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首届全国中学生数理化竞赛高一数学竞赛(决赛)试题


首届全国中学生数理化学科能力竞赛 高一数学学科能力解题技能全国总决赛试题

试卷说明: 试卷说明:1、本试卷共计 15 题,满分为 120 分 说明 2、考试时间为 120 分钟

总分

本题得分 一.选择题(每题 5 分,共 30 分) 选择题(

评卷人

1.设 M={1,

2,3} . ,N={2004,2005,2006,2007,2008} ,映射 f : M → N 使得任意的 x ∈ M, 都有 x + f ( x ) + xf ( x ) 为奇数,这样的映射共有( A 48 个 B 50 个 C 52 个 D 54 个 )

2.已知定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于点(- .

3 ,0 )对称,且满足 4

3 f ( x) = ? f ( x + ), f (?1) = 1, f (0) = ?2, 则 2 f (1) + f (2) + f (3) + ? + f (2009) = (
A -1 B 0 C 1 ) D 2 )

3.由方程 | x ? 1| + | y + 1|= 1 确定的曲线所围成的图形的面积为( . A 1 B 2 C

π

D 4

4.设 x, y ∈ R,且满足 x ? 2 y ? 1 ≥ 0 ,则 T = x 2 + y 2 + 4 x ? 2 y 的最小值为 . ( A 5 ) B

5

C 0

D -5

第 1 页(共 4 页)

2 2 5.若实数 a 、 b 、 c 满足 2 b = a + c ,则直线 a x + b y + c = 0 被圆 x + y = 5 截得 .

的线段中点的轨迹方程是( A C

) B

1 5 ( x ? ) 2 + ( y + 1) 2 = 2 4 1 5 ( x ? ) 2 + ( y ? 1) 2 = 2 4

1 5 ( x + ) 2 + ( y ? 1) 2 = 2 4 1 2 5 2 D ( x + ) + ( y + 1) = 2 4

6.函数 f 定义在正整数有序数对的集合上,并满足 f ( x, x ) = x , f ( x, y ) = f ( y , x ) , .

x · f ( x, y ) = f ( x, xy ) ,则 f (32, 256) 的值为(
A 4096 B 2048 C 1024

) D 无法计算.

二.填空题(每题 5 分,共 30 分) 填空题(

本题得分

评卷人

? 2 3π 1 log 0.7 log ,     3 ,   小 到 大 的 顺 序 为 log 7 . ,     5 3,     5 ,     1 从 3 2 8 2 2

______________________________________. 8.已知 a, b, c, d 均为正整数,且 log a b = . 则b ? d = .

3 5 2 2 , log c d = ,若 a ? c ? 19a ? 19c = 0 , 2 4

9 . 设 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 对 任 意 a, b ∈ R , 当 a + b ≠ 0 时 , 都 有

f (a ) + f (b ) > 0 .当 f (a ) > f (b ) 时,则 a, b 的大小为_________. a+b
10.已知一棱长为 5 6 的正四面体内一点 P 到三个面的距离分别为 1、2、3,则点 P 到 . 第四个面的距离为 11 . 一 三 角 形 三 边 边 长 分 别 是 __________ . 12.设 [ x ] 为不超过实数 x 的最大整数,则 . .

a 2 + b 2 , a 2 + 4b 2 , 3b ( a, b 为 正 数 ). 则 它 的 面 积 是

∑[ 9 ] =
k =1

8

5k



第 2 页(共 4 页)

三.解答题(每题 20 分,共 60 分) 解答题(

本题得分

评卷人

13.若方程 x + y ? 4 x + y + m = 0 对 m 的任何一个值都只表示一条直线,求 m 的取值 . 范围.

14.已知函数 f (x ) = x + 9 + x + 8 + x + 7 + ? + x ? 29 + x ? 30 ,是否存在实数 m , 使得不等式 f ( x ) > 388 + m 2 ? 15 对于任意 x∈R 恒成立?若存在,求实数 m 的取值范 围.

第 3 页(共 4 页)

15.如图甲,在直角梯形 A1A2A3D 中,A1A2⊥A1D, A1A2⊥A2A3,且 B、C 分别是边 . A1A2、A2 A3 上的一点,沿线段 BC、CD、DB 分别将△BCA2、△CDA3、△DBA1 翻折上去恰好使 A1、A2、A3 重合于一点 A(如图乙) . 当 A1D=10、A1A2=8 时,求二面角 A-CD-B 的平面角的正切值. A(A1,A2,A3) A1 B A2 C


D B A3


D C

第 4 页(共 4 页)


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