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2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第六章 第5讲 直接证明和间接证明


第 5 讲 直接证明和间接证明

1.直接证明 直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法. (1)综合法:一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推 理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法. 综合法又称为:由因导果法(顺推证法). (2)分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后, 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这 种证明方法叫做分析法. 分析法又称为:执果索因法(逆推证法). 2.间接证明 反证法:假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从 而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法. [做一做] 1.下列表述:①综合法是由因导果法;②综合法是顺推法;③分析法是执果索因法; ④分析法是逆推法;⑤反证法是间接证法.其中正确的有( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 解析:选 D.由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都正确. 2.(2015· 山西太原模拟)用反证法证明“若 x2-1=0,则 x=-1 或 x=1”时,应假设 ________. 解析:“x=-1 或 x=1”的否定是“x≠-1 且 x≠1”. 答案:x≠-1 且 x≠1 1.辨明两个易误点 (1)用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性,常常用“要证(欲证)?” “即 要证?” “就要证?”等分析到一个明显成立的结论; (2)利用反证法证明数学问题时,要假设结论错误,并用假设命题进行推理,没有用假 设命题推理而推出矛盾结果,其推理过程是错误的. 2.证题的三种思路 (1)分析法证题的一般思路: 分析法的思路是逆向思维,用分析法证题必须从结论出发,倒着分析,寻找结论成立的 充分条件. 应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达, 下一步是上一步的充分条件. (2)综合法证题的一般思路: 用综合法证明命题时,必须首先找到正确的出发点,也就是能想到从哪里起步,我们一 般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质, 逐层推进, 从而由已知逐步推出结 论. (3)反证法证题的一般思路: 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证法的主要依据是逻辑中的排中 律,排中律的一般形式是:或者是 A,或者是非 A,即在同一讨论过程中,A 和非 A 有且仅 有一个是正确的,不能有第三种情况出现. [做一做] 3.在不等边三角形中,a 为最大边,要想得到∠A 为钝角的结论,三边 a,b,c 应满 足________. b2+c2-a2 解析:由余弦定理 cos A= <0,所以 b2+c2-a2<0,即 a2>b2+c2. 2bc

答案:a2>b2+c2 ,[学生用书 P114~P115]) 考点一__综合法的应用(高频考点)______________ 综合法证明是历年高考的热点问题,也是必考问题之一.通常在解答题中某一问出现, 一般为中高档题,高考对综合法的考查常有以下三个命题角度: (1)三角函数、数列证明题; (2)几何证明题; (3)与函数、方程、不等式结合的证明题. (1)(2015· 山东烟台模拟)设数列{an}的各项都为正数,其前 n 项和为 Sn,已知 对任意 n∈N*,Sn 是 a2 n和 an 的等差中项. ①证明数列{an}为等差数列,并求数列{an}的通项公式; 1 1 1 ②证明 + +?+ <2. S1 S2 Sn 3 (2)设 f(x)=ln x+ x-1,证明:当 x>1 时,f(x)< (x-1). 2 [解] (1)①由已知得 2Sn=a2 + a ,且 a >0 ,当 n = 1 时,2a1=a2 n n n 1+a1,解得 a1=1(a1=0 舍去); 当 n≥2 时,有 2Sn-1=a2 n-1+an-1. 2 2 于是 2Sn-2Sn-1=an-an-1+an-an-1, 2 即 2an=a2 n-an-1+an-an-1. 2 2 于是 an-an-1=an+an-1, 即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1. 因为 an+an-1>0,所以 an-an-1=1(n≥2). 故数列{an}是首项为 1,公差为 1 的等差数列, 所以数列{an}的通项公式为 an=n. n(n+1) ②证明:因为 an=n,所以 Sn= , 2 1 1 ? 1 2 则 = =2? - , Sn n(n+1) ?n n+1? 1 1 1 所以 + +?+ S1 S2 Sn 1 1 ?? 1 1 1 1- ?+? - ?+?+?n- =2?? 2 2 3 n + 1?? ? ? ? ?? ? 1 =2?1-n+1?<2. ? ? 3 (2)证明:法一:记 g(x)=ln x+ x-1- (x-1), 2 1 1 3 则当 x>1 时,g′(x)= + - <0. x 2 x 2 又 g(1)=0,所以 g(x)<0, 3 即 f(x)< (x-1). 2 法二:由均值不等式知,当 x>1 时,2 x<x+1, x 1 故 x< + .① 2 2 令 k(x)=ln x-x+1,则 k(1)=0, 1 k′(x)= -1<0, x

故 k(x)<0,即 ln x<x-1.② 3 由①②得,当 x>1 时,f(x)< (x-1). 2 [规律方法] (1)综合法是“由因导果”,它是从已知条件出发,顺着推证,经过一系列 的中间推理,最后导出所证结论的真实性.用综合法证明题的逻辑关系是:A?B1?B2?? ?Bn?B(A 为已知条件或数学定义、 定理、 公理, B 为要证结论), 它的常见书面表达是“∵, ∴”或“?” ; (2)利用综合法证不等式时,是以基本不等式为基础,以不等式的性质为依据,进行推 理论证的.因此,关键是找到与要证结论相匹配的基本不等式及其不等式的性质. 1.(1)在△ABC 中,设 a,b,c 分别是内角 A,B,C 所对的边,且直线 bx+ycos A+cos B=0 与 ax+ycos B+cos A=0 平行,求证:△ABC 是直角三角形. (2)

1 (2014· 高考山东卷)如图, 四棱锥 PABCD 中, AP⊥平面 PCD, AD∥BC, AB=BC= AD, 2 E,F 分别为线段 AD,PC 的中点. ①求证:AP∥平面 BEF; ②求证:BE⊥平面 PAC. 证明:(1)法一:由两直线平行可知 bcos B-acos A=0,由正弦定理可知 sin Bcos B-sin π 1 1 Acos A=0,即 sin 2B- sin 2A=0,故 2A=2B 或 2A+2B=π,即 A=B 或 A+B= . 2 2 2 π 若 A=B,则 a=b,cos A=cos B,两直线重合,不符合题意,故 A+B= ,即△ABC 2 是直角三角形. 法二:由两直线平行可知 bcos B-acos A=0, b2+c2-a2 a2+c2-b2 由余弦定理,得 a· =b· , 2bc 2ac 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴a (b +c -a )=b (a +c -b ), ∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2), ∴(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, ∴a=b 或 a2+b2=c2. 若 a=b,则两直线重合,不符合题意, 故 a2+b2=c2,即△ABC 是直角三角形. (2)①设 AC∩BE=O, 连接 OF,EC. 由于 E 为 AD 的中点, 1 AB=BC= AD,AD∥BC, 2 所以 AE∥BC,AE=AB=BC. 因此四边形 ABCE 为菱形, 所以 O 为 AC 的中点. 又 F 为 PC 的中点,因此在△PAC 中,可得 AP∥OF. 又 OF?平面 BEF,AP?平面 BEF, 所以 AP∥平面 BEF.

②由题意知 ED∥BC,ED=BC, 所以四边形 BCDE 为平行四边形,因此 BE∥CD. 又 AP⊥平面 PCD,所以 AP⊥CD,因此 AP⊥BE. 因为四边形 ABCE 为菱形,所以 BE⊥AC. 又 AP∩AC=A,AP,AC?平面 PAC, 所以 BE⊥平面 PAC. 考点二__分析法________________________________ f(x1)+f(x2) 已知函数 f(x)=3x-2x,求证:对于任意的 x1,x2∈R,均有 ≥ 2 f? x1+x2? ? 2 ?.

f(x1)+f(x2) ?x1+x2? [证明] 要证明 ≥f 2 ? 2 ?, x (3x1-2x1)+(3x2-2x2) x + x1+x2 即证明 ≥3 2 -2· , 2 2 x x x +x 3 1+3 2 因此只要证明 -(x1+x2)≥3 2 -(x1+x2), 2 x 3x1+3x2 x + 2 即证明 ≥3 , 2 x x 3 1+3 2 因此只要证明 ≥ 3x1·3x2, 2 由于 x1,x2∈R 时,3x1>0,3x2>0, 由基本不等式知 3x1+3x2 ≥ 3x1·3x2显然成立, 2 故原结论成立. [规律方法] (1)分析法的证明思路:先从结论入手,由此逐步推出保证此结论成立的充 分条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题 的已知条件时命题得证; (2)要注意书写格式的规范性. 2.△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,A,B,C 的对边分别为 a, b,c. 1 1 3 求证: + = . a+b b+c a+b+c 1 1 3 证明:要证 + = , a+b b+c a+b+c a+b+c a+b+c c a 即证 + =3,也就是证 + =1, a+b b+c a+b b+c 只需证 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 需证 c2+a2=ac+b2. 又△ABC 三内角 A,B,C 成等差数列,故 B=60°, 由余弦定理,得 b2=c2+a2-2accos 60°,即 b2=c2+a2-ac, 故 c2+a2=ac+b2 成立. 于是原等式成立.
1 2 1 2 1 2

考点三__反证法______________________ (2013· 高考陕西卷)设{an}是公比为 q 的等比数列. (1)推导{an}的前 n 项和公式; (2)设 q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列. [解] (1)设{an}的前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=a1+a1+?+a1=na1; - 当 q≠1 时,Sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn 1,① 2 n qSn=a1q+a1q +?+a1q ,② ①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn, a1(1-qn) ∴Sn= , 1-q ?na1,q=1, ∴Sn=?a1(1-qn) ,q≠1. ? ? 1-q (2)证明:假设{an+1}是等比数列,则对任意的 k∈N+, (ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1), a2 k+1+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1, + - + 2k k k-1 a2 ·a1qk 1+a1qk 1+a1qk 1. 1q +2a1q =a1q k k-1 k+1 ∵a1≠0,∴2q =q +q . ∵q≠0,∴q2-2q+1=0, ∴q=1,这与已知矛盾. ∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列. [规律方法] 用反证法证明数学命题要把握三点: (1)必须先否定结论,即肯定结论的反面;(2)必须从否定结论进行推理,即应把结论的 反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证;(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已 知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,但是推导出的矛盾必须是明显的. 1 3.已知 x∈R,a=x2+ ,b=2-x,c=x2-x+1,试证明 a,b,c 至少 2 有一个不小于 1. 证明:假设 a,b,c 均小于 1, 即 a<1,b<1,c<1, 则有 a+b+c<3, 1 而 a+b+c=2x2-2x+ +3 2 2 1 ? =2? ?x-2? +3≥3, 两者矛盾,所以假设不成立, 故 a,b,c 至少有一个不小于 1. 方法思想——转化与化归思想求证函数的综合问题 设函数 f(x)=x3+3bx2+3cx 有两个极值点 x1, x2, 且 x1∈[-1, 0], x2∈[1, 2]. (1)求 b,c 满足的约束条件,并在下面的坐标平面内画出满足这些条件的点(b,c)的区 域;

?

1 (2)证明:-10≤f(x2)≤- . 2 2 [解] (1)f′(x)=3x +6bx+3c. 依题意知,方程 f′(x)=0 有两个根 x1,x2,且 x1∈[-1,0],x2∈[1,2]等价于 f′(-1)≥0,f′(0)≤0,f′(1)≤0,f′(2)≥0. c≥2b-1,

? ?c≤0, 由此得 b,c 满足的约束条件为? c≤-2b-1, ? ?c≥-4b-4.

满足这些条件的点(b,c)的区域为图中阴影部分.

(2)证明:由题设知 f′(x2)=3x2 2+6bx2+3c=0, 1 1 故 bx2=- x2 - c. 2 2 2 1 3 3c 2 于是 f(x2)=x3 2+3bx2+3cx2=- x2+ x2. 2 2 由于 x2∈[1,2],而由(1)知 c≤0, 1 3 故-4+3c≤f(x2)≤- + c. 2 2 又由(1)知-2≤c≤0, 1 所以-10≤f(x2)≤- . 2 [名师点评] 1.本题在求证第(2)问时,利用了转化与化归思想,利用 f′(x2)=0 得出 bx2 1 1 1 3c =- x2 - c.进而转化为 f(x2)=- x3 + x ,借助于(1)中 c 的范围证明出结论. 2 2 2 2 2 2 2 2.解决此类问题,要培养观察能力,即观察条件、结论,且能从数学的角度揭示其差 异,如“高次?低次”“分式(根式)?整式”“多元?一元”等,从而为我们的化归转化指 明方向,奠定基础. (2014· 高考天津卷)已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数. 设集合 M={0, n-1 1,2,?,q-1},集合 A={x|x=x1+x2q+?+xnq ,xi∈M,i=1,2,?,n}. (1)当 q=2,n=3 时,用列举法表示集合 A; - - (2)设 s,t∈A,s=a1+a2q+?+anqn 1,t=b1+b2q+?+bnqn 1,其中 ai,bi∈M,i=1, 2,?,n.证明:若 an<bn,则 s<t.

解:(1)当 q=2,n=3 时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1,2, 3},可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}. - (2)证明:由 s,t∈A,s=a1+a2q+?+anqn 1, n-1 t=b1+b2q+?+bnq ,ai,bi∈M,i=1,2,?,n 及 an<bn,可得 s-t=(a1-b1)+(a2 - - -b2)q+?+(an-1-bn-1)qn 2+(an-bn)qn 1 - - ≤(q-1)+(q-1)q+?+(q-1)qn 2-qn 1 n-1 (q-1)(1-q ) n-1 = -q =-1<0. 1-q 所以 s<t.

1.若 a<b<0,则下列不等式中成立的是( ) 1 1 1 1 A. < B.a+ >b+ a b b a 1 1 b b+1 C.b+ >a+ D. < a b a a+1 1 1 解析:选 C.∵a<b<0,∴ > . a b 1 1 由不等式的同向可加性知 b+ >a+ . a b 2.(2014· 高考山东卷)用反证法证明命题:“设 a,b 为实数,则方程 x3+ax+b=0 至 少有一个实根”时,要做的假设是( ) 3 A.方程 x +ax+b=0 没有实根 B.方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x3+ax+b=0 恰好有两个实根 解析:选 A.依据反证法的要求,即至少有一个的反面是一个也没有,直接写出命题的 否定.方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根的反面是方程 x3+ax+b=0 没有实根,故应选 A. 3. 分析法又称执果索因法, 若用分析法证明“设 a>b>c, 且 a+b+c=0, 求证: b2-ac < 3a”索的因应是( ) A.a-b>0 B.a-c>0 C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0 2 2 解析:选 C. b -ac< 3a?b -ac<3a2 ?(a+c)2-ac<3a2 ?a2+2ac+c2-ac-3a2<0 ?-2a2+ac+c2<0 ?2a2-ac-c2>0 ?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0.故选 C. 4.(2015· 宁夏银川模拟)设 a,b,c 是不全相等的正数,给出下列判断: 2 ①(a-b) +(b-c)2+(c-a)2≠0; ②a>b,a<b 及 a=b 中至少有一个成立; ③a≠c,b≠c,a≠b 不能同时成立, 其中正确判断的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选 C.①②正确;③中,a≠b,b≠c,a≠c 可以同时成立,如 a=1,b=2,c=3, 故正确的判断有 2 个. 5.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调递减,若 x1+x2>0,则 f(x1) +f(x2)的值( ) A.恒为负值 B.恒等于零

C.恒为正值 D.无法确定正负 解析:选 A.由 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调递减,可知 f(x)是 R 上的单调递减函数,由 x1+x2>0,可知 x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2),则 f(x1)+f(x2)<0. 6.用反证法证明命题“a,b∈R,ab 可以被 5 整除,那么 a,b 中至少有一个能被 5 整除”,那么假设的内容是________. 解析:“至少有一个”的否定是“一个也没有” ,故应假设“a,b 中没有一个能被 5 整 除”. 答案:a,b 中没有一个能被 5 整除 7 . (2015· 福建福州模拟 ) 如果 a a + b b > a b + b a ,则 a , b 应满足的条件是 __________. 解析:a a+b b>a b+b a,即( a- b)2( a+ b)>0,需满足 a≥0,b≥0 且 a≠b. 答案:a≥0,b≥0 且 a≠b 8.已知点 An(n,an)为函数 y= x2+1图象上的点,Bn(n,bn)为函数 y=x 图象上的点, 其中 n∈N*,设 cn=an-bn,则 cn 与 cn+1 的大小关系为________. 1 解析:由条件得 cn=an-bn= n2+1-n= 2 , n +1+n ∴cn 随 n 的增大而减小,∴cn+1<cn. 答案:cn+1<cn 9. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PC⊥底面 ABCD,ABCD 是直角梯形,AB⊥AD,AB ∥CD,AB=2AD=2CD=2,E 是 PB 的中点.

(1)求证:EC∥平面 PAD; (2)求证:平面 EAC⊥平面 PBC. 证明:(1)作线段 AB 的中点 F,连接 EF,CF(图略).则 AF=CD,AF∥CD, ∴四边形 ADCF 是平行四边形, 则 CF∥AD. 又 EF∥AP,且 CF∩EF=F, ∴平面 CFE∥平面 PAD. 又 EC 在平面 CEF 内, ∴EC∥平面 PAD. (2)∵PC⊥底面 ABCD,∴PC⊥AC, ∵ABCD 是直角梯形,且 AB=2AD=2CD=2, ∴AC= 2,BC= 2. ∵AB2=AC2+BC2,∴AC⊥BC, ∵PC∩BC=C,∴AC⊥平面 PBC, ∵AC?平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 PBC. 1 1 10.已知函数 f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx- x2+ x3,函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图象 2 3 在交点(0,0)处有公共切线. (1)求 a,b; (2)证明:f(x)≤g(x). 1 解:(1)f′(x)= ,g′(x)=b-x+x2, 1+x

? ?g(0)=f(0), 由题意得? 解得 a=0,b=1. ? ?f′(0)=g′(0), (2)证明:令 h(x)=f(x)-g(x) 1 1 =ln(x+1)- x3+ x2-x(x>-1). 3 2 -x3 1 2 h′(x)= -x +x-1= . x+1 x+1 h(x)在(-1,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数. h(x)max=h(0)=0,h(x)≤h(0)=0,即 f(x)≤g(x).


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