龄

(2)从第 3,4 组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人授予“环保之星” ,记 X 为第 3 组被授予“环保之星”的人数,求 X 的分布列与数学期 望. E1 19.如图5,已知六棱柱 ABCDEF ? A 1B 1C1D 1E1F 1 的侧棱 垂直于底面,侧棱长与底面边长都为3, M , N 分别 是棱 AB , AA1 上的点,且 AM ? AN ? 1 . (1)证明: M , N , E1 , D 四点共面; (2)求直线 BC 与平面 MNE1D 所成角的正弦值. F N F1 A1 E

D1 C1

B1 D C M 图5 B

A

20.设椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), 点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ( a , 0) ,点 a 2 b2

B 的坐标为(0,b) ,点 M 在线段 AB 上,满足 BM ? 2 MA , 直线 OM 的斜率为 (1)求 E 的离心率 e; (2)设点 C 的坐标为(0,-b),N 为线段 AC 的中点,证明:MN ? AB. 21.已知函数 f ? x ? ? a ln x ?

5 . 10

x ?1 x , g ? x ? ? e (其中 e 为自然对数的底数) . x ?1

(1)若函数 f ? x ? 在区间 ? 0,1? 内是增函数,求实数 a 的取值范围;

?b b (2)当 b ? 0 时,函数 g ? x ? 的图象 C 上有两点 P b, e , Q ?b, e ,过点 P , Q 作图

?

?

?

?

象 C 的切线分别记为 l1 , l2 ,设 l1 与 l2 的交点为 M ? x0 , y0 ? ,证明 x0 ? 0 . 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写 清题号。 22.选修 4—1:几何证明选讲 如图,⊙O 中的弦 AB 与直径 CD 相交于点 P,M 为 DC 延长线上一点,MN 为⊙O 的切线,N 为切点,若 AP=8,PB=6,PD=4,MC=6,求 MN 的长.

23.选修 4—4:坐标系与参数方程

? ? x ? t ?3 ( t 为参数) ,在极坐标系(与直 ? ?y ? 3 t 角坐标系 xOy 取相同的长度单位, 且以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴) 中, 曲线 C 的
已知在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? 极坐标方程为 ? 2 ? 4? cos? ? 3 ? 0 . (1)求直线 l 普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)设点 P 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的取值范围. 24.选修 4-5:不等式选讲 设不等式 x ? 2 ? 1的解集与关于 x 的不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集相同.
2

(1)求 a , b 值; (2)求函数 f ( x) ? a x ? 3 ? b 5 ? x 的最大值,以及取得最大值时 x 的值.

1B 2D 3B 4A 5A 6C 7A 8A 9D 10C 11C 12C

三、解答题

17.解: (1)因为 a : b : c ? 7 : 5 : 3 , 所以可设 a ? 7 k , b ? 5k , c ? 3k ? k ? 0 ? ,由余弦定理得,

1 b2 ? c 2 ? a 2 ? 5k ? ? ? 3k ? ? ? 7k ? ?? . cos A ? ? 2 2bc 2 ? 5k ? 3k
2 2 2

(2)由(1)知, cos A ? ?

1 , 2

因为 A 是△ ABC 的内角, 所以 sin A ? 1 ? cos2 A ? 因为△ ABC 的面积为 45 3 ,所以

3 . 由 (1) 知 b ? 5k ,c ? 3k , 2

1 bc sin A ? 45 3 , 2



a 1 3 ? 2R , 即 ? 5k ? 3k ? ? 45 3 , 解 得 k ? 2 3 . 由 正 弦 定 理 sin A 2 2

2R ?

7k 14 3 , 解得 R ? 14 .所以△ ABC 外接圆半径的大小为 14 . ? sin A 3 2

18.解: (1)根据频率直方分布图,得 ? 0.010 ? 0.025 ? c ? 0.035? ?10 ? 1 , 解得 c ? 0.03 .第 3 组人数为 5 ? 0.5 ? 10 ,所以 n ? 10 ? 0.1 ? 100 .第 1 组人数为

100 ? 0.35 ? 35 , 所 以 b ? 28 ? 35 ? 0.8 . 第 4 组 人 数 为 100 ? 0.25 ? 25 , 所 以 a ? 25 ? 0.4 ? 10 .
(2)因为第 3,4 组答对全卷的人的比为 5 :10 ? 1: 2 , 所以第 3,4 组应依次抽取 2 人,4 人.依题意 X 的取值为 0,1, 2. P ? X ? 0 ? ?
2 1 0 C0 C1 C2 2 8 1 2 C4 2 C4 2 C4 , , ? P X ? 1 ? ? P X ? 2 ? ? , ? ? ? ? 2 2 2 C6 5 C6 15 C6 15

所以 X 的分布列为:

X
P
所以 EX ? 0 ?

0

1

2

2 5

8 15

1 15

2 8 1 2 ? 1? ? 2 ? ? . 5 15 15 3
E1 F1 A1 E F N D1 C1 B1 D C

19.第(1)问用几何法,第(2)问用向量法:

BD , A1E1 , (1)证明:连接 A 1B , B 1D 1,
在四边形 A1B1D1E1 中, A 1 E1

? B1D1 且 A1E1 =B1D1 ,

在四边形 BB1D1D 中, BD ? B1D1 且 BD=B1D1 , 所以 A 1 E1

? BD 且 A1E1 =BD ,

所以四边形 A 1BDE1 是平行四边形.

AM ? AN ? 1 , AB ? AA1 ? 3 , 所以 A 1 B ? E1D .在△ ABA 1 中,
所以

AM AN , ? AB AA1

所以 MN

? BA1 .所以 MN ? DE1 .

所以 M , N , E1 , D 四点共面. (2)解:以点 E 为坐标原点, EA , ED , EE1 所在的直线 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系, 则 B 3 3,3, 0 , C ? F1 A1 E F N

z
E1 D1 C1 B1 D C

?

?

?3 3 9 ? ? 2 , 2 ,0? ? , D ? 0,3,0? , ? ?

E1 ? 0,0,3? , M 3 3,1, 0 ,
??? ? ? 3 3 3 ? ???? ? , , 0 则 BC ? ? ? , DE1 ? ? 0, ?3,3? , ? ? 2 2 ? ? ? ???? ? DM ? 3 3, ?2, 0 .

?

?

y

x

A

M

B

?

?

设 n ? ? x, y, z ? 是平面 MNE1D 的法向量,

???? ? ? ? ?3 y ? 3 z ? 0, ?n?DE1 ? 0, ? 则 ? ???? 即? ? ? ?3 3 x ? 2 y ? 0. ?n?DM ? 0. ?
取 y ? 3 3 ,则 x ? 2 , z ? 3 3 . 所以 n ? 2,3 3,3 3 是平面 MNE1D 的一个法向量. 设直线 BC 与平面 MNE1D 所成的角为 ? ,

?

?

??? ? n?BC 则 sin ? ? ??? ? n ?BC

?

? 3 3? 3 2?? ? ? ? 3 3? ?3 3?0 2 ? 2 ? 22 ? 3 3

? ? ? ?
2

? 3 3

2

? 3 3 ? ? 3 ?2 2 ? ?? ? ?? ? ?0 ? 2 ? ?2?

2

?

174 . 116

故直线 BC 与平面 MNE1D 所成角的正弦值为 第(1) (2)问均用向量法:

174 . 116

(1)证明:以点 E 为坐标原点, EA , ED , EE1 所在的直线 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系,

?3 3 9 ? 则 B 3 3,3, 0 , C ? ? 2 , 2 ,0? ? , D ? 0,3,0? , ? ?

z
E1 F1 A1 E F N D1 C1

?

?

E1 ? 0,0,3? , M 3 3,1, 0 , N 3 3, 0,1 ,

?

?

?

?

???? ? ???? ? 所以 DE1 ? ? 0, ?3,3? , MN ? ? 0, ?1,1? .
因为 DE1 ? 3MN ,且 MN 与 DE1 不重合, 所以 DE1

B1 D C

y

???? ?

???? ?

? MN .所以 M , N , E1 , D 四点共面.
??? ?

x

A

M

B

(2)解:由(1)知 BC ? ? ?

???? ? ? ? 3 3 3 ? ???? , ,0 , DE1 ? ? 0, ?3,3? , DM ? 3 3, ?2, 0 . ? ? 2 2 ? ? ?

?

?

设 n ? ? x, y, z ? 是平面 MNE1D 的法向量,

???? ? ?n?DE1 ? 0, ? ? ?3 y ? 3 z ? 0, ? 则 ? ???? 即? ? ? ?3 3 x ? 2 y ? 0. ?n?DM ? 0. ?
取 y ? 3 3 ,则 x ? 2 , z ? 3 3 . 所以 n ? 2,3 3,3 3 是平面 MNE1D 的一个法向量. 设直线 BC1 与平面 MNE1D 所成的角为 ? ,

?

?

??? ? n?BC 则 sin ? ? ??? ? n ?BC

?

? 3 3? 3 2?? ? ? ? 3 3? ?3 3?0 2 ? 2 ? 22 ? 3 3

? ? ? ?
2

? 3 3

2

? 3 3 ? ? 3 ?2 2 ? ?? ? ?? ? ?0 ? 2 ? ?2?

2

?

174 . 116

故直线 BC 与平面 MNE1D 所成角的正弦值为 第(1) (2)问均用几何法:

174 . 116

BD , A1E1 , (1)证明:连接 A 1B , B 1D 1,
在四边形 A1B1D1E1 中, A 1 E1

? B1D1 且 A1E1 =B1D1 ,

在四边形 BB1D1D 中, BD ? B1D1 且 BD=B1D1 , 所以 A 1 E1

? BD 且 A1E1 =BD ,
D1 C1

E1 AM ? AN ? 1 , 所以四边形 A 1BDE1 是平行四边形.所以 A 1 B ? E1D .在△ ABA 1 中, F1

AM AN , 所以 MN ? BA1 . 所以 MN ? DE1 . 所以 M ,N ,E1 , ? AB ? AA1 ? 3 ,所以 AB AA1 A1 B1
D 四点共面.
(2)连接 AD ,因为 BC ? AD , F N E D C

所以直线 AD 与平面 MNE1 D 所成的角即为直线 BC 与平面 MNE1 D B M A 所成的角.连接

DN ,设点 A 到平面 DMN 的距离为 h ,直线 AD 与平面 MNE1D 所成的角为 ? ,
则 sin ? ?

h .分 AD
,即 A MN

因为 VA? DMN ? V D ?

1 1 ? S ?DMN ? h ? ? S ?AMN ? DB .在边长为 3 的正六边形 3 3

ABCDEF 中, DB ? 3 3 , DA ? 6 ,
? 在△ ADM 中, DA ? 6 , AM ? 1 , ?DAM ? 60 ,

由余弦定理可得, DM ? 31 . 在 Rt △ DAN 中, DA ? 6 , AN ? 1 ,所以 DN ? 37 . 在 Rt △ AMN 中, AM ? 1 , AN ? 1 ,所以 MN ?

2.

在△ DMN 中, DM ? 31 , DN ? 37 , MN ? 由余弦定理可得, cos ?DMN ? ?

2,

2 29 ,所以 sin ?DMN ? . 31 31

所 以 S?DMN ?

1 1 5 8 . 又 S ?AMN ? , 所 以 ? MN ? DM ? s i?n DMN ? 2 2 2

h?

h 174 S?AMN ? DB 3 3 .所以 sin ? ? . ? ? AD 116 S?DMN 58
故直线 BC 与平面 MNE1D 所成角的正弦值为

174 . 116

21. (1)解法一:因为函数 f ? x ? ? a ln x ? 所以 f ? ? x ? ?
2

x ?1 在区间 ? 0,1? 内是增函数, x ?1

a 2 ? ? 0 ? 0 ? x ? 1? . x ? x ? 1?2

即 a ? x ? 1? ? 2 x ? 0 ? 0 ? x ? 1? ,

2 ? 0 ? x ? 1? , ? x ? 1? x ? 1 ? 2 x 1 2 1 因为 ? 在 x ? ? 0,1? 内恒成立,所以 a ? . 1 2 x? ?2 2 x
即a ?

2x

2

?

故实数 a 的取值范围为 ? , ?? ? . 解法二:因为函数 f ? x ? ? a ln x ? 所以 f ? ? x ? ?
2

?1 ?2

? ?

x ?1 在区间 ? 0,1? 内是增函数, x ?1

a 2 ? ? 0 ? 0 ? x ? 1? . x ? x ? 1?2

即 a ? x ? 1? ? 2 x ? 0 ? 0 ? x ? 1? , 即 ax ? 2 ? a ?1? x ? a ? 0 ? 0 ? x ? 1? ,分
2

设 g ? x ? ? ax ? 2 ? a ?1? x ? a ,
2

当 a ? 0 时,得 ?2 x ? 0 ,此时不合题意.

当 a ? 0 时,需满足 ?

? 1 ?a ? 0, ? g ? 0 ? ? 0, ? 即? 解得 a ? ,此时不合题意. 2 ? ?a ? 2 ? a ? 1? ? a ? 0, ? g ?1? ? 0, ?

? ? ? g ? 0 ? ? 0, ? g ? 0 ? ? 0, ? ? 2 2 2 a ? 1 ? 4 a ? 0 当 a ? 0 时,需满足 ? 或 或 ? g 1 ? 0, ? ? ? ? ? ? g ?1? ? 0, ? ? ? a ?1 ? a ?1 ?? ? 0, ?? ? 1, ? a ? a
解得 a ?

1 1 或 a ? 1 ,所以 a ? . 2 2

综上所述,实数 a 的取值范围为 ? , ?? ? . (2)证明:因为函数 g ? x ? ? e ,所以 g ? ? x ? ? e .
x x
?b b 过点 P b, e , Q ?b, e 作曲线 C 的切线方程为:

?1 ?2

? ?

?

?

?

?

l1 : y ? eb ? x ? b ? ? eb , l2 : y ? e?b ? x ? b? ? e?b ,
因为 l1 与 l2 的交点为 M ? x0 , y0 ? ,
b b ? b ? eb + e ? b ? ? ? e b ? e ? b ? ? y ? e ? x ? b? ? e , 由? 消去 y ,解得 x0 ? . ?b ?b ? eb ? e ? b ? ? ? y ? e ? x ? b? ? e ,



下面给出判定 x0 ? 0 的两种方法: 方法一:设 e ? t ,
b

因为 b ? 0 ,所以 t ? 1 ,且 b ? ln t . 所以 x0

?t ?

2

+1? ln t ? ? t 2 ? 1? t ?1
2

2 2 .设 h ? t ? ? t +1 ln t ? t ? 1

?

?

?

? ?t ? 1? ,

1 1 t ? 1? .令 u ? t ? ? 2t ln t ? t ? ?t ? 1? , ? t t 1 则 u ? ? t ? ? 2 ln t ? 1 ? 2 . t 1 1 当 t ? 1 时, ln t ? 0 , 1 ? 2 ? 0 ,所以 u ? ? t ? ? 2 ln t ? 1? 2 ? 0 ,所以函数 u ? t ? 在 t t
则 h? ? t ? ? 2t ln t ? t ?

?1, ??? 上是增函数,
所以 u ?t ? ? u ?1? ? 0 ,即 h? ? t ? ? 0 ,所以函数 h ? t ? 在 ?1, ?? ? 上是增函数,

所以 h ?t ? ? h ?1? ? 0 .
2 因为当 t ? 1 时, t ? 1 ? 0 ,

所以 x0 ?

?t

2

+1? ln t ? ? t 2 ? 1? t 2 ?1

? 0.

方法二:由①得 x0 ? 设e
?2 b

b ?1+ e?2b ? 1 ? e?2b

?1.

? t ,因为 b ? 0 ,所以 0 ? t ? 1 ,且 ln t ? ?2b .
2b 1 2b b ?1+ t ? ? 2 1? t ? ,所以 x0 ? .由( 1 )知当 a ? 时, ? ? b? ? ? ln t 2 ln t 1? t ? ln t 1 ? t ?

于是 ?1 ?

f ? x? ?

1 x ?1 ln t t ? 1 ln x ? ? ? f ?1? ? 0 , 在区间 ? 0,1? 上是增函数,所以 f ? t ? ? 2 x ?1 2 t ?1 ln t t ? 1 ? 即 . 2 t ?1 2 1? t ? ? 0, 即 ln t 1 ? t 已知 b ? 0 ,
所以 x0 ? b ?

? 2 1? t ? ? ??0. ? ln t 1 ? t ?


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