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高三数学文科模考试题与答案


2014 年普通高等学校招生全国统一考试适应性训练

数学(文科)
第Ⅰ卷 一、选择题(5×10=50 分)
1 1 ? a b

选择题(共 50 分)

1.若 a ? b ? 0 ,则下列不等式中成立的是
1 1 1 1 ? ? (D) a ?b a a?b b ? ? ? ? ? ?

2.已知平面向量 a ? (1, ?2), b ? (2, m) ,且 a // b ,则 3a ? 2b ?

(A)

(B) | a |?| b |

(C)

(A) (7, 2)

(B) (7, ? 14)

(C) (7, ? 4)

(D) (7, ? 8)

3.在等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ? ? a7 ? (A)14 (B)21 (C)28 (D)35

4.执行如图所示的算法框图,则输出的 S 值是

A.-1

B.

2 3

C.

3 2

D.4

5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
1 3 1 (B) 2

(A)

2 1 正视图 1 1 俯视图

2 1 侧视图

(C) 1 (D) 2

数学(文科)

第 1 页 (共 14 页)

6. “|x|<2”是“x2-x-6<0”的什么条件 A.充分而不必要 C.充要 A.若 l1 ? B.必要而不充分 D.既不充分也不必要

7.已知直线 l1,l2 与平面α,则下列结论中正确的是

α,l2∩α=A,则 l1,l2 为异面直线

B.若 l1∥l2,l1∥α,则 l2∥α C.若 l1⊥l2,l1⊥α,则 l2∥α D.若 l1⊥α,l2⊥α,则 l1∥l2 8.已知抛物线 y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B,则 |AB|等于 A.3 B.4 C. 4 2 D.3 2 9.四边形 ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点.在长方形 ABCD 内 随机取一点,取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 π π π π A. B.1- C. D.1- 4 4 8 8 2 ? , c? o是 s 关 于 x 的 方 程 x ? ax ? a ? 0(a ? R) 的 两 个 根 , 则 10. 已 知 s i n
sin3 ? ? cos3 ? ? A. ?1 ? 2 B. 1 ? 2 二、填空题(5×5=25 分)

C.

?2 ? 2

D. 2 ? 2 .

11. 抛物线 x =-2y2 的准线方程是
? y?x ? 12. 已知 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? y ? ?1 ?

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13.凸函数的性质定理为如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数,则对于区间 D 内 f ( x1) ? f( x2) ?? ? ?? f ( x)n x ? x ?? ? ?? xn ? f(1 2 ), 已知函数 y 的任意 x1,x2,…,xn,有 n n =sin x 在区间(0,π)上是凸函数,则在△ABC 中,sin A+sin B+sin C 的最 大值为 14.已知 f(x)=(2x-x2)ex,给出以下四个结论: ①f(x)>0 的解集是{x|0<x<2}; ②f(- 2)是极小值, f( 2)是极大值; ③f(x) 没有最小值,也没有最大值;④f(x)有最大值,没有最小值. 其中判断正确的是
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15.选做题(请考生在以下三个小题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第 一题评阅记分) (1) . (选修 4 —4 坐标系与参数方程)圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为

? ? 4cos? , ? ? ?4sin ? ,则经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为
数学(文科) 第 2 页 (共 14 页)

.

(2) . (选修 4—5 不等式选讲)若不等式 3x ? b ? 4 的解集中的整数有且仅 有 0,1,2,则 b 的取值范围是 . (3) .(选修 4—1 几何证明选讲)如图, AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上, CD ? AB ,垂足为 D ,且 AD ? 5 DB ,设 ?COD ? ? ,则 tan ? 的值为 . 三、解答题 2? 16.(本小题满分 12 分)从一块圆心角为 ,半径为 R 3 的扇形钢板上切割一块矩形钢板,请问怎样设计切割方案,才能使矩形面积最 大?并说明理由。 方案一: GF / / ON
M G F O E N
M A D

方案二: AB / / MN

O B N

C

17. (本小题满分 12 分)已知等差数列{an}中,公差 d>0, 前 n 项和为 Sn,a2〃a3=45,a1+a5=18. (Ι)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)令 bn=

Sn n+c

(n∈N*),是否存在一个非零常数 c,使数列{bn}也为等差

数列?若存在,求出 c 的值;若不存在,请说明理由.

18. (本小题满分 12 分) 如图所示, 在四棱锥 P—ABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD, AB∥DC,△PAD 是等边三角形,已知 BD=2AD=8,AB=2DC=4 5. (Ι)设 M 是 PC 上的一点,求证:平面 MBD⊥平面 PAD; (Ⅱ)求四棱锥 P—ABCD 的体积.

数学(文科)

第 3 页 (共 14 页)

19. (本小题满分 12 分)某产品的广告支出 x(单位:万元)与销售收入

y(单位:万元)之间有下表所对应的数据:
广告支出 x(单位:万元) 销售收入 y(单位:万元) 1 12 2 28 3 42 4 56

(Ι)画出表中数据的散点图; (Ⅱ)求出 y 对 x 的线性回归方程; (Ⅲ)若广告费为 9 万元,则销售收入约为多少万元? 参考:方程 y=bx+a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,

y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的回归方程,其中 a,b 是待定参数. n n ? ( x ? x )( y ? y ) xi yi ? nx y ? ? i i ? i ?1 i ?1 ? ? n ?b ? n 2 2 . ? ( xi ? x) xi2 ? nx ? ? ? i ?1 i ?1 ? ? ?a ? y ? bx
20. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C :
x2 2 ? y 2 ? 1 经过点 P(1, ) . 2 a 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程及其离心率; (Ⅱ) 过椭圆右焦点 F 的直线 (不经过点 P ) 与椭圆交于 A 、B 两点, 当 ?APB 的平分线为 PF 时,求直线 AB 的斜率 k . 21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? (Ι) 若曲线 y ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? 1 与 x ? 值 .
1 (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在 ( ,1) 上单调递减,求实数 a 的取值范围. 3 1 2 ax ? 2 x 2

1 处的切线相互平行,求实数 a 的 2

(Ⅲ)设函数 f ( x) 的图像 C1 与函数 g ( x) 的图像 C2 交于 P、Q 两点,过线段 PQ 的中点作 X 轴的垂线分别交 C1 、 C2 于点 M、N,判断 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线是否平行,并证明你的结论.

数学(文科)

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2014 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第八次适应性训练 数 学(文科) 第Ⅰ卷 选择题(共 50 分) 一、选择题(5×10=50 分) 1.若 a ? b ? 0 ,则下列不等式中成立的是
1 1 1 1 ? ? (D) a ?b a a?b b ? ? ? ? ? ? 2.已知平面向量 a ? (1, ?2), b ? (2, m) ,且 a // b ,则 3a ? 2b ? 1 1 ? a b

(A)

(B) | a |?| b |

(C)

(A) (7, 2)

(B) (7, ? 14)

(C) (7, ? 4)

(D) (7, ? 8)

3.在等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ? ? a7 ? (A)14 (B)21 (C)28 (D)35

4.执行如图所示的算法框图,则输出的 S 值是

A.-1

B.

2 3

C.

3 2

D.4

5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
1 3 1 (B) 2

(A)

2 1 正视图 1 1 俯视图

2 1 侧视图

(C) 1 (D) 2

数学(文科)

第 5 页 (共 14 页)

6. “|x|<2”是“x2-x-6<0”的什么条件 A.充分而不必要 C.充要 A.若 l1 ? B.必要而不充分 D.既不充分也不必要

7.已知直线 l1,l2 与平面α,则下列结论中正确的是

α,l2∩α=A,则 l1,l2 为异面直线

B.若 l1∥l2,l1∥α,则 l2∥α C.若 l1⊥l2,l1⊥α,则 l2∥α D.若 l1⊥α,l2⊥α,则 l1∥l2 8.已知抛物线 y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B,则 |AB|等于 A.3 B.4 C. 4 2 D.3 2 9.四边形 ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点.在长方形 ABCD 内 随机取一点,取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 π π π π A. B.1- C. D.1- 4 4 8 8 2 ? , c? o s是 关 于 x 的 方 程 x ? a x? a? 10. 已 知 s i n 的两个根,则 0 ( a? ) R
sin3 ? ? cos3 ? ? A. ?1 ? 2 B. 1 ? 2 二、填空题(5×5=25 分)

C.

?2 ? 2

D. 2 ? 2 .

11. 抛物线 x =-2y2 的准线方程是
? y?x ? 12. 已知 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? y ? ?1 ?

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13.凸函数的性质定理为如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数,则对于区间 D 内 f ( x1) ? f( x2) ?? ? ?? f ( x)n x ? x ?? ? ?? xn ? f(1 2 ), 已知函数 y 的任意 x1,x2,…,xn,有 n n =sin x 在区间(0,π)上是凸函数,则在△ABC 中,sin A+sin B+sin C 的最 大值为 14.已知 f(x)=(2x-x2)ex,给出以下四个结论: ①f(x)>0 的解集是{x|0<x<2}; ②f(- 2)是极小值, f( 2)是极大值; ③f(x) 没有最小值,也没有最大值;④f(x)有最大值,没有最小值. 其中判断正确的是
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15.选做题(请考生在以下三个小题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第 一题评阅记分) (1) . (选修 4 —4 坐标系与参数方程)圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为

? ? 4cos? , ? ? ?4sin ? ,则经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为
数学(文科) 第 6 页 (共 14 页)

.

(2) . (选修 4—5 不等式选讲)若不等式 3x ? b ? 4 的解集中的整数有且仅 有 0,1,2,则 b 的取值范围是 . (3) .(选修 4—1 几何证明选讲)如图, AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上, CD ? AB ,垂足为 D ,且 AD ? 5 DB ,设 ?COD ? ? ,则 tan ? 的值为 . 三、解答题 2? 16.(本小题满分 12 分)从一块圆心角为 ,半径为 R 3 的扇形钢板上切割一块矩形钢板,请问怎样设计切割方案,才能使矩形面积最 大?并说明理由。 方案一: GF / / ON
M G F O E N
M A D

方案二: AB / / MN

O B N

C

17. (本小题满分 12 分)已知等差数列{an}中,公差 d>0,前 n 项和为 Sn,a2〃a3=45,a1+a5=18. (Ι)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)令 bn=

Sn n+c

(n∈N*),是否存在一个非零常数 c,使数列{bn}也为等差

数列?若存在,求出 c 的值;若不存在,请说明理由. 18. (本小题满分 12 分) 如图所示, 在四棱锥 P—ABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD, AB∥DC,△PAD 是等边三角形,已知 BD=2AD=8,AB=2DC=4 5. (Ι)设 M 是 PC 上的一点,求证:平面 MBD⊥平面 PAD; (Ⅱ)求四棱锥 P—ABCD 的体积.

数学(文科)

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19. (本小题满分 12 分)某产品的广告支出 x(单位:万元)与销售收入

y(单位:万元)之间有下表所对应的数据:
广 告 支 出 x( 单 位 : 万 1 元) 销 售 收 入 y( 单 位 : 万 12 元)
(Ι)画出表中数据的散点图; (Ⅱ)求出 y 对 x 的线性回归方程; (Ⅲ)若广告费为 9 万元,则销售收入约为多少万元? 参考:方程 y=bx+a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,

2

3

4

28

42

56

y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的回归方程,其中 a,b 是待定参数. n n ? ( xi ? x)( yi ? y ) ? xi yi ? nx y ? ? i ?1 ? ? i ?1n ?b ? n 2 2 . ? ( xi ? x) xi2 ? nx ? ? ? i ?1 i ?1 ? ? ?a ? y ? bx
20. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C :
x2 2 ? y 2 ? 1 经过点 P(1, ) . 2 a 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程及其离心率; (Ⅱ) 过椭圆右焦点 F 的直线 (不经过点 P ) 与椭圆交于 A 、B 两点, 当 ?APB 的平分线为 PF 时,求直线 AB 的斜率 k . 21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? (Ι) 若曲线 y ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? 1 与 x ? 值 .
1 (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在 ( ,1) 上单调递减,求实数 a 的取值范围. 3 1 2 ax ? 2 x 2

1 处的切线相互平行,求实数 a 的 2

(Ⅲ)设函数 f ( x) 的图像 C1 与函数 g ( x) 的图像 C2 交于 P、Q 两点,过线段

数学(文科)

第 8 页 (共 14 页)

PQ 的中点作 X 轴的垂线分别交 C1 、 C2 于点 M、N,判断 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线是否平行,并证明你的结论.

2014 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第八次适应性训练 数 一、选择题(5×10=50 分) 题号 1 2 3 4 答案 C B C D 二、填空题(5×5=25 分) 11. x ?
1 8

学(文科)参考答案 5 A 6 A 3 3 2 7 D 8 D 9 B 10 C

12.3

13.

14.

①②④ (3)
5 2

15.(1) x ? y ? 2 ? 0 ; 三、解答题 16 方案一: GF / / ON 设 OE=a,EF=b,
S矩形OEFG ? OE ? EF ? ab ?

(2) 2 ? b ? 4 ;



a 2 ? b2 , a 2 ? b2 ? R 2 2

当 a=b 时, S矩形OEFG 的最大值

R2 。 2

M G F O E N
方案二: AB / / MN

数学(文科)

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M A

D

O B N

C

) AB ? 2OC sin( ? ? ) ? 2 R sin( ? ? ) 3 3 3 OC BC ? 在 ? BOC中运用正弦定理 , sin ?OBC sin ?BOC 2? 2 R sin ? R BC ?OBC ? , , BC ? , ? 2? sin ? 3 3 sin 3

设 ?COB ? ? , (0 ? ? ?

?

?

?

S矩形ABCD ? AB ? CD ?

2 R sin ? ? 2 R sin( ? ? ) 3 3

? 1? ? ? ? 令y ? sin ? sin( ? ? ) ? ? ?cos(? ? ? ? ) ? cos(? ? ? ? ) ? 3 2? 3 3 ?
1 ? 1 ? cos(2? ? ) ? 2 3 4
当? ?

?
6

时, ymax

1 R2 3R 2 ? , S矩形OEFG 的最大值 ? 4 3 3

3R 2 R 2 而 ? 3 2

故选方案二才能使矩形面积最大。

(1)由题意知,{an}是等差数列,且公差 d>0, ?a2a3=45, ??a1+d??a1+2d?=45, 则由? 得? ?a1+a5=18, ?a1+?a1+4d?=18. 17.解 ?a1=1, 解得? ?d=4. (2)由 bn= ∴an=4n-3 (n∈N*).

n?1+4n-3? Sn


2 n+c n+c 1 ∵c≠0,∴可令 c=- ,得到 bn=2n. 2
数学(文科)

1? ? 2n?n- ? 2? ? = , n+c

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∵bn+1-bn=2(n+1)-2n=2(n∈N*), ∴数列{bn}是公差为 2 的等差数列. 1 即存在一个非零常数 c=- ,使数列{bn}也为等差数列 2 18.(1)证明 在△ABD 中,∵AD=4,BD=8,AB=4 5, ∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD. 又∵面 PAD⊥面 ABCD,面 PAD∩面 ABCD=AD, BD ?面 ABCD,∴BD⊥面 PAD. 又 BD ?面 BDM, ∴面 MBD⊥面 PAD. (2)解 过 P 作 PO⊥AD, ∵面 PAD⊥面 ABCD, ∴PO⊥面 ABCD, 即 PO 为四棱锥 P—ABCD 的高. 又△PAD 是边长为 4 的等边三角形, ∴PO=2 3. 在底面四边形 ABCD 中,AB∥DC,AB=2DC, ∴四边形 ABCD 为梯形. 4×8 8 5 在 Rt△ADB 中,斜边 AB 边上的高为 = , 5 4 5 此即为梯形的高. 2 5+4 5 8 5 ∴S 四边形 ABCD= × =24. 2 5 1 ∴VP—ABCD= ×24×2 3=16 3. 3 19.解 (1)作出的散点图如图所示

数学(文科)

第 11 页 (共 14 页)

(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近,列出下表 序号 1 2 3 4 ∑ 5 69 易得 x = , y = , 2 2 5 69 418-4× × 2 2 73 所以 b= 4 = = , 2 2 5 ?5?2 ∑ x - 4 x i 30-4×? ? i=1 ?2? 69 73 5 a= y -b x = - × =-2. 2 5 2 73 故 y 对 x 的线性回归方程为 y= x-2. 5 73 (3)当 x=9 时,y= ×9-2=129.4. 5
4

x
1 2 3 4 10

y
12 28 42 56 138

x2
1 4 9 16 30

xy
12 56 126 224 418

∑ xiyi-4 x i=1

y

故当广告费为 9 万元时,销售收入约为 129.4 万元.
x2 2 20.解: (Ⅰ)把点 P(1, ) 代入 2 ? y 2 ? 1 ,可得 a 2 ? 2 . a 2

故椭圆的方程为

x2 1 ? y 2 ? 1? c ? 1 ,椭圆的离心率为 e ? . 2 2

……4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知: F ?1, 0? .
2 当 ?APB 的平分线为 PF 时,由 P(1, ) 和 F ?1, 0? 知: PF ? x 轴. 2
PB 的斜率分别为 k1 、k2 . PB 的斜率满足 k1 ? k2 ? 0 …… 记 PA 、 所以,PA 、

6分 设直线 AB 方程为 y ? k ? x ?1? ,代入椭圆方程
x2 ? y 2 ? 1并整理可得, 2

(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ?1) ? 0 .
2 ? k 2 ? 1? 4k 2 设 A? x1 ,y1 ? ,B ? x2 ,y2 ? ,则 x1 ? x2 ? ,x1 x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
数学(文科) 第 12 页 (共 14 页)

? y1 ? k ( x1 ? 1) 2 又 P(1, ) ,则 k1 ? 2 ? 2 = 2 ?k, 2 1 ? x1 1 ? x1 1 ? x1 2 2 2 ? y2 ? k ( x2 ? 1) 2 2 2 k2 ? ? = ?k 1 ? x2 1 ? x2 1 ? x2

2

2

2

.……………………8 分

所以 k1 ? k2 ?

2 2 ? y1 ? y2 2 ? 2 1 ? x1 1 ? x2

=

y1 y x1 ? x2 ? 2 2 ? 2 ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 2 x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 1
…………11 分

4k 2 ?2 2 1 ? 2k 2 ? 2k ? ? ? 2k ? 2 2 2 ? k 2 ? 1? 4k 2 ? ?1 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

即 2k ? 2 ? 0 .

?k?

2 . 2

……………13 分

1 1 21 解: (Ι) 令h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? ax 2 ? 2 x , h ' ( x) ? ? ax ? 2 2 x 1 依题意, h ' ( ) ? h ' (1) ,解之, a ? ?2 2 1 1 ( Ⅱ ) 依 题 意 , h ' ( x) ? ? ax ? 2 ? 0 , ?x ? ( ,1) 恒 成 立 , x 3 1 2 1 a ? 2 ? ,? ? ( 1? , a3? ) 1 5 x x x 1 (Ⅲ)? f ' ( x) ? , g ' ( x) ? ax ? 2, 假设有可能平行,则存在 a 使 x
f '( x1 ? x2 x ?x 2 a ) ? g'( 1 2 ) , ? ( x1 ? x2 ) ? 2 , 2 2 x1 ? x2 2

2( x1 ? x2 ) a ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) x1 ? x2 2
1 2( x1 ? x2 ) 1 2 = ( ax1 ? 2 x1 ) ? ( ax2 2 ? 2 x2 ) 2 2 x1 ? x2

ln x1 ?

1 2 1 ax1 ? 2 x1 , ln x2 ? ax2 2 ? 2 x2 , 2 2

2( x1 ? x2 ) x x = ln x1 ? ln x2 = ln 1 不妨设 x1 ? x2 ? 0, t ? 1 ? 1 x2 x1 ? x2 x2
2(t ? 1) 2(t ? 1) ? ln t 存在大于1的实根 , ? (t ) ? ? ln t t ?1 t ?1

? ' (t ) ?

?(t ? 1)2 ? 0, t (t ? 1)2

? (t )是减函数, ?? (t ) ? ? (1) ? 0,
第 13 页 (共 14 页)









数学(文科)

t ? 1使? (t ) ? 0矛盾 ,故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不可能平行.

数学(文科)

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