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定积分的概念(教案)


1.5.3.定积分的概念 一、复习回顾: 1. 回忆前面曲边梯形的面积,汽车行驶的路程等问题的解决方法,解决步骤:

2.上述两个问题的共性是什么?

二、新知探究 1.定积分的概念

注:

说明: (1)定积分

?

b

a

f ( x)dx 是一个

,即 Sn 无限趋近的常数 S ( n ??? 时)记为

?

b

a

f ( x)dx ,而不是 Sn .
(2)用定义求定积分的一般方法是: (3)曲边图形面积: 变速运动路程: 变力做功:

例 1:利用定积分的定义,计算

?x
0

1

2

dx 、

? x dx
3 0

1

的值.

2.定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质 1 性质 2 性质 3

?

b

a b

kf ( x)dx =



? [ f ( x) ? g ( x)]dx =
a

?

b

a

f ( x)dx ?? f ( x)dx +
a

c

3.定积分的几何意义 从几何上看,如果在区间 [a, b ]上函数 f (x )连续且恒有 f ( x) ? 0 , 那么定积分

? f ? x ?dx 表示由直线
a

b

和曲线
b

所围成

的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积,这就是定积分 几何意义。 思考: (1)在 [ a, b] 上 f ( x) ? 0 ,

? f ? x ?dx 的
a

?

b

a

f ? x ?dx =

(2)在 [ a, b] 上 f ( x) ? 0 ,

? f ? x ?dx =
a

b

(3)在 [ a, b] 上 f ( x) 变号,

? f ? x ?dx =
a

b



练习: 1、利用定积分的几何意义,判断下列定积分值的正、负号。 (1)

?

?

2 0

sin xdx

(2)

?

2

?1

x 2 dx

(3)

? x dx
3 ?2

1

2、利用定积分的几何意义,说明下列各式成立 (1)

? ? sin xdx ? 0
2 ? 2

?



?

2?

0

sin xdx ? 0

(2)

?

?

0

sin xdx ? 2 ? 2 sin xdx
0

?

3、计算下列定积分 (1)

?

b

a

1dx

(2)

?

1

?1

x dx .

(3)

?

5

0

(2 x ? 4)dx

(4)

?

1

0

1 ? x 2 dx

(5)

? (2 x ? x )dx
2 0

1

三、课堂小结: ① 定 积 分 的 概 念 及 性 质 ② 用 定 义 法 求 简 单 的 定 积 分 ③ 定积分的几何意义


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