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山东省青州一中2011届高三数学(理)试卷


山东省青州一中 2011 届高三数学(理)试卷 2010.12.24
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,选 出正确选项填在相应位置) 1.已知集合 M= ?( x , y ) y ? 1 ? k ( x ? 1), x , y ? R ? , ( x , y ) x ? y ? 2 y ? 0 , x , y ?

R , 那 N=
2 2

?

?

么 M ? N 中( ) A.不可能有两个元素 C.不可能只有一个元素 2.设 a , b ?
R

B.至多有一个元素 D.必含无数个元素
? b

,已知命题 p : a

;命题 q : ?

?a?b? ? ? 2 ?

2

?

a

2

?b 2

2

,则 p 是 q 成立的( )

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 已知等比数列 { a n } 的前三项依次为 a ? 1 , a ? 1 , a ? 4 ,则 a n ? ( A. 4 ? ?
? 3? ? ? 2?
n

A.必要不充分条件 C.充分必要条件

) D. 4 ? ?
?2? ? ?3?
n?1

B. 4 ? ?

? 2? ? ? 3?

n

C. 4 ? ?
x
2

?3? ? ?2?

n?1

4.若抛物线 y 2 A.-2

? 2 px

的焦点与椭圆 B.2

?

y

2

? 1 的右焦点重合,则 p

的值为(



6

2

C.-4

D.4 )

5.设有直线 m、n 和平面 ? 、 ? ,下列四个命题中,正确的是( A.若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n C.若 ? ? ? ,m ? ? ,则 m ? ?

B. 若 m ? ? ,n ? ? ,m∥ ? ,n∥ ? ,则 ? ∥ ? D.若 ? ? ? ,m ? ? ,m ? ? ,则 m∥ ?

6.关于 x 的函数 f ( x ) ? sin( ? x ? ? ) 有以下命题: ① ? ? ? R , f ( x ? 2 ? ) ? f ( x ) ;② ? ? ? R , f ( x ? 1) ? f ( x ) . ③ ? ? ? R , f ( x ) 都不是偶函数;④ ? ? ? R ,使 f ( x ) 是奇函数. 其中真命题的个数是( ) A.0 B. 1 C. 2 D.3 7. 如图是函数 Q(x)的图象的一部分, 设函数 f (x) = sinx, g(x)=
1 x

, 则 Q(x)是(

)

A.

f (x) g (x)

B.f (x)g (x) D.f ( x ) +g ( x )

C.f ( x ) – g ( x )

2 8. 若 函 数 f ( x ) = log a ( 2 x ? x )( a ? 0 且 a ? 1) 在 区 间

(0,

1 2

) 内恒有 f ( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 的单调递增区间为( 1 4 )

) D. ( ?? , ? )
1 2 )

A. ( ?? , ?

B. ( ?

1 4

, ?? )

C. ( 0 , ?? )

9.设函数 f ( x ) = ?1 ? x ?? 2 ? x ??3 ? x ?? 4 ? x ? ,则 f ' ? x ? ? 0 有( A.四个实根 x i ? i ?i ? 1, 2 , 3 , 4 ? B.分别位于区间(1,2)(2,3) , ,(3,4)内三个根 C.分别位于区间(0,1)(1,2) , ,(2,3)内三个根 D.分别位于区间(0,1), (1,2)(2,3) , ,(3,4)内四个 10 . 已 知
| OA |? 1, | OB |? 3 , OA ? OB ? 0,
m n
3 3
2 2

点 C 在 ) D.

? AOB

内,且

? AOC ? 30 ?

,设

OC ? m OA ? n OB ( m , n ? R ) ,则

等于(

A.3
x a

B.
2 2

1 3

C.

3

11.已知双曲线

?

y b

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的离心率 e ? [ 2 , 2 ] ,则其渐近线的倾斜角的取

值范围是 ? ? 2 ? 3? , ] A. [ , ] ? [
4 3 , ]?[ 4

( B. [ D. [
? ?
, 6 3 , ]?[ 3 ]?[ 2? 3 2? 3 , , 5? 6 5? 5 ] ]



C. [

? ?
6

3 4? 3

,

4 5? 6

]

? ?
4

?x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 ? 12. O 为坐标原点, (1, , 设 A 1) 若点 B ( x , y ) 满足 ?1 ? x ? 2 , OA ? OB 则 ?1 ? y ? 2 ?

取得最小值时,点 B 的个数是 A.1 B.2 C.3 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 13、若 f ? a ? b ? ? f ? a ? ? f ?b ? 且 f ?1 ? ? 2 ,则 ___________ 14、在 R 上的可导函数 f ? x ? ?
x ? ?1, ? 时取得极小值,则 2

( D.无数个
f ?6 ? f ?5 ? f ? 2010 f ? 2009



f ?2 ? f ?1 ?

?

f ?4 ? f ?3 ?

?

?? ?

? 的值为 ?

1 3

x ?
3

1 2

ax

2

? 2 bx ? c ,当 x ? ?0,? 时取得极大值,当 1

b?2 a ?1

的范围是_____

15. 曲线 y ? x 2 与 y ?

x 所围成的图形的面积是_____

16.已知 x , y ? R ? , 2 x ? y ? 6 ,则 V ? x 2 y 的最大值为_____

三、解答题:

17、 (本小题满分 12 分)已知:函数 f ( x )? 5 sin x cos x ? 5 3 sin

2

x?

5 2

3

?x ? R ?

⑴ 求 f ? x ? 的最小正周期;⑵ 求 f ? x ? 的单递增区间;⑶ 求 f ? x ? 图象的对称轴、对称 中心。 18. 本小题满分 12 分) ( 如图, 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2, F 分别是 A1B1、 E、 CC1 的中点,过 D1、E、F 作平面 D1EGF 交 BB1 于 G。 (1)求证:EG//D1F; (2)求锐二面角 C1—D1E—F 的余弦值。

19. (本小题满分 12 分)数列 ? a n ? 中, a 1 ? 2 , a n ? 1 ? a n ? cn ( c 是不为零的常数,
n ? 1,,, ) 2 3 ? ,且 a1, a 2, a 3 成等比数列.

(1)求 c 的值; (2)求 ? a n ? 的通项公式;
an ? c n ?c
n

(3)求数列 {

} 的前 n 项之和 T n

20. (本小题满分 12 分)已知函数 y ? f ( x ) 是定义在区间 ? ?
?
? 3? x ? ? 0 , ? 时, f ? x ? ? ? x 2 ? x ? 5 . ? 2?

?

3 3? , 上的偶函数,且 2 2? ?

(1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)若矩形 ABCD 的顶点A,B 在函数 y ? f ( x ) 的图像上,顶点 C,D 在 x 轴上,求矩形 ABCD 面积的最大值. 21. (本小题满分 12 分)设椭圆
x
2

m ?1

? y

2

? 1 的两个焦点是 F1 ( ? c , 0 ), F 2 ( c , 0 )( c ? 0 ).

(1)设 E 是直线 y ? x ? 2 与椭圆的一个公共点,求使得 | EF 1 | ? | EF 2 | 取最小值时椭

圆的方程; (2)已知 N ( 0 , ? 1) 设斜率为 k ( k ? 0 ) 的直线 l 与条件(1)下的椭圆交于不同的两点 A,B, 点 Q 满足 AQ ? QB ,且 NQ ? AB ? 0 ,求直线 l 在 y 轴上截距的取值范围。 22. 本小题满分 14 分) ( 已知函数 f ( x ) ? x ln x ,g ( x ) ? f ( x ) ? f ( m ? x ) ,m 为正的常数. (1)求函数 g ( x ) 的定义域; (2)求 g ( x ) 的单调区间,并指明单调性; (3)若 a ? 0 , b ? 0 ,证明: f ( a ) ? ( a ? b ) ln 2 ? f ( a ? b ) ? f ( b ) .

参考答案
一、选择题 CBCDD ADDBA AB 二、填空题 13. 2010 三、解答题 17.解:⑴ f ? x ? ? 5 sin ? 2 x ?
? ?

14. ?

?1

? ,? 1 ?4 ?

15.1/3

16. 8

? ?
? 3?

?T ? ?

………..4 分

? 5? ? ? , k? ? ⑵ 递增区间为 ? k ? ? 12 12 ? ? ?

…………….8 分
k? 2

⑶ 对称轴方程为 x ?

k? 2

?

5? 12

( ,对称中心为

?

?
6

,) (以上 k ? Z ) 0

…………………….12 分 18.解法: (1)证明:在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, ? 平面 ABB1A1//平面 DCC1D1。 平面 D 1 EGF ? 平面 ABB1A1=EG, 平面 D 1 EGF ? 平面 DCC1D1=D1F,
? EG // D 1 F .

4分

(2)解:如图,以 D 为原点分别以 DA、DC、DD1 为 x 轴、 y 轴、z 轴,建立空间直角 坐标系, 则有 D 1 ( 0 , 0 , 2 ), E ( 2 ,1, 2 ), F ( 0 , 2 ,1),
? D 1 E ? ( 2 ,1, 0 ), D 1 F ? ( 0 , 2 , ? 1)

6分

设平面 D1EGF 的法向量为 n ? ( x , y , z ) 则由 n ? D 1 E ? 0 , 和 n ? D 1 F ? 0 , 得?
?2 x ? y ? 0 ?2 y ? z ? 0

取 x ? 1, 得 y ? ? 2 , z ? ? 4 , 所以 n ? (1, ? 2 , ? 4 ) 8分 9分
? ? 4 21 21

又平面 C1D1E 的法向为 DD 1 ? ( 0 , 0 , 2 ) 所以, cos ? n , DD 1 ??
n ? DD 1 | n | ? | DD 1 | ?

0 ? 1 ? 0 ? (?2) ? 2 ? (?4) 2? 1 ? (?2) ? (?4)
2 2 2

.

所以,锐二面角 C1—D1E—F 的余弦值为

4 21 21

.

12 分

19.解: (1) a 1 ? 2 , a 2 ? 2 ? c , a 3 ? 2 ? 3 c ,因为 a 1 , a 2 , a 3 成等比数列, 所以 ( 2 ? c ) 2 ? 2 ( 2 ? 3 c ) 解得 c ? 0 或 c ? 2 . ∵c≠0,∴ c ? 2 . ……..4 分

( 2 ) 当 n ≥ 2 时 , 由 于 a 2 ? a 1 ? c , a 3 ? a 2 ? 2 c , ? ? a n ? a n ?1 ? ( n ? 1) c , 所 以
a n ? a 1 ? [1 ? 2 ? ? ? ( n ? 1)] c ? n ( n ? 1) 2
2

c

2 .又 a 1 ? 2 , c ? 2 ,故 a n ? n ? n ? 2 .

2 ? 当 n ? 1 时,上式也成立,所以 a n ? n ? n ? 2( n ? 1,, ) .

……………….8 分

(3)令 b n

?

an ? c n ?c
n

1 n ? ( n ? 1)( ) 2

T n ? b1 ? b 2 ? b 3 ? ? b n ? 0 ? ( ) 2 ? 2 ( ) 3 ? 3 ( ) 4 ? ? ( n ? 1)( ) n ……①
2 2 2 2 1 1 3 1 4 1 n 1 n ?1 T n ? 0 ? ( ) ? 2 ( ) ? ? ? ( n ? 2 )( ) ? ( n ? 1)( ) ……② 2 2 2 2 2 1 n ?1 2
n

1

1

1

1

n ?1 ①-②得: T n ? 1 ? ( ) ?

2

……………………………..12 分
3 2
2

20. 解: (1) 当 x ? [ ?
2

3 2

, 0 ] 时, ? x ? [0,

]

? f ? ? x ? ? ? (? x) ? ( x) ? 5 ? ? x ? x ? 5

又? f ? x ? 是偶函数
? f

?x? ?

f ??x? ? ?x ? x ? 5
2

……………3 分

? 2 ?x ? x ? 5 ? ? f ?x? ? ? ?? x2 ? x ? 5 ? ?

x ? [?

3 2

, 0]

……………4 分
3 2
2

x ? [0,

]
3 2

(2)由题意,不妨设 A 点在第一象限,坐标为 ( t , ? t ? t ? 5), 其 中 t ? (0, ] ,由图象对称 性可知 B 点坐标为 ( ? t , ? t 2 ? t ? 5) . 则 S (t)= S 矩 形 A B C D ? 2 t ( ? t ? t ? 5) ? ? 2 t ? 2 t ? 1 0 t
2 3 2

……………8 分
5 3

S ?( t ) ? ? 6 t ? 4 t ? 1 0
2

由 S ? ( t ) ? 0 得 t1 ? 1, t 2 ? ?

(舍去)

当 0 ? t ? 1 时, S ? ( t ) ? 0 ;当 t ? 1 时, S ?( t ) ? 0
? S ( t ) 在 [0,1] 上单调递增,在 [1,

3 2

] 上单调递减. 3 2 ] 上的最大

? 当 t ? 1 时,矩形 ABCD 的面积取得极大值 6,且此极大值也是 S ( t ) 在 t ? (0,

值.
? 当 t ? 1 时,矩形 ABCD 的面积取得最大值 6

……………12 分

21.解: (1)由题意,知 m ? 1 ? 1, 即 m ? 0 .
? y ? x ? 2, ? 由? x2 2 ? y ? 1, ? ?m ?1

得 ( m ? 2 ) x ? 4 ( m ? 1) x ? 3 ( m ? 1) ? 0 .
2

由 ? ? 16 ( m ? 1) ? 12 ( m ? 2 )( m ? 1) ? 4 ( m ? 1)( m ? 2 ) ? 0 ,
2

解得 m ? 2 , 或 m ? ? 1 (舍去)
?m ? 2

3分

此时 | EF 1 | ? | EF 2 |? 2 m ? 1 ? 2 3 . 当且仅当 m ? 2 时, | EF 1 | ? | EF 2 | . 取得最小值 2 3 , 此时椭圆方程为
x
2

? y

2

? 1.

4分

3

(2)设直线 l 的方程为 y ? kx ? t .

由方程组 ?

?x2 ? 3y 2 ? 3 ? y ? kx ? t
2 2



消去 y 得 (1 ? 3 k ) x ? 6 ktx ? 3 t ? 3 ? 0 .
2

? 直线 l 与椭圆交于不同两点 A、B

? ? ? ( 6 kt ) ? 4 (1 ? 3 k )( 3 t
2 2

2

? 3) ? 0 ,

即 t ? 1 ? 3k
2

2



6分

设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) , 则 x1 ? x 2 ? ?
6 kt 1 ? 3k
2

.

由 AQ ? QB ,得 Q 为线段 AB 的中点, 则 xQ ?
x1 ? x 2 2 ? ? 3 kt 1 ? 3k
2

, y Q ? kx Q ? t ?

t 1 ? 3k
2

.

8分

? NQ ? AB ? 0 ,
? k AB ? k QN ? ? 1 ,

?1 2 1 ? 3k 即 ? k ? ?1. 3 kt ? 2 1 ? 3k

t

化简得 1 ? 3 k
2

2

? 2t.

代入①得 t ? 2 t , 解得 0 ? t ? 2 . 又由 2 t ? 1 ? 3 k
2

10 分 11 分
? 1, 得 t ? 1 2 . 1

所以,直线 l 在 y 轴上的截距 t 的取值范围是 ( , 2 )
2

12 分

22.解: (1)∵ f ( x ) 的定义域为 { x x ? 0} , 那么 g ( x ) 的定义域为 { x 0 ? x ? m } .

?x ? 0 g ( x ) 有意义,则 ? , ?m ? x ? 0

………………..4 分

(2) g ( x ) ? f ( x ) ? f ( m ? x ) ? x ln x ? ( m ? x ) ln( m ? x ) ,

则 g ? ( x ) ? ln x ? 1 ? ln ( m ? x ) ? 1 ? ln 由 g ?( x ) ? 0 , 得
0? x? m 2

x m?x


x m? x ? 1 ,解得

x m? x

? 1 ,解得

m 2

? x ? m , 由 g ?( x ) ? 0 , 得 0 ?


m 2 , m ) 上为增函数,在 (0 , m 2 ] 上为减函数.

∴ g ( x ) 在[

………………..8 分

(3)要证 f ( a ) ? ( a ? b ) ln 2 ? f ( a ? b ) ? f ( b ) , 只须证 f ( a ) ? f ( b ) ? f ( a ? b ) ? ( a ? b ) ln 2 . 而在(2)中,取 m ? a ? b ,则 g ( x ) ? f ( x ) ? f ( a ? b ? x ) , 则 g ( x ) 在[
a?b 2 , a ? b ) 上为增函数,在 (0, a?b 2 ] 上为减函数.

∴ g ( x ) 的最小值为 g (
? ( a ? b ) ln a?b 2

a?b 2

)? f(

a?b 2

) ? f (a ? b ?

a?b 2

)? 2f(

a?b 2

)

? ( a ? b ) ln ( a ? b ) ? ( a ? b ) ln 2 .
) ,得:

那么 g ( a ) ? g (

a?b 2

f ( a ) ? f ( a ? b ? a ) ? ( a ? b ) ln( a ? b ) ? ( a ? b ) ln 2 ? f ( a ? b ) ? ( a ? b ) ln 2 ,

即 f ( a ) ? ( a ? b ) ln 2 ? f ( a ? b ) ? f ( b ) .

………………….14 分


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